5、中，蝴蝶的身長與雙翅展開后的長度的比接近于0.618.若雙翅展開后的長度約為5.62?cm，則其身長約為_______cm(保留兩位小數(shù))
13. 美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．某女模特身高165cm，下半身長x(cm)與身高l(cm)的比值是0.60.為盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為____．
14. 在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20?cm，則寬約為 ________?(精確到1?cm)．
15. 已知點C為線段AB的黃金分割點，且AC>BC，若P點為線段AB上的任意一
6、點，則P點出現(xiàn)在線段AC上的概率為________．
三、解答題
16. 擁有一個完美的身材是很多人的夢想，世界著名的雕像“維納斯”就被認為是最美的身材。因為她的身材比例符合黃金分割，這也是人們追求的完美的比例。人體結構就其整體而言，如果肚臍以上與肚臍以下兩部分的比和肚臍以下與整體的比相等，就構成了黃金分割，肚臍眼就是黃金分割點，這個比值就是黃金分割比。因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側，以站在舞臺長度的
7、黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。如果把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，這個分割點就是黃金分割點，這個比值就是黃金分割比。如圖1，點C在線段AB上，若滿足CB:AC=AC:AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點。如圖2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D。點D是線段AC的黃金分割點嗎？說明理由。
17. 如圖，以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD
8、，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．
(1)求AM，DM? 的長．
(2)求證：AM2=AD·DM，并根據(jù)你在求學中的感悟，說說M點是線段AD上的什么點？，A點是線段BF上的什么點？
18. 如圖，線段AB=2，BD⊥AB于點B，且BD=12AB，在DA上截取DE=DB，在AB上截取AC=AE．
求證：點C是線段AB的黃金分割點．
19. 黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分
9、的比值，其比值約為0.618.這個比值，被稱為黃金分割數(shù).我國著名數(shù)學家華羅庚普及并做出重要貢獻的優(yōu)選法中有一種0.618法也應用了黃金分割數(shù)．定義：點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點(如圖1).如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
(1)求證：點D是線段AC的黃金分割點；
(2)求出線段AD的長．
20. 如圖①，在線段AB上找一點C，點C把線段AB分為AC和CB兩段，其中BC是較短的一段，如果BC·AB=AC2，那么稱線段AB被點C黃金分割．為了增加美感，黃金分割經(jīng)常被
10、應用在繪畫、雕塑、建筑等藝術領域．如圖②，在我國古代紫禁城的中軸線上，太和門位于太和殿與內(nèi)金水橋之間靠近內(nèi)金水橋的一側，三個建筑的位置關系滿足黃金分割．已知太和殿到內(nèi)金水橋的距離約為100丈，求太和門到太和殿的距離(5的近似值取2.2)．
21. 定義：底與腰的比是5-12的等腰三角形叫做黃金等腰三角形．如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．
(1)證明：AB2=AA1?AC；
(2)探究：△ABC是否為黃金等腰三角形？請說明理由；(提示：此處不妨設AC=1)
(3)應用：已知AC=，作A1B1/?/AB
11、交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2/?/AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3/?/AB交BC于B3，…，依此規(guī)律操作下去，用含a，n的代數(shù)式表示An-1An.(n為大于1的整數(shù)，直接回答，不必說明理由)
22. 如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果ACAB=BCAC，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果S1S=S2S1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
(1)如圖2，在△A
12、BC中，若點D為AB邊上的黃金分割點，研究小組猜想：直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
(2)三角形的中線是該三角形的黃金分割線嗎？請直接回答“是”或者“不是”．
(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF//CE，交AC于點F，連接EF(如圖3)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．
(4)類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義：截面a將一個體積為V的圖形分成體積為V1，V2的兩個圖形，且V1V=V2V1，則稱截面a為該圖形的黃金分割面．
問題：如圖4，在長方體ABCD-EFGH中，T是線段AB上的黃金分割點，
13、請你說明經(jīng)過點T且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面．
答案和解析
1.D
解：由于P為線段AB=1的黃金分割點，
且PA>PB，
則PA=0.618×1=0.618．
2.A
解：根據(jù)題意得：
上球體到塔底部的距離為較長的線段時，
則它到塔底部的距離為0.618×468≈289.2米；
3.A
解：設整個線段長為1，較長段為x，可以列出的方程為1-xx=x1，
4.A
解：∵線段AB=4，點C是AB黃金分割點，AC>BC，
∴BC=4×3-52=6-25，
AC=AB-BC=4-(6-25
14、)=25-2．
5.B
解：一條線段的黃金分割點有2個．
6.C
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAB=90°，
設正方形ABCD的邊長為2a，
∵E為AD的中點，
∴AE=a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE=AE2+AB2=a2+(2a)2=5a，
∵EF=BE，
∴EF=5a，
∴AF=EF-AE=5a-a=(5-1)a，
即AF=AH=(5-1)a，
∴S1=AF×AH=(5-1)a×(5-1)a=6a2-25a2，
S2=S正方形ABCD-S長方形ADIH=2a×2a-2a×(5-1)a=6a2-25a2，
即S1=S2，
15、
7.C
解：根據(jù)黃金分割的定義可知A、B、D正確;
C、如果線段AB被點C黃金分割(AC>BC)，那么AC與AB的比叫做黃金比，所以C錯誤．
8.D
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵∠BAC=108°，AD、AE將∠BAC三等分交邊BC于點D，點E，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴BDBA=BABC，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC-CD=BC-AB，
則BC-BABA
16、=5-12，即BDBA=BABC=5-12．
故D錯誤；
9.23
解：根據(jù)黃金比的值得：37×5-12=37×0.618≈23℃．
10.55-5或(15-55)
解：∵點P是線段AB的黃金分割點，若BP是較長的線段，若AB=10cm，
∴BPBA=5-12，
∴5-12×10=55-5(cm)．
∵點P是線段AB的黃金分割點，若BP是較短的線段，若AB=10cm，
BP=10-(55-5)=15-55(cm)，
11.1.5
解：由題意知AC：AB=BC：AC，
∴AC：AB≈0.618，
∴BC≈AB(1-0.618)=1.528
17、≈1.5(cm)
∴BC=1.5
12.3.47
解：設身長xcm，根據(jù)黃金分割的定義得：
x5.62=0.618，
解得：x≈3.47．
13.8cm
解：根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.6=99cm，
設需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：
經(jīng)檢驗y=8是方程的解
14.12cm
解：設寬為xcm，由題意得，
x：20=5-12，
解得x=105-10≈12．
15.5-12(或0.618)
解：∵點C為線段AB的黃金分割點，，
∴AC=5-12AB，
∴P點出現(xiàn)在線段AC上的概率為：ACAB=5
18、-12≈0.618．
16.解：點D是線段AC的黃金分割點，
理由如下：?
