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2020年中考數(shù)學必考考點 專題12 二次函數(shù)(含解析)

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1、專題12 二次函數(shù) 專題知識回顧 1.二次函數(shù)的概念:一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。 2.二次函數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)的圖像與性質 y x O (1)對稱軸: (2)頂點坐標: (3)與y軸交點坐標(0,c) (4)增減性: 當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減?。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大; 當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小。 3.二次函數(shù)的解析

2、式三種形式。 (1)一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0). 已知圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式. (2)頂點式 已知圖像的頂點或對稱軸,通常選擇頂點式。 (3)交點式 已知圖像與軸的交點坐標、,通常選用交點式。 4.根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號 (1)a 確定開口方向 :當a>0時,拋物線的開口向上;當a<0時,拋物線的開口向下。 (2)b ——對稱軸與a 左同右異。 (3)拋物線與y軸交點坐標(0,c) 5.二次函數(shù)與一元二次方程的關系 拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點的橫坐標x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(

3、a≠0)的根。 拋物線y=ax2 +bx+c,當y=0時,拋物線便轉化為一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0時,一元二次方程有兩個不相等的實根,二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點; =0時,一元二次方程有兩個相等的實根,二次函數(shù)圖像與x軸有一個交點; <0時,一元二次方程有不等的實根,二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點。 6.函數(shù)平移規(guī)律:左加右減、上加下減.圖像平移步驟 (1)配方為: ,確定頂點(h,k) (2)對x軸, 左加右減;對y軸, 上加下減。 7.二次函數(shù)的對稱性 二次函數(shù)是軸對稱圖形,有這樣一個結論:當橫坐標為x1, x2 其對應的縱坐標相等,那么對稱軸 專題典型題

4、考法及解析 【例題1】(2019湖北荊州)二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+5的最大值是   . 【答案】7 【解析】y=﹣2x2﹣4x+5=﹣2(x+1)2+7, 即二次函數(shù)y=﹣x2﹣4x+5的最大值是7, 故答案為:7. 【例題2】(2019廣西賀州)已知拋物線的對稱軸是直線,其部分圖象如圖所示,下列說法中:①;②;③;④當時,,正確的是 ?。ㄌ顚懶蛱枺? 【答案】①③④ 【解析】根據(jù)圖象可得:,, 對稱軸:, , , , ,故①正確; 把代入函數(shù)關系式中得:, 由拋物線的對稱軸是直線,且過點,可得當時,, ,故②錯誤; , ,

5、 即:,故③正確; 由圖形可以直接看出④正確. 故答案為:①③④. 【例題3】(2019貴州省畢節(jié)市)某山區(qū)不僅有美麗風光,也有許多令人喜愛的土特產,為實現(xiàn)脫貧奔小康,某村織村民加工包裝土特產銷售給游客,以增加村民收入.已知某種士特產每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價x(元)與該士特產的日銷售量y(袋)之間的關系如表: x(元) 15 20 30 … y(袋) 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù),試求: (1)日銷售量y(袋)與銷售價x(元)的函數(shù)關系式; (2)假設后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同,要使這種土特產每日銷售的利潤最大,每袋的

6、銷售價應定為多少元?每日銷售的最大利潤是多少元 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),利用待定系數(shù)法,求出日銷售量y(袋)與銷售價x(元)的函數(shù)關系式即可; 利用每件利潤×總銷量=總利潤,進而求出二次函數(shù)最值即可. (1) 依題意,根據(jù)表格的數(shù)據(jù),設日銷售量y(袋)與銷售價x(元)的函數(shù)關系式為y=kx+b得 ,解得 故日銷售量y(袋)與銷售價x(元)的函數(shù)關系式為:y=﹣x+40 (2)依題意,設利潤為w元,得 w=(x﹣10)(﹣x+40)=﹣x2+50x+400 整理得w=﹣(x﹣25)2+225 ∵﹣1<0 ∴當x=2時,w取得最大值,最大值為225 故要

