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《因數(shù)和倍數(shù)》單元教學(xué)分析 （一）教學(xué)目標(biāo) 1．理解因數(shù)與倍數(shù)的概念，能舉例說(shuō)明。 2．通過(guò)自主探索，掌握2、3和5的倍數(shù)的特征，能準(zhǔn)確判斷2、3和5的倍數(shù)，促進(jìn)數(shù)感的發(fā)展。 3．了解質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）與合數(shù)，在1～100的自然數(shù)中，能找出質(zhì)數(shù)與合數(shù)，并能熟練判斷20以內(nèi)的數(shù)哪個(gè)是質(zhì)數(shù)，哪個(gè)是合數(shù)。 4．知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，在建立概念、運(yùn)用概念的過(guò)程中，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)的抽象能力與推理能力。 5．了解奇數(shù)與偶數(shù)，能準(zhǔn)確判斷奇數(shù)與偶數(shù)，通過(guò)探索奇數(shù)、偶數(shù)相加的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)（奇偶性），豐富解決問(wèn)題的策略。 （二）內(nèi)容安排及其特點(diǎn) 1．教學(xué)內(nèi)容和作用。 本單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：因數(shù)與倍數(shù)，2、5和3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)與合數(shù)。這些內(nèi)容分為三節(jié)，各節(jié)內(nèi)容的編排體系如下表。 有關(guān)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系如下圖。 本單元的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)了一定的整數(shù)知識(shí)（包括整數(shù)的認(rèn)識(shí)、整數(shù)的四則運(yùn)算及其應(yīng)用）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)整數(shù)的性質(zhì)。本單元所涉及的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等內(nèi)容，都是初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)。 數(shù)論是一個(gè)歷史悠久的數(shù)學(xué)分支，它是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)問(wèn)，以嚴(yán)格、簡(jiǎn)潔、抽象著稱。數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是“科學(xué)的皇后”，而數(shù)論更被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的皇后”，可見(jiàn)數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位。 本單元的知識(shí)作為數(shù)論知識(shí)的初步，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。 一方面，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，特別是學(xué)習(xí)約分、通分，需要以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)，進(jìn)一步掌握公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，需要用到質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，需要掌握2、5和3的倍數(shù)的特征。因此，本單元的知識(shí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)。 另一方面，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅能豐富學(xué)生有關(guān)整數(shù)的知識(shí)，加深對(duì)整數(shù)與整數(shù)除法的認(rèn)識(shí)，同時(shí)由于這些知識(shí)比較抽象，且概念間的聯(lián)系非常緊密，所以也有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。 2．教材編排特點(diǎn)。 （l）堅(jiān)持精簡(jiǎn)理論概念與分散難點(diǎn)的處理方式。 首先是精簡(jiǎn)了整除的概念。從數(shù)學(xué)的角度看，在數(shù)論中，起始概念之一就是整除。一般地，對(duì)于任意整數(shù)a、b，都存在整數(shù)n、r，使a＝nb＋r（其中r＜b），當(dāng)r＝0時(shí)，我們就說(shuō)a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)?？梢?jiàn)，整除與倍數(shù)、因數(shù)，是同一數(shù)學(xué)事實(shí)的兩種不同說(shuō)法，它們是等價(jià)的。從學(xué)生角度看，他們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的含義有比較清楚的認(rèn)識(shí)，但對(duì)使用“誰(shuí)能被誰(shuí)整除”“誰(shuí)能整除誰(shuí)”的敘述方式卻很不適應(yīng)，容易說(shuō)錯(cuò)。因此，不出現(xiàn)整除的概念，會(huì)使教師感到有些習(xí)慣說(shuō)法要改口，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)并不會(huì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響。 其次是精簡(jiǎn)了分解質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)數(shù)等概念。