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CAI使用說明 1 斜體文字 表示有備注供查看 2 加下劃線的變色文字 表示有超鏈接 3 表示返回至鏈接來處 4 表示到上一張幻燈片 5 表示到下一張幻燈片 6 表示到首頁 中學(xué)物理奧賽解題研究 第七專題萬有引力定律與天體運動 解題知識與方法研究 疑難題解答研究 例題3 星球運動的阻力 例題1 天體軌道的判定 例題4 飛船著陸問題 例題5 飛船和宇航站對接問題 例題2 利用萬有引力作用下的質(zhì)點運動求橢圓曲率半徑 一 對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的簡化 二 引力問題的基本運動方程 三 行星繞日運動的軌道與能量 例題6 雙星問題 一 對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的簡化 1 天體通常相距很遠(yuǎn) 故可將天體處理為質(zhì)點 2 很多時候 某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個是主要的 b 施力天體由于某些原因 如質(zhì)量相對很大 在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動 這時問題很簡單 我們通常討論的就是這種情況 二 引力問題的基本動力學(xué)方程 如圖 行星m在太陽M的有心引力作用下運動 行星的橫向加速度等于零 解題知識與方法研究 此式變化后即得開普勒第二定律 三 天體繞日運動的軌道與能量 根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律 角動量守恒 機械能守恒等 可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下的繞日運動的天體的軌道方程 軌道方程為一圓錐曲線方程 1 即開普勒第一定律 2 3 例1 天體軌道的判定 如圖 太陽系中星體A做半徑為R1的圓運動 星體B作拋物線運動 B在近日點處與太陽的相距為R2 2R1 且兩軌道在同一平面上 兩星體運動方向也相同 設(shè)B運動到近日點時 A恰好運動到B與太陽連線上 A B隨即發(fā)生某種強烈的相互作用而迅速合并成一個新的星體 其間的質(zhì)量損失可忽略 試證明新星體繞太陽的運動軌道為橢圓 解 計算新星體C的機械能 所以C到太陽的距離為 研究 式中的vA vB 因A作圓運動 疑難題解答研究 所以 利用 C星體的機械能為 因此 新星體C的軌道為橢圓 B作拋物線運動 機械能為零 因而有 例2 利用引力作用下的質(zhì)點運動求橢圓曲率半徑 行星繞太陽作橢圓運動 已知軌道半長軸為A 半短軸為B 太陽質(zhì)量記為MS 試用物理方法求橢圓各定點處的曲率半徑 解 行星運動情況如圖 由圖可知 代入 式得 由 解得 求頂點1處的曲率半徑 1 將前面得到的v1代入 求頂點3處的曲率半徑 3 將前面得到的v3代入 即得 即得 例3 星體運動的阻力 一個質(zhì)量為M 半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為的非常稀薄的氣體 由于它的引力場 此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子 設(shè)相對于速度V 分子的熱運動速度可忽略 分子間的相互作用不計 求作用在星體上的阻力 解 為方便研究問題取星球為參照系 氣體分子的運動及與星球的碰撞如圖所示 在橫截面為的圓柱體內(nèi)的分子才能與星球相碰 研究圓截面邊緣上的一個分子 設(shè)被俘獲前的瞬間 A點處 的速度為v 由角動量守恒得 由機械能守恒得 設(shè)氣體受到的阻力為f 等于星球所受阻力 得到 例4 飛船著陸問題 一質(zhì)量為m 12 103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運動 其高度h 100km 為使飛船落到月球表面 噴氣發(fā)動機在圖中P點作一短時間發(fā)動 從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u 10km s 月球半徑為R 170km 月球表面的落體加速度g 1 7m s2 飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球 如圖所示 1 向前噴射氣流 使飛船到達(dá)月球背面的A點 與P點相對 并相切 2 向外噴射氣流 使飛船得到一指向月球中心的動量 飛船軌道與月球表面B點相切 試計算上述兩種情況下所需要的燃料量 解 設(shè)飛船噴氣前的速度v0 月球質(zhì)量為M 月球表面的重力加速度為 代入上式 便得 則有 1 聯(lián)立此兩式消去vA解得 對噴氣前后的短暫過程 由動量守恒有 解得 2 從而飛船的速度變?yōu)?則由角動量守恒和能量守恒得 設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為 m1 聯(lián)立此兩式消去vB解得 對噴氣前后的短暫過程 在沿原半徑方向上由動量守恒有 解得 設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為 m2 例5質(zhì)量為M的宇航站和已對接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運動著 其軌道半徑是地球半徑的n 1 25倍 某瞬間 飛船從宇航站沿運動方向射出后沿橢圓軌道運動 其最遠(yuǎn)點到地心的距離為8nR 問飛船與宇航站的質(zhì)量比m M為何值時 飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇 解 發(fā)射前后飛船 宇航站的運動情況如圖 記地球質(zhì)量為ME 發(fā)射前共同速度為u 由 得 記分離后的瞬間飛船速度為v 宇航站速度為V 由動量守恒有 研究分離后的飛船 由開普勒第二定律及能量守恒定律有 研究分離后的宇航站 由開普勒第二定律及能量守恒定律有 設(shè)遠(yuǎn)地心點的速度為v 設(shè)近地心點的速度為V 距地心r 設(shè)飛船的周期為t 宇航站的周期為T 由開普勒第三定律有 即 確定t T 因飛船運行一周恰好與宇航站相遇 所以 將 代入 得 即 所以 由上述 式求m M 得 可見k只能取兩個值 k 10 11 相應(yīng)有 例6一雙星系統(tǒng) 兩顆星的質(zhì)量分別為M和m 設(shè)M m 距離為d 在引力作用下繞不動的質(zhì)心作圓周運動 設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點 在超新星爆炸中 質(zhì)量為M的星體損失質(zhì)量 M 假設(shè)爆炸是瞬時的 球?qū)ΨQ的 并且對殘余體不施加任何作用力 或作用力抵消 對另一顆星也無直接作用 試求 在什么條件下 余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠(yuǎn)離 解 需計算爆炸后的總機械能 如圖 爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)的角速度滿足 爆炸后的瞬間 因球?qū)ΨQ爆炸所以 M M 位置 速度均不變 旋轉(zhuǎn)半徑滿足 新系統(tǒng)的勢能為 新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動能為 由系統(tǒng)動量的質(zhì)心表達(dá)可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為 注意到式中的 所以 進(jìn)而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動能為 新系統(tǒng)仍被約束的條件是 另解 用二體問題折合質(zhì)量法 爆炸前 兩星折合質(zhì)量 兩星折合質(zhì)量 等效的運動如圖 a 旋轉(zhuǎn)的速度v滿足 爆炸后 等效的運動如圖 b 新系統(tǒng)的勢能 新系統(tǒng)的動能 代入系統(tǒng)約束的條件 解得 對m2 由牛頓第二定律有 將 1 代入 2 則有 3 式表明 若取m1為參照系 一般不是慣性系 在此系中牛頓第二定律不成立 則在此參照系中m2的運動完全相同于質(zhì)量為 的質(zhì)點在中心力的作用下按牛頓第二定律所形成的運動 而無須考慮慣性力的作用 取二者的質(zhì)心C為參照系 慣性系 設(shè)C到m1的矢徑為 有