7、使這種土特產每日銷售的利潤最大,每袋的銷售價應定為25元,每日銷售的最大利潤是225元. 專題典型訓練題 一、選擇題 1.(2019廣西河池)如圖,拋物線的對稱軸為直線,則下列結論中,錯誤的是   A. B. C. D. 【答案】. 【解析】由拋物線的開口方向判斷與0的關系,由拋物線與軸的交點判斷與0的關系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理,進而對所得結論進行判斷. .由拋物線的開口向下知,與軸的交點在軸的正半軸上,可得,因此,故本選項正確,不符合題意; .由拋物線與軸有兩個交點,可得,故本選項正確,不符合題意; .由對稱軸為,得,即,故本選

8、項錯誤,符合題意; .由對稱軸為及拋物線過,可得拋物線與軸的另外一個交點是,所以,故本選項正確,不符合題意.故選:. 2.(2019哈爾濱)將拋物線向上平移3個單位長度,再向右平移2個單位長度,所得到的拋物線為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】將拋物線y=2x2向上平移3個單位長度,再向右平移2個單位長度,得到的拋物線的解析式為y=2(x﹣2)2+3,故選B. 3.(2019湖北咸寧)已知點A(﹣1,m),B(1,m),C(2,m﹣n)(n>0)在同一個函數(shù)的圖象上,這個函數(shù)可能是( ?。? A.y=x B.y=-2x C.y=

9、x2 D.y=﹣x2 【答案】D 【解析】∵A(﹣1,m),B(1,m), ∴點A與點B關于y軸對稱; 由于y=x,y=-2x的圖象關于原點對稱,因此選項A、B錯誤; ∵n>0, ∴m﹣n<m; 由B(1,m),C(2,m﹣n)可知,在對稱軸的右側,y隨x的增大而減小, 對于二次函數(shù)只有a<0時,在對稱軸的右側,y隨x的增大而減小, ∴D選項正確。 4.(2019年陜西?。┮阎獟佄锞€,當時,,且當時, y的值隨x值的增大而減小,則m的取值范圍是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根據(jù)“當時,”,得到一個關于m不等式

10、,在根據(jù)拋物線,可知拋物線開口向上,再在根據(jù)“當時, y的值隨x值的增大而減小”,可知拋物線的對稱軸在直線的右側或者是直線,從而列出第二個關于m的不等式,兩個不等式聯(lián)立,即可解得答案. 因為拋物線, 所以拋物線開口向上. 因為當時,, 所以 ①, 因為當時, y的值隨x值的增大而減小, 所以可知拋物線的對稱軸在直線的右側或者是直線, 所以②, 聯(lián)立不等式①,②,解得. 5.(2019廣西梧州)已知,關于的一元二次方程的解為,,則下列結論正確的是   A. B. C. D. 【答案】A 【解析】關于的一元二次方程的解為,,可以看作二次函數(shù)與軸交點的橫坐標, 二次函數(shù)與

11、軸交點坐標為,,如圖: 當時,就是拋物線位于軸上方的部分,此時,或; 又 ,; , 故選:A. 6.(2019四川瀘州)已知二次函數(shù)y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣3a+7(其中x是自變量)的圖象與x軸沒有公共點,且當x<﹣1時,y隨x的增大而減小,則實數(shù)a的取值范圍是( ?。? A.a<2 B.a>﹣1 C.﹣1<a≤2 D.﹣1≤a<2 【答案】D 【解析】y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣3a+7=x2﹣2ax+a2﹣3a+6, ∵拋物線與x軸沒有公共點, ∴△=(﹣2a)2﹣4(a2﹣3a+6)<0,解得a<2, ∵拋物線的對稱軸為直線x=--2a2=a,拋

12、物線開口向上, 而當x<﹣1時,y隨x的增大而減小, ∴a≥﹣1, ∴實數(shù)a的取值范圍是﹣1≤a<2. 7.(2019四川省雅安市)在平面直角坐標系中,對于二次函數(shù)y=(x-2) 2+1,下列說法中錯誤的是( ) A.y的最小值為1 B.圖像頂點坐標為(2,1),對稱軸為直線x=2 C.當x<2時,y的值隨x值的增大而增大,當x≥2時,y的值隨x值的增大而減小 D.它的圖像可以由y=x2的圖像向右平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度得到 【答案】C 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質進行判斷,由二次函數(shù)y=(x-2) 2+1,得它的頂點是(2,1),對稱軸為直線x=2