在以往的教材中，求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)唯一的固定方法就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)，因此，分解質(zhì)因數(shù)的概念與短除法以及互質(zhì)數(shù)的概念，一直是必學(xué)內(nèi)容。考慮到學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)主要用于約分、通分，事實(shí)上，學(xué)生在約分、通分時(shí)，實(shí)際采用口算，幾乎不用短除法。所以，允許學(xué)生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)之后，分解質(zhì)因數(shù)就失去了其不可或缺的作用。為了減少這一單元的理論概念，把分解質(zhì)因數(shù)等內(nèi)容作為補(bǔ)充知識(shí)，安排在“你知道嗎？”中進(jìn)行介紹，顯然是合理的。 最后是將公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等內(nèi)容移后，與約分、通分編排在一起。在以往的教材中，有關(guān)“數(shù)的整除”的概念集中在一個(gè)單元內(nèi)學(xué)習(xí)，雖然有利于凸顯相關(guān)概念之間緊密的邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元概念過(guò)多、抽象程度過(guò)高的現(xiàn)象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問(wèn)題。實(shí)踐表明，將其分開(kāi)編排，能夠分散難點(diǎn)，減少教與學(xué)的困難，而且也有利于突出知識(shí)的應(yīng)用性。因?yàn)榧s分需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)，通分需要盡快找出兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)，現(xiàn)在的編排，學(xué)了就用，便于鞏固，有利于提高教學(xué)的有效性。 （2）改進(jìn)因數(shù)、倍數(shù)概念的呈現(xiàn)方式。 在數(shù)學(xué)中，上面給出的a＝nb＋r（r＜b），與a6＝n……r的表示形式是等價(jià)的。但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，采用乘法的表示形式，容易產(chǎn)生誤解，以為因數(shù)、倍數(shù)是針對(duì)整數(shù)乘法來(lái)說(shuō)的。比較而言，采用除法的表示形式，更便于他們感知因數(shù)與倍數(shù)的本質(zhì)意義，領(lǐng)悟到這兩個(gè)概念反映了整數(shù)除法中余數(shù)為0的情況，有利于避免誤解。 （3）放大探索空間，落實(shí)能力培養(yǎng)。 為了便于學(xué)生自行制作100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，教材將1～100各數(shù)排列成1010的方陣，俗稱“百數(shù)表”，供學(xué)生操作。實(shí)踐表明，百數(shù)表是一種不錯(cuò)的探究材料。以前教學(xué)5的倍數(shù)的特征時(shí)，也曾使用百數(shù)表。但在教學(xué)2和3的倍數(shù)的特征時(shí)，原來(lái)采用依次算出2、3的倍數(shù)的方式，讓學(xué)生觀察，同時(shí)還給出 2＝21，31＝3 4＝22，32＝6 6＝23，33＝9 8＝24，34＝12 10＝25，35＝15 直截了當(dāng)?shù)奶崾?，如：“?的倍數(shù)各位上的數(shù)相加，你發(fā)現(xiàn)了什么？”雖說(shuō)效果明顯，但問(wèn)題過(guò)于直白，不利于學(xué)生獲得探究的體驗(yàn)。現(xiàn)在的教材，探究2、5和3的倍數(shù)的特征時(shí)，一概采用百數(shù)表，由學(xué)生自己圈數(shù)，自己生成觀察材料，同時(shí)減少提示，以放大學(xué)生的探究空間。這就有利于學(xué)生獲得更為豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 確實(shí)，2、5的倍數(shù)特征僅僅體現(xiàn)在個(gè)位數(shù)上，比較明顯，容易理解，而3的倍數(shù)的特征，只看個(gè)位數(shù)來(lái)判定恰恰成了“陷阱”。怎樣才能使學(xué)生想到轉(zhuǎn)變思路，從只看個(gè)位數(shù)轉(zhuǎn)向考察各位上的數(shù)相加的和？教材通過(guò)學(xué)生對(duì)話的插圖，在思維的轉(zhuǎn)折處設(shè)問(wèn)，并針對(duì)改變觀察角度提出問(wèn)題，力求“提示”與“留白”恰到好處。 相應(yīng)地，在練習(xí)中設(shè)計(jì)了一道探究題，讓學(xué)生不再依賴提示，獨(dú)立探索6的倍數(shù)的特征，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)目標(biāo)得以落實(shí)。 （4）加強(qiáng)解決問(wèn)題的教與學(xué)。 在本單元中，增加了一道例題，通過(guò)研究?jī)蓴?shù)之和的奇偶性的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷較為完整的問(wèn)題解決過(guò)程，并滲透解決問(wèn)題的策略。 （5）改善抽象思維能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。 數(shù)論初步知識(shí)屬于純數(shù)學(xué)，比較適合培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。五年級(jí)的學(xué)生，其抽象思維也有了進(jìn)一步的發(fā)展，因此，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，既是必要的，又是可行的。 教材在引入因數(shù)與倍數(shù)的概念、2和5的倍數(shù)的特征等知識(shí)時(shí)，去掉了可有可無(wú)的實(shí)際情境，直接給出除法算法或百數(shù)表，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去觀察、去思考，而不再是時(shí)時(shí)處處都依賴生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫助理解。 在適當(dāng)利用本單元知識(shí)特有的抽象性，培養(yǎng)抽象思維能力的同時(shí)，教材的配套練習(xí)安排了一系列的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。