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烏魯木齊市高級中學數學競賽培訓題5 1、設無窮數列 的各項都是正數, 是它的前 項之和, 對于任意正整數 , 與 2 的等差中項等于 與 2 的等比中項, 則該數列的通項公式為 2、已知平面上兩個點集 R}, R}. 若 , 則 的取值范圍是 3、設，，若，則實數的取值范圍為 4、方程組的有理數解的個數為 5、設，其中為實數，，，，若，則　 . 6、設適合等式則的值域是 。 7、設是定義在上的函數，若 ，且對任意，滿足 ，，則= ． 8、對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體和 (m是給定的正整數，且2≤m≤n-2),再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現在樣本中的概率，則= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 . 9、的三條邊長為，證明. 10、 若 N*) 個棱長為正整數的正方體的體積之和等于 2005, 求 的最小值, 并說明理由； 11、已知點 是 的中線 上的一點, 直線 交邊 于點, 且 是 的外接圓的切線, 設 , 試求 (用 表示). 12、已知整數滿足及，求的最大值. 烏魯木齊市高級中學數學競賽培訓題5參考答案 1、解：由題意知 ， 即 . ……… ① 由 得 , 從而 . 又由 ① 式得 , ……… ② 于是有 , 整理得 . 因 , 故 ． 所以數列 是以 為首項、 為公差的等差數列，其通項公式為 ， 即 . 故填 N*)． 2、解：由題意知 是以原點為焦點、直線 為準線的拋物線上及其凹口 內側的點集， 是以 為中心的正方形及其內部的點集(如圖)． 考察 時, 的取值范圍: 令 , 代入方程 , 得 ，解出得 ． 所以， 當 時, ． ………… ③ 令 ，代入方程 , 得 . 解出得 ．所以，當 時, ． ………… ④ 因此, 綜合 ③ 與 ④ 可知，當 ，即 時, ．故填 . 3、因有兩個實根， ，， 故等價于且，即且， 解之得． 4、若，則解得或 若，則由得． ① 由得． ② 將②代入得． ③ 由①得，代入③化簡得. 易知無有理數根，故，由①得，由②得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數解或 5、由題意知， 由得，，因此，． 因此?。? 6、解：由將換為，有,兩式消去得. 7、解法一： 由題設條件知 ， 因此有，故 ． 解法二：令，則 ， ， 即， 故， 得是周期為2的周期函數， 所以． 8、08湖南理科15題 第二空可分: ①當 時, ; ②當 時, ; ③當時, ;所以 9、證明：由于只要證： ……① 注意： 故由①，只要證……② ， 取等號當且僅當此時為正三角形，即 10、解： (1) 因為 , ，故 . 因為 ，所以存在 ， 使． 若 ，因 , 則最大的正方體邊長只能為 或 ，計算 ，而 與 均不是完全立方數, 所以 不可能是 的最小值. 若 ，設此三個正方體中最大一個的棱長為 , 由 , 知 最大的正方體棱長只能為 、、 或 . 由于 , , , 所以 . 由于 , , , , 所以 . 由于 , , , 所以 . 由于 , , 所以 . 因此 不可能是 的最小值.綜上所述， 才是 的最小值. 11、證明：在 中，由Menelaus定理得 ． 因為 ，所以 ． ……………… 6分 由 ，知 ∽ ，則 ． 所以，， 即 ． 因此， ． 又 ， 故 ． 12、解： 若，則，若，由 ，得. 因為 ， 于是，若滿足條件；則也滿足條件.由于，可從出發(fā)，并降得到（1，1），反之亦成立，即由（1，1）出發(fā)，利用可得到滿足的全部解.即 （1,1）→（1，2）→（2，3）→（3，5）→（5，8）→（8，13）→（13，21）→（21，34）→（34，55）→（55，89）→（89，144）→（144，233）→（233，377）→（377，610）→（987，1597）因此，所求的最大值為9872+15972=3524578