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2020中考數(shù)學(xué)熱點專練17 銳角三角函數(shù)(含解析)

上傳人:Sc****h 文檔編號:87883790 上傳時間:2022-05-10 格式:DOCX 頁數(shù):22 大?。?68.80KB
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1、熱點17 銳角三角函數(shù) 【命題趨勢】 銳角三函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中必考內(nèi)容之一,所占比例8—15分,題目數(shù)量2-3題。一般小題會有一個,一般為填空或計算,考查學(xué)生對幾個特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況。大題一般也會有一題,主要是考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用,往往會結(jié)合仰角和俯角,坡度等概念進(jìn)行設(shè)計問題,當(dāng)然在其他解答題中也可能會用到三角函數(shù),比如在計算一些線段長度,會與解直角三角形,或者與圓、四邊形結(jié)合而形成難度中等的解答題。 【滿分技巧】 一、 整體把握知識結(jié)構(gòu) 二.重點知識 1.Rt△ABC中 (1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦,記作sinA= (2)∠A的鄰邊與斜邊

2、的比值是∠A的余弦,記作cosA= (3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切,記作tanA= (4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切,記作cota= 2.特殊值的三角函數(shù): a sina cosa tana cota 30° 45° 1 1 60° 【限時檢測】(建議用時:30分鐘) 一、 選擇題 1. (2019 湖北省宜昌市)如圖,在5×4的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,則sin∠BAC的值為( ?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如圖,

3、過C作CD⊥AB于D,則∠ADC=90°, ∴AC==5. ∴sin∠BAC== 故選:D. 2. (2019 湖南省湘西市)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分線EF交AC于點D,連接BD,若cos∠BDC=,則BC的長是( ?。? A.10 B.8 C.4 D.2 【答案】D 【解析】∵∠C=90°,cos∠BDC=, 設(shè)CD=5x,BD=7x, ∴BC=2x, ∵AB的垂直平分線EF交AC于點D, ∴AD=BD=7x, ∴AC=12x, ∵AC=12, ∴x=1, ∴BC=2; 故選:D. 3. (2019 湖南省長沙市)如

4、圖,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于點E,D是線段BE上的一個動點,則CD+BD的最小值是(  ) A.2 B.4 C.5 D.10 【答案】B 【解析】如圖,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M. ∵BE⊥AC, ∴∠ABE=90°, ∵tanA==2,設(shè)AE=a,BE=2a, 則有:100=a2+4a2, ∴a2=20, ∴a=2或﹣2(舍棄), ∴BE=2a=4, ∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AC, ∴CM=BE=4(等腰三角形兩腰上的高相等)) ∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA, ∴sin∠DBH===, ∴DH=B

5、D, ∴CD+BD=CD+DH, ∴CD+DH≥CM, ∴CD+BD≥4, ∴CD+BD的最小值為4. 故選:B. 4. (2019 山東省泰安市)如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向,則A,C兩港之間的距離為(  )km. A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30 【答案】B 【解析】根據(jù)題意得,∠CAB=65°﹣20°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=30, 過B作BE⊥AC于E, ∴∠AEB=∠CEB=90°, 在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,AB=

6、30, ∴AE=BE=AB=30km, 在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°, ∴CE=BE=10km, ∴AC=AE+CE=30+10, ∴A,C兩港之間的距離為(30+10)km, 故選:B. 5. (2019 陜西省)如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E。若DE=1,則BC的長為 A.2+ B. C.2+ D.3 【答案】A 【解析】 過點D作DF⊥AC于F如圖所示,∵AD為∠BAC的平分線,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF=1,在Rt△BED中,∠

7、B=30°,∴BD=2DE=2,在Rt△CDF中,∠C=45°,∴△CDF為等腰直角三角形,∴CD=DF=,∴BC=BD+CD=, 故選A 6. (2019 天津市) 2sin60°的值等于( ?。? A.1 B. C. D.2 【答案】C 【解析】2sin60°=2×=, 故選:C. 7. (2019 浙江省杭州市)如圖,一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB,點A,B,C,D,O在同一平面內(nèi)),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,則點A到OC的距離等于( ?。? A.a(chǎn)sinx+bsinx B.a(chǎn)cosx+bcosx C.a(chǎn)sinx+bcosx D.a(chǎn)cosx+b