此外，還以“生活中的數(shù)學(xué)”專欄形式，啟發(fā)學(xué)生利用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象。 這些改進(jìn)，既避免了抽象與應(yīng)用集中在一節(jié)課中所生成的人為難點(diǎn)，又能使數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。 （三）教學(xué)建議 1．關(guān)注由具體到抽象、由特殊到一般的概括、歸納過(guò)程。 本單元中概念的建立，多需要經(jīng)歷由具體到一般的抽象概括過(guò)程。例如，因數(shù)與倍數(shù)的概念的建立，首先是觀察一批除法算式，找出它們的異同，然后在分類的基礎(chǔ)上，抽象概括出其中一類具有“商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)”的共同屬性；又如，通過(guò)一些具體的例子，總結(jié)出任何一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)都是無(wú)限的等規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。這些過(guò)程，對(duì)于學(xué)生逐步形成抽象概括與歸納推理能力，都是非常有益的。 2．加強(qiáng)對(duì)概念間相互關(guān)系的梳理，促進(jìn)理解與記憶。 由于這部分內(nèi)容較為抽象，有些概念如質(zhì)數(shù)與合數(shù)，很難結(jié)合兒童生活的實(shí)例詮釋其意義，因而學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度。相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策之一，就是加強(qiáng)概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。 例如，因數(shù)和倍數(shù)是兩個(gè)最基本的概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，就容易理解一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是它本身，所以一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)一定是有限的；一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，乘1、乘2、乘3可以無(wú)限進(jìn)行下去，所以一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)必然是無(wú)限的。 又如，偶數(shù)、奇數(shù)概念是由倍數(shù)概念引出的，質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念是由因數(shù)概念引出的。以是否是2的倍數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，可以將自然數(shù)分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類；以所含因數(shù)的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，可以將大于0的自然數(shù)分為1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)三類。這些認(rèn)識(shí)，能夠有效地幫助學(xué)生將所學(xué)概念串聯(lián)起來(lái)，形成概念鏈，從而依靠理解來(lái)促進(jìn)記憶。 3．讓學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)的完整過(guò)程。 在本單元中，2、5、3的倍數(shù)特征，100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，以及兩數(shù)之和的奇偶性等，都是比較典型的適合小學(xué)生開(kāi)展探究學(xué)習(xí)的課題。教學(xué)時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生嘗試，讓他們經(jīng)歷從舉例考察到分析綜合，從猜想到驗(yàn)證，最后歸納總結(jié)的過(guò)程，從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。 4．處理好概念教學(xué)的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。 由于學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)負(fù)整數(shù)，因此，本單元的整數(shù)與自然數(shù)同義。整數(shù)與自然數(shù)都包括0，根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。特別地，因?yàn)?是2的倍數(shù)，2是0的因數(shù)，所以0是偶數(shù)。 但是，考慮到以后研究最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，如果不排除0，很多問(wèn)題無(wú)從討論。例如，討論0和5的最大公因數(shù)既沒(méi)有實(shí)際意義，也沒(méi)有數(shù)學(xué)意義。再如，如果把0考慮在內(nèi)，任意兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是0，這樣的研究沒(méi)有任何價(jià)值。因此，為了避免不必要的麻煩，教材指出本單元所說(shuō)的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）。有了這一規(guī)定，教學(xué)時(shí)就不必處處強(qiáng)調(diào)“大于0”。在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之前，學(xué)生說(shuō)“整數(shù)”或“自然數(shù)”都是可以的。 當(dāng)然，引進(jìn)負(fù)整數(shù)之后，有些概念可以加以拓展。例如偶數(shù)，在小學(xué)局限在0，2，4，6，…的范圍內(nèi)，到了中學(xué)，則拓展為…，﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，…。 5．建議用7課時(shí)教學(xué)。