13、,當x=2時,函數(shù)的最小值是1,圖像開口向上,當x≥2時,y的值隨x值的增大而增大,當x<2時,y的值隨x值的增大而減小,可由y=x2的圖像向右平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度得到,所以C是錯誤的,故選C. 二、填空題 8.(2019黑龍江哈爾濱)二次函數(shù)的最大值是 . 【答案】8 【解析】∵a=﹣1<0,∴y有最大值, 當x=6時,y有最大值8.故答案為8. 9. (2019黑龍江大慶)如圖拋物線y=(p>0),點F(0,p),直線l:y=-p,已知拋物線上的點到點F的距離與到直線l的距離相等,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,AA1⊥l,BB1⊥l

14、,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,則△A1OB1的面積=______(只用a,b表示). 【答案】 【解析】先由邊相等得到∠A1FB1=90°,進而得到A1B1的長度,由等面積法得到點F到A1B1的距離,進而得到△A1OB1的高,求出三角形面積. 設∠A=x,則∠B=180°-x,由題可知,AA1=AF,BB1=BF,所以∠AFA1=,∠BFB1=,所以∠A1FB1=90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1=,所以點F到A1B1的距離為,因為點F(0,p),直線l:y=-p,△A1OB1的高為,所以△A1OB1的面積=··

15、= 10.(2019江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)過點A(m,3),B(n,3)兩點,若線段AB的長不大于4,則代數(shù)式a2+a+1的最小值是 . 【答案】. 【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用,解題的關鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4,求出a的取值范圍,再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2+a+1的最小值. ∵y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1, ∴該拋物線的頂點坐標為(-2,1),對稱軸為直線x=-2. ∵拋物線過點A(m,3),B(n,3)兩點, ∴當y=3時,a(x+2)2+1=3,(x+2)2=,當a>0時

16、,x=-2±. ∴A(-2-,3),B(-2+,3). ∴AB=2. ∵線段AB的長不大于4, ∴2≤4. ∴a≥. ∵a2+a+1=(a+)2+, ∴當a=,(a2+a+1)min=(a+)2+=. 11.(2019江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線過點,兩點,若線段的長不大于4,則代數(shù)式的最小值是 ?。? 【答案】 【解析】拋物線過點,兩點, 線段的長不大于4, 的最小值為:; 故答案為. 12.(2019內蒙古赤峰)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結論:①b>0;②a﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有兩個不相

17、等的實數(shù)根;④當x<﹣1或x>3時,y>0.上述結論中正確的是  ?。ㄌ钌纤姓_結論的序號) 【答案】②③④ 【解析】由圖可知,對稱軸x=1,與x軸的一個交點為(3,0), ∴b=﹣2a,與x軸另一個交點(﹣1,0), ①∵a>0, ∴b<0; ∴①錯誤; ②當x=﹣1時,y=0, ∴a﹣b+c=0; ②正確; ③一元二次方程ax2+bx+c+1=0可以看作函數(shù)y=ax2+bx+c與y=﹣1的交點, 由圖象可知函數(shù)y=ax2+bx+c與y=﹣1有兩個不同的交點, ∴一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根; ∴③正確; ④由

18、圖象可知,y>0時,x<﹣1或x>3 ∴④正確; 故答案為②③④. 三、解答題 13.(2019北京市)在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度,得到點B,點B在拋物線上. (1)求點B的坐標(用含的式子表示); (2)求拋物線的對稱軸; (3)已知點,.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結合函數(shù)圖象,求的取值范圍. 【答案】見解析。 【解析】先求出A點的坐標為,由平移規(guī)律求得點B的坐標;由A、B兩點的縱坐標相同,得A、B為對稱點進而求出拋物線對稱軸方程;根據(jù)a的符號分類討論分析解答即可. (1)∵當x=0時,拋物線; ∴拋物線與y軸交點A點的坐

19、標為, ∴由點A向右平移2個單位長度得點B的坐標為;即. (2) ∵由A、B兩點的縱坐標相同,得A、B為對稱點.∴拋物線對稱軸方程為;即 直線. (3) ①當時,. 分析圖象可得,根據(jù)拋物線的對稱性,拋物線不可能同時經過點A和點P;也不可 能同時經過點B和點Q,所以線段PQ和拋物線沒有交點. ②當時,. 分析圖象可得,根據(jù)拋物線的對稱性,拋物線不可能同時經過點A和點P;但當點Q在點B上方或與點B重合時,拋物線與線段PQ恰好有一個公共點,此時,即. 綜上所述:當時,拋物線與線段PQ恰好有一個公共點. 14.(2019遼寧本溪)工廠生產一種火爆的網紅電子產品,每件產品成本16元,