8、sinx 【答案】D 【解析】作AE⊥OC于點E,作AF⊥OB于點F, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°, ∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x, ∴∠EAB=x, ∴∠FBA=x, ∵AB=a,AD=b, ∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx, 故選:D. 8. (2019 浙江省臺州市)如圖,有兩張矩形紙片ABCD和EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=8cm.把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上,使重疊部分為平行四邊形,且點D與點G重合.當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時,tanα等于( ?。? A. B. C. D. 【答案】D

9、【解析】如圖, ∵∠ADC=∠HDF=90° ∴∠CDM=∠NDH,且CD=DH,∠H=∠C=90° ∴△CDM≌△HDN(ASA) ∴MD=ND,且四邊形DNKM是平行四邊形 ∴四邊形DNKM是菱形 ∴KM=DM ∵sinα=sin∠DMC= ∴當(dāng)點B與點E重合時,兩張紙片交叉所成的角a最小, 設(shè)MD=a=BM,則CM=8﹣a, ∵M(jìn)D2=CD2+MC2, ∴a2=4+(8﹣a)2, ∴a= ∴CM= ∴tanα=tan∠DMC= 故選:D. 9. (2019 重慶市)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想,某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動.如圖,在一個坡

10、度(或坡比)i=1:的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD.測得古樹底端C到山腳點A的距離AC=26米,在距山腳點A水平距離6米的點E處,測得古樹頂端D的仰角∠AED=48°(古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上,古樹CD與直線AE垂直),則古樹CD的高度約為(  ) (參考數(shù)據(jù):sin48°≈,cos48°≈,tan48°≈) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 【解析】如圖,∵=1:=, ∴設(shè)CF=5k,AF=12k, ∴AC==13k=26, ∴k=2, ∴AF=10,CF=24, ∵AE=6, ∴EF=6+24=30, ∵∠DEF=48°, ∴tan4

11、8°===1.11, ∴DF=, ∴CD=﹣10=, 答:古樹CD的高度約為米, 故選:C. 10. (2019 廣西防城港市)小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動課中測量路燈的高度.如圖,已知她的目高為1.5米,她先站在處看路燈頂端的仰角為,再往前走3米站在處,看路燈頂端的仰角為,則路燈頂端到地面的距離約為( ) (已知,,,,, A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米 【答案】C 【解析】過點作于點,延長交于點, 設(shè), , , , , , , , , , 故選:C. 二、填空題 11. (2019 甘肅省)在△ABC中∠C=90°,

12、tanA=,則cosB=  ?。? 【答案】 【解析】利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解. ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=, 設(shè)a=x,b=3x,則c=2x, ∴cosB==. 故答案為:. 12. (2019 湖南省張家界市)如圖:正方形ABCD的邊長為1,點E,F(xiàn)分別為BC,CD邊的中點,連接AE,BF交于點P,連接PD,則tan∠APD=  ?。? 【答案】2 【解析】連接AF, ∵E,F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點, ∴CF=BE,, 在△ABE和△BCF中, , ∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS), ∴∠BAE=∠CBF

13、, 又∵∠BAE+∠BEA=90°, ∴∠CBF+∠BEA=90°, ∴∠BPE=∠APF=90°, ∵∠ADF=90°, ∴∠ADF+∠APF=180°, ∴A、P、F、D四點共圓, ∴∠AFD=∠APD, ∴tan∠APD=tan∠AFD==2, 故答案為:2. 13. (2019 江蘇省常州市)如圖,半徑為的⊙O與邊長為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切,連接OC,則tan∠OCB=  ?。? 【答案】 【解析】連接OB,作OD⊥BC于D, ∵⊙O與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切, ∴∠OBC=∠OBA=∠ABC=30°,

14、∴tan∠OBC=, ∴BD===3, ∴CD=BC﹣BD=8﹣3=5, ∴tan∠OCB==. 故答案為. 14. (2019 江蘇省淮安市)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中點,將△CBH沿CH折疊,點B落在矩形內(nèi)點P處,連接AP,則tan∠HAP=  ?。? 【答案】 【解析】如圖,連接PB,交CH于E, 由折疊可得,CH垂直平分BP,BH=PH, 又∵H為AB的中點, ∴AH=BH, ∴AH=PH=BH, ∴∠HAP=∠HPA,∠HBP=∠HPB, 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°, ∴∠APB=90°,

