3、18·煙臺(tái)] 如圖14-15,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).下列結(jié)論:①2a-b=0;②(a+c)20;③若M(

4、12,y1),N(52,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y10;③a-b+c<0;④m>-2.其中,正確的個(gè)數(shù)是(　　) 圖14-17 A.1 B.2 C.3 D.4 9.[2016·東河區(qū)二模] 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖1

5、4-18所示,有下列結(jié)論:①b2-4ac>0;②4a+c>2b;③(a+c)2>b2;④x(ax+b)≤a-b.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 (　　) 圖14-18 A.3 B.2 C.1 D.0 10.[2018·廣安] 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖14-19所示,對(duì)稱軸為直線x=1,則下列結(jié)論正確的有　　　　.(填序號(hào))? 圖14-19 ①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小. 11.如圖14-20是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,直線x=-1是對(duì)稱軸,

6、有下列判斷:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③8a+c=0;④若(-3,y1),32,y2是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2.其中正確的序號(hào)是　　　　.? 圖14-20 12.[2017·天水] 如圖14-21是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論: ①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-1,0);④當(dāng)1y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正確的結(jié)論是　　　　.(只填寫序號(hào))?

7、 圖14-21 13.[2017·溫州] 如圖14-22,過(guò)拋物線y=14x2-2x上一點(diǎn)A作x軸的平行線,交拋物線于另一點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2. (1)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo). (2)在AB上任取一點(diǎn)P,連接OP,作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D. ①連接BD,求BD的最小值; ②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上,且在x軸上方時(shí),求直線PD的函數(shù)解析式. 圖14-22 14.如圖14-23,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點(diǎn). (1)求拋物線的解析式. (2)P是拋物線A

8、B段上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似?若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大,求出點(diǎn)D的坐標(biāo). 圖14-23 |拓展提升| 15.[2017·東河區(qū)二模] 如圖14-24,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(-3,0)和(-2,0)之間,其部分圖象如圖14-7所示,則下列結(jié)論: (1)b2-4ac>0;(2)2a=b;(3)若(-72,y1),(-32,y2),( 54

9、,y3)是該拋物線上的點(diǎn),則y13時(shí),y<0;②3a+b<0; ③-1≤a≤-23;④4ac-b2>8a. 其中正確的結(jié)論是 (　　) 圖14-25 A.①③④ B.①②③ C.①②

10、④ D.①②③④ 17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表: x -1 0 1 3 y -1 3 5 3 下列結(jié)論: (1)ac<0; (2)當(dāng)x>1時(shí),y的值隨x值的增大而減小; (3)3是關(guān)于x的方程ax2+(b-1)x+c=0的一個(gè)根; (4)當(dāng)-10. 其中正確的有 (　　) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 18.[2015·昆區(qū)二模] 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖14-26所示,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③

11、當(dāng)m≠1時(shí),a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2.其中正確的是(　　) 圖14-26 A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤ 19.[2018·衡陽(yáng)] 如圖14-27,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論: ①3a+b<0;②-1≤a≤-23;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 (　　)

12、 圖14-27 A.1 B.2 C.3 D.4 20.[2018·郴州] 如圖14-28①,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t. (1)求拋物線的解析式. (2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l,l與x軸的交點(diǎn)為D.在直線l上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (3)如圖②,連接BC,PB,PC,設(shè)△PBC的面積為S. ①求S關(guān)于t的函數(shù)解析式; ②求點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 圖1

13、4-28 參考答案 1.A　[解析] 由一次函數(shù)y=bax+c的圖象可知ba<0,c>0.∵ba<0,∴-b2a>0,∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè).∵c>0,∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸交于正半軸,觀察可知選項(xiàng)A中圖象符合描述.故選A. 2.D　3.D 4.D　[解析] 由圖象的開口向上可知a>0,由圖象與y軸交于負(fù)半軸可知c<0,∴ac<0,B錯(cuò)誤;由圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知b2-4ac>0,即b2>4ac,A錯(cuò)誤;由對(duì)稱軸是直線x=1得-b2a=1,∴b=-2a,2a-b=2a-(-2a)=4a>0,∴C錯(cuò)誤;由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可

14、得二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),∴a-b+c=0,D正確.故選D. 5.D　[解析] 由函數(shù)圖象的開口向下,判斷a<0;由函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸上,判斷c>0;由對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),判斷-b2a>0,所以b>0,所以abc<0,A結(jié)論正確.當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)值為負(fù),故a-b+c<0,所以a+c4ac-8a,b2>4a(c-2),b24a2,則c-2>0,由a<0知b24a<0,故b24a2a,即2a+b<0,故D結(jié)論錯(cuò)誤.故選D.