20、工廠將該產品進行網絡批發(fā),批發(fā)單價y(元)與一次性批發(fā)量x(件)(x為正整數(shù))之間滿足如圖所示的函數(shù)關系. (1)直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍; (2)若一次性批發(fā)量不超過60件,當批發(fā)量為多少件時,工廠獲利最大?最大利潤是多少? 【答案】見解析。 【解析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應用. 認真觀察圖象,分別寫出該定義域下的函數(shù)關系式,定義域取值全部是整數(shù);根據(jù)利潤=(售價-成本)×件數(shù),列出利潤的表達式,求出最值. (1) 當0<x≤20且x為整數(shù)時,y=40; 當20<x≤60且x為整數(shù)時,y=-x+50; 當x>60且x為整數(shù)時

21、,y=20; (2)設所獲利潤w(元), 當0<x≤20且x為整數(shù)時,y=40, ∴w=(40-16)×20=480元, 當0<x≤20且x為整數(shù)時,y=40, ∴當20<x≤60且x為整數(shù)時,y=-x+50, ∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x, ∴w=-x2+34x, ∴w=-(x-34)2+578, ∵-<0, ∴當x=34時,w最大,最大值為578元. 答:一次批發(fā)34件時所獲利潤最大,最大利潤是578元. 15.(2019?湘潭)湘潭政府工作報告中強調,2019年著重推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,做優(yōu)做響湘蓮等特色農產品品牌.小亮調查了一家湘潭特產店A、B兩種湘

22、蓮禮盒一個月的銷售情況,A種湘蓮禮盒進價72元/盒,售價120元/盒,B種湘蓮禮盒進價40元/盒,售價80元/盒,這兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元,平均每天的總利潤為1280元. (1)求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒? (2)小亮調査發(fā)現(xiàn),A種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒.若B種湘蓮禮盒的售價和銷量不變,當A種湘蓮禮盒降價多少元/盒時,這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大,最大是多少元? 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)題意,可設平均每天銷售A禮盒x盒,B種禮盒為y盒,列二元一次方程組即可解題;根據(jù)題意,可設A種禮盒降價m元/盒,則A種禮盒的銷售量為:(10+

23、)盒,再列出關系式即可. (1)根據(jù)題意,可設平均每天銷售A禮盒x盒,B種禮盒為y盒, 則有,解得 故該店平均每天銷售A禮盒10盒,B種禮盒為20盒. (2)設A種湘蓮禮盒降價m元/盒,利潤為W元,依題意 總利潤W=(120﹣m﹣72)(10+)+800 化簡得W=m2+6m+1280=﹣(m﹣9)2+1307 ∵a=<0 ∴當m=9時,取得最大值為1307, 故當A種湘蓮禮盒降價9元/盒時,這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大,最大是1307元. 16. (2019廣西省貴港市)如圖,已知拋物線的頂點為,與軸相交于點,對稱軸為直線,點是線段的中點. (1)求拋物線的表

24、達式; (2)寫出點的坐標并求直線的表達式; (3)設動點,分別在拋物線和對稱軸上,當以,,,為頂點的四邊形是平行四邊形時,求,兩點的坐標. 【答案】見解析。 【解析】函數(shù)表達式為:,將點坐標代入上式,即可求解;、,則點,設直線的表達式為:,將點坐標代入上式,即可求解;分當是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況,分別求解即可. (1)函數(shù)表達式為:, 將點坐標代入上式并解得:, 故拋物線的表達式為:; (2)、,則點, 設直線的表達式為:, 將點坐標代入上式得:,解得:, 故直線的表達式為:; (3)設點、點, ①當是平行四邊形的一條邊時, 點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到, 同樣點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到, 即:,, 解得:,, 故點、的坐標分別為、; ②當是平行四邊形的對角線時, 由中點定理得:,, 解得:,, 故點、的坐標分別為、; 故點、的坐標分別為或、或. 14

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