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°-36°2=72°，
又∵BD平分∠ABC，?
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，AD=BD．
∴∠BDC=∠C，BD=BC．
∵∠C=∠C，∠DBC=∠BAC，
∴△BCD ∽△ACB，
∴CD:CB=BC:AC，
即：CD:AD=AD:AC，
∴點D是線段AC的黃金分割點．
17.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，
∴
19、PD=AD2+AP2=5，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=5-1，
DM=AD-AM=2-(5-1)=3-5；
(2)證明：∵AM2=(5?-1)2=6-25?,AD?DM=2(3-5?)=6-25，
∴AM2=AD?DM；
(3)點M是AD的黃金分割點．點A是BF的黃金分割點．理由如下：
∵AM2=AD?DM，
∴AMAD=DMAM=5-12，
∴點M是AD的黃金分割點；
同理可得：
AB2=AF?BF，
∴AFAB=ABBF=5-12，
∴點A是BF的黃金分割點．
18.證明：∵AB=2，BD=12AB，∴BD=1．
∵BD⊥AB于點B，∴AD=AB
20、2+BD2=5，
∴AE=AD-DE=5-1，∴AC=AE=5-1，
∴AC=5-12AB，
∴點C是線段AB的黃金分割點．
19.(1)證明：∵AB=AC=1，
，
∵BD平分∠ABC交AC于點D，
，
，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∴∠DBC=∠A=36o
∴△BDC∽?△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，
∴AD2=CD?AC，
∴點D是線段AC的黃金分割點；
(2)解：設AD=x，則CD=AC-AD=1-x，
∵AD2=CD?AC，
∴x2=1-x，解得x1=5-12，x2=-5-12，
即
21、AD的長為5-12．
20.解：設太和門到太和殿的距離為x丈，
由題意可得，x2=100(100-x)
解得，x1=-50+505，x2=-50-505(舍去)
則x≈-50+50×2.2=60，
答：太和門到太和殿的距離為60丈．
21.(1)證明：∵AC=BC，∠C=36°，
∴∠A=∠ABC=72°，
∵BA1平分∠ABC，
∴∠ABA1=12∠ABC=36°，
∴∠C=∠ABA1，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽，△AA1B
∴ABAA1=ACAB，
即AB2=AC·AA1;
(2)解：△ABC是黃金等腰三角形，
理由：由(1)知，A
22、B2=AC·AA1，
設AC=1，
∴AB2=AA1，
又由(1)可得：AB=A1B，
∵∠A1BC=∠C=36°，
∴A1B=A1C，
∴AB=A1C，
∴AA1=AC-A1C=AC-AB=1-AB，
∴AB2=1-AB，
設AB=x，即x2=1-x，
∴x2+x-1=0，
解得：x1=-1+52，x2=-1-52(不合題意舍去)，
∴AB=5-12，
又∵AC=1，
∴ABAC=5-12，
∴△ABC是黃金等腰三角形；
(3)解：由(2)得；
當AC=a，
則AA1=AC-A1C=AC-AB=a-AB
=a--1+52a
=(5-12)2a，
23、
同理可得：
A1A2=A1C-A1B1=AC-AA1-A1B1
=a-(5-12)2a-5-12A1C
=a-(5-12)2a-5-12[a-(5-12)2a]
=(5-12)3a.
故A??n-1An=(5-12)n+1a.
22.解：(1)直線CD是△ABC的黃金分割線．
理由如下：?設△ABC的邊AB上的高為h．
?則S△ADC=12AD?h，S△BDC=12BD?h，S△ABC=12AB?h，
?∴S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD．
?又∵點D為邊AB的黃金分割點，
?∴ADAB=BDAD，
?∴S△ADCS△ABC=
24、S△BDCS△ADC．
?故直線CD是△ABC的黃金分割線．
?(2)不是．
∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，
?∴s1=s2=12s，即s1s≠s2s1，?
故三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．?
(3)∵DF//CE，
?∴△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，
?∴S△DFC=S△DFE，?
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
=S△ADF+S△DFE
=S△AEF，
S△BDC=S四邊形BEFC．
?又∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
?∴S△AEFS△ABC=S四邊形BEFCS△AEF．
?因此，直線EF也是△ABC的黃金分割線．
(4)∵T是線段AB上的黃金分割點，
∴ATAB=TBAT，
∵V1=AT·AE·AD，V2=TB·BC·BF，V=AB·AE·AD，
又∵AE=BF，AD=BC，
∴V1V=AT·AE·ADAB·AE·AD=ATAB，V2V1=TB·BC·BFAT·AE·AD=TBAT，
∴V1V?=V2V1，
∴經(jīng)過點T且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面．
2020年中考數(shù)學復習 黃金分割難題訓練