15、 6.D　[解析] ①∵A(-1,0),B(3,0),∴拋物線對(duì)稱軸是直線x=-b2a=-1+32=1,∴2a+b=0.又∵a≠0,b≠0,∴①錯(cuò)誤,可以排除A選項(xiàng).②∵x=-1時(shí),y=a-b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,∴②錯(cuò)誤,可以排除B,C選項(xiàng),∴只剩D選項(xiàng),故選D.③當(dāng)-1

16、a<0.∵-b2a>0,∴b>0.∵拋物線交y軸于正半軸,∴c>0.∴abc<0,①正確. 當(dāng)x=3時(shí),y=9a+3b+c>0,②正確. ∵對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)M(12,y1)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)N(52,y2)到對(duì)稱軸的距離,∴y1

17、數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下, ∴a<0. ∵二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸, ∴c>0. ∵x=-b2a>0, ∴b>0,∴abc<0. ∴①錯(cuò)誤. 由二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,對(duì)稱軸為直線x=1, 則另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2×1-3=-1, ∴方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-1,x2=3. ∴②正確. ∵對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1, ∴2a+b=0. ∴③正確. ∵二次函數(shù)圖象的開口向下,對(duì)稱軸為直線x=1, ∴當(dāng)01時(shí),y隨x的增大而減小. ∴④錯(cuò)誤. 故正確的有②③. 11.①

18、③④ 12.②⑤　[解析] 由圖象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①錯(cuò)誤. 觀察圖象可知,拋物線與直線y=3只有一個(gè)交點(diǎn),故方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,故②正確. 根據(jù)對(duì)稱性可知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0),故③錯(cuò)誤. 觀察圖象可知,當(dāng)1

19、=5, 當(dāng)14x2-2x=5時(shí),x1=10,x2=-2, ∴A(-2,5),B(10,5). (2)①連接OD,OB,利用三角形三邊關(guān)系可得BD≥OB-OD, 所以當(dāng)且僅當(dāng)O,D,B三點(diǎn)共線時(shí),BD取得最小值. 由題意知OC=OD=5,OB=102+52=55, ∴BD的最小值=OB-OD=55-5. ②(i)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),連接OD,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N. 在Rt△ODN中,DN=52-42=3, ∴D(4,3),DM=2. 設(shè)P(x,5),在Rt△PMD中,(4-x)2+22=x2, 得x=52,∴P(52,5). 設(shè)直線PD的

20、函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b, 由4k+b=3,52k+b=5,得k=-43,b=253. ∴直線PD的函數(shù)解析式為y=-43x+253. (ii)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),點(diǎn)D在x軸下方,不符合要求. 綜上所述,直線PD的函數(shù)解析式為y=-43x+253. 14.解:(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)C(0,-2), ∴該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2. 將A(4,0),B(1,0)代入, 得16a+4b-2=0,a+b-2=0,解得a=-12,b=52. ∴此拋物線的解析式為y=-12x2+52x-2. (2)存在. 如圖,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, 則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-12m2+52m-2

21、. 當(dāng)1

22、件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1). (3)如圖,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0

23、, ∴-b2a=1,∴b=-2a, ∴3a+b=3a+(-2a)=a<0,故①正確. ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)), ∴2≤c≤3. ∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),∴a-b+c=0, ∴a-(-2a)+c=0,∴c=-3a, ∴2≤-3a≤3,∴-1≤a≤-23,故②正確. ∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n), ∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最大值n, 即a+b+c=n,∴a+b+c≥am2+bm+c, ∴a+b≥am2+bm,故③正確. ∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),拋物線開口向下, ∴直線y=n-1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn), 即一元二次方程a

24、x2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故④正確. 綜上所述,結(jié)論正確的是①②③④,共4個(gè).故選D. 20.解:(1)將A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c, 得-1-b+c=0,-9+3b+c=0,解得b=2,c=3, ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3. (2)如圖①,連接PC,交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E, ∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn), ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1. 當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)C,P關(guān)于直線l對(duì)稱,此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形. ∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

25、(0,3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3), ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6). 當(dāng)t≠2時(shí),若四邊形CDPM是平行四邊形,則CE=PE, ∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1, ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2-0=2. 又∵t≠2,∴此種情況不存在. 綜上,在直線l上存在點(diǎn)M(1,6),使得四邊形CDPM是平行四邊形. (3)①如圖②,過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F. 設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=mx+n(m≠0), 將B(3,0),C(0,3)代入y=mx+n, 得3m+n=0,n=3,解得m=-1,n=3, ∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-x+3. ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3), ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,-t+3), ∴PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, ∴S=12PF·OB=12(-t2+3t)×3=-32t2+92t(0