15、 ∴∠APB=∠HEB=90°, ∴AP∥HE, ∴∠BAP=∠BHE, 又∵Rt△BCH中,tan∠BHC==, ∴tan∠HAP=, 故答案為:. 15. (2019 江蘇省蘇州市)如圖,一塊含有角的直角三角板,外框的一條直角邊長為,三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為,則圖中陰影部分的面積為_______(結(jié)果保留根號) 【答案】14+16 【解析】如右圖:過頂點A作AB⊥大直角三角形底邊 由題意: ∴ = ∴ = 16. (2019 山東省臨沂市)計算:×﹣tan45°=  ?。? 【答案】 【解析】×﹣t

16、an45°=﹣1=﹣1, 故答案為:﹣1 17. (2019 山東省濰坊市)如圖,Rt△AOB中,∠AOB=90°,頂點A,B分別在反比例函數(shù)y=(x>0)與y=(x<0)的圖象上,則tan∠BAO的值為  ?。? 【答案】 【解析】過A作AC⊥x軸,過B作BD⊥x軸于D, 則∠BDO=∠ACO=90°, ∵頂點A,B分別在反比例函數(shù)y=(x>0)與y=(x<0)的圖象上, ∴S△BDO=,S△AOC=, ∵∠AOB=90°, ∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°, ∴∠DBO=∠AOC, ∴△BDO∽△OCA, ∴=()2==5, ∴=, ∴ta

17、n∠BAO==, 故答案為:. 18. (2019 四川省自貢市)如圖,在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中,∠α、∠β如圖所示,則cos(α+β)=   . 【答案】 【解析】給圖中各點標(biāo)上字母,連接DE,如圖所示. 在△ABC中,∠ABC=120°,BA=BC, ∴∠α=30°. 同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α. 又∵∠AEC=60°, ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°. 設(shè)等邊三角形的邊長為a,則AE=2a,DE=2×sin60°?a=a, ∴AD==a, ∴cos(α+β)==. 故答案為:. 19. (2019

18、浙江省杭州市)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,則cosC=   . 【答案】或 【解析】若∠B=90°,設(shè)AB=x,則AC=2x,所以BC==x,所以cosC===; 若∠A=90°,設(shè)AB=x,則AC=2x,所以BC==x,所以cosC===; 綜上所述,cosC的值為或. 故答案為或. 20. (2019 廣西百色市)四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,矩形按箭頭方向變形成平行四邊形,當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時,則 ?。? 【答案】30° 【解析】, 平行四邊形的底邊AD邊上的高等于AD的一半, . 故答案為:30° 三、解答題 21. (2019 天

19、津市)如圖,海面上一艘船由西向東航行,在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點C的仰角為31°,再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處,測得該燈塔的最高點C的仰角為45°,根據(jù)測得的數(shù)據(jù),計算這座燈塔的高度CD(結(jié)果取整數(shù)). 參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60. 【解析】在Rt△CAD中,tan∠CAD=, 則AD=≈CD, 在Rt△CBD中,∠CBD=45°, ∴BD=CD, ∵AD=AB+BD, ∴CD=CD+30, 解得,CD=45, 答:這座燈塔的高度CD約為45m. 22. (2019 山東省威海市)如圖是把一個裝有貨物的長方

20、體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖.已知汽車貨廂高度BG=2米,貨廂底面距地面的高度BH=0.6米,坡面與地面的夾角∠BAH=α,木箱的長(FC)為2米,高(EF)和寬都是1.6米.通過計算判斷:當(dāng)sinα=,木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時,木箱上部頂點E會不會觸碰到汽車貨廂頂部. 【解析】∵BH=0.6米,sinα= ∴AB==1米, ∴AH=0.8米, ∵AF=FC=2米, ∴BF=1米, 作FJ⊥BG于點J,作EK⊥FJ于點K, ∵EF=FB=AB=1米,∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°,∠EFK=∠FBJ=∠ABH, ∴△EFK≌△FBJ≌△ABH, ∴EK=FJ=AH,BJ=BH, ∴BJ+EK=0.6+0.8=1.4<2, ∴木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部. 22

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