2020年中考數(shù)學考點一遍過 考點06 分式方程(含解析)
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1、考點06 分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 注意:“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別,也是判定一個方程為分式方程的依據(jù). 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是去分母,即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母. (2)解分式方程的步驟: ①找最簡公分母,當分母是多項式時,先分解因式; ②去分母,方程兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化為整式方程; ③解整式方程; ④驗根. 易錯提醒:解分式方程過程中,易錯點有:①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體,記得不要漏乘整式項;②忘記驗根,
2、最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中,只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解. 3.增根 在方程變形時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根,這種根叫做方程的增根.由于可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程要驗根,其方法是將根代入最簡公分母中,使最簡公分母為零的根是增根,否則是原方程的根. 溫馨提示:增根雖然不是方程的根,但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根.若這個整式方程本身無解,當然原分式方程就一定無解. 4.分式方程的應用 (1)分式方程的應用主要涉及工程問題,有工作量問題、行程問題等. 每個問題中涉及到三個量的關(guān)系,如:工作時間=,時間=等. (2)列分式方程解應用題的一般步驟:
3、 ①設未知數(shù); ②找等量關(guān)系; ③列分式方程; ④解分式方程; ⑤檢驗(一驗分式方程,二驗實際問題); ⑥答. 考向一 解分式方程 分式方程的解法: ①能化簡的應先化簡;②方程兩邊同乘以最簡公分母,化為整式方程; ③解整式方程;④驗根. 典例1 解分式方程:. 【解析】去分母得:6-x=x-2, 解得:x=4, 經(jīng)檢驗x=4是分式方程的解. 【名師點睛】此題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解分式方程注意要檢驗. 典例2 方程的解為_______________. 【答案】 【解析】方程兩邊同乘以,得, 解得, 檢驗:時,, 所以是原分式方程
4、的解. 故填. 【名師點睛】分式方程的解題步驟:去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1.同時應注意分式方程必須檢驗. 1.解分式方程,去分母得 A. B. C. D. 2.方程的解為 A.2 B.2或4 C.4 D.無解 考向二 分式方程的解 (1)求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根. (2)驗根時把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等于0,這個根就是增根;否則這個根就是原分式方程的根,若解出的根都是增根,則原方程無解. (3)如果分式本身約分了,也要代入進去檢驗
5、. (4)一般地,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零,因此要將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為零,則是方程的解. 典例3 若關(guān)于x的方程的解為整數(shù)解,則滿足條件的所有整數(shù)a的和是 A.6 B.0 C.1 D.9 【答案】D 【解析】分式方程去分母得:ax-1-x=3, 解得:x=, 由分式方程的解為整數(shù)解,得到a-1=±1,a-1=±2,a-1=±4, 解得:a=2,0,3,-1,5,-3(舍去), 則滿足條件的所有整數(shù)a的和是9, 故選D. 【名師點睛】此題考查了分式方程的解,熟練掌握運算法則是解本
6、題的關(guān)鍵. 典例4 若關(guān)于的分式方程的解為負數(shù),則的取值范圍為_______________. 【答案】且 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,去分母得,解得,由分式方程的解為負數(shù),可得且,即,解得且. 3.若關(guān)于的方程有增根,則的值為 A.- B. C. D. 4.關(guān)于的方程的解為,則 A.1 B.3 C.-1 D.-3 考向三 分式方程的應用 分式方程解實際問題的求解步驟:審題、設未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗、寫出答案,檢驗時要注意從方程本身和實際問題兩個方面進行. 典例5 某工廠生產(chǎn)一種零件,計劃在
7、20天內(nèi)完成,若每天多生產(chǎn)4個,則15天完成且還多生產(chǎn)10個.設原計劃每天生產(chǎn)x個,根據(jù)題意可列分式方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知原計劃每天生產(chǎn)個零件,則實際每天生產(chǎn)了個零件,實際15天共生產(chǎn)了個零件,因此根據(jù)題意可列分式方程為. 故選A. 典例6 元旦假期即將來臨,某旅游景點超市用700元購進甲、乙兩種商品260個,其中甲種商品比乙種商品少用100元,已知甲種商品單價比乙種商品單價高20%,那么乙種商品單價是 A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】設乙種商品單價為元,
8、則甲種商品單價為元, 由題易得,甲種商品花費300元,乙種商品花費400元,所以, 解得元. 故選B. 5.某單位向一所希望小學贈送1080本課外書,現(xiàn)用A,B兩種不同的包裝箱進行包裝,單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用6個;已知每個B型包裝箱比每個A型包裝箱可多裝15本課外書.若設每個A型包裝箱可以裝書本,則根據(jù)題意列得方程為 A. B. C. D. 6.在“雙十一”購物節(jié)中,某兒童品牌玩具淘寶專賣店購進了A、B兩種玩具,其中A類玩具的進價比B玩具的進價每個多3元,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):用900元購進A類玩具的數(shù)量與用750元購進B類玩具的數(shù)量相同 (
9、1)求A、B的進價分別是每個多少元? (2)該玩具店共購進了A、B兩類玩具共100個,若玩具店將每個A類玩具定價為30元出售,每個B類玩具定價25元出售,且全部售出后所獲得利潤不少于1080元,則該淘寶專賣店至少購進A類玩具多少個? 1.下列關(guān)于的方程: ①,②,③,④中,是分式方程的有 A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 2.方程的解為 A. B. C. D. 3.解分式方程 A.是方程的解 B.是方程的解 C.是方程的解 D.無解 4.若關(guān)于x的方程的解為x
10、=1,則a等于 A.0.5 B.-0.5 C.2 D.-2 5.若代數(shù)式和的值相等,則x的值為 A.x=-7 B.x=7 C.x=-5 D.x=3 6.若關(guān)于的方程有增根,則的值為 A. B. C. D. 7.若分式方程無解,則 A. B. C. D. 8.關(guān)于的方程的解不小于0,則的取值范圍是 A.且 B.且 C. D. 9.一艘船順流航行90千米與逆流航行60千米所用的時間相等,若水流的速度是2千米/時,求船在靜水中的速度.設船在靜水中
11、的速度為千米/時,則可列出的方程為 A. B. C. D. 10.若分式方程有增根,則m的值是 A.-1或1 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2 11.已知關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù),則a的取值范圍是 A.a(chǎn)≤2 B.a(chǎn)<2 C.a(chǎn)≤2且a≠-4 D.a(chǎn)<2且a≠-4 12.一項工程,甲隊單獨做需20天完成,甲、乙合作需12天完成,則乙隊單獨做需多少天完成?若設乙單獨做需x天完成,則可得方程 A. B.=1 C.=x D. 13.九年級(1)班學生周末從學校出發(fā)到某實
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