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樂考無憂，為您的考研之路保駕護航！ 2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題參考答案 一、選擇題 (1)【答案】 (B). 【解析】因為有間斷點,又因為 , 其中,所以為跳躍間斷點. 顯然,所以為連續(xù)點. 而,所以為無窮間斷點,故答案選擇B. (2)【答案】 (A)． 【解析】因是的解,故,所以 , 而由已知 ,所以 , ① 又由于一階次微分方程是非齊的,由此可知,所以． 由于是非齊次微分方程的解,所以 , 整理得　 , 即　 ,由可知, ② 由①②求解得,故應(yīng)選(A)． (3)【答案】 (C). 【解析】因為曲線與曲線相切,所以在切點處兩個曲線的斜率相同,所以,即.又因為兩個曲線在切點的坐標是相同的,所以在上,當時；在上,時, . 所以.從而解得.故答案選擇(C). (4)【答案】 (D). 【解析】與都是瑕點.應(yīng)分成 , 用比較判別法的極限形式,對于,由于. 顯然,當,則該反常積分收斂. 當,存在,此時實際上不是反常積分,故收斂. 故不論是什么正整數(shù),總收斂.對于,取,不論是什么正整數(shù), , 所以收斂,故選(D). (5) 【答案】 (B). 【解析】, , ． (6) 【答案】 (D). 【解析】 . (7) 【答案】 (A)． 【解析】由于向量組能由向量組線性表示,所以,即 若向量組線性無關(guān),則,所以,即,選(A). (8) 【答案】 (D). 【解析】：設(shè)為的特征值,由于,所以,即,這樣的特征值只能為-1或0. 由于為實對稱矩陣,故可相似對角化,即, ,因此,,即. 二、填空題 (9)【答案】. 【解析】該常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為 ,因式分解得 , 解得特征根為,所以通解為　. (10) 【答案】. 【解析】因為,所以函數(shù)存在斜漸近線,又因為 ,所以斜漸近線方程為. (11)【答案】. 【解析】由高階導(dǎo)數(shù)公式可知, 所以 , 即. (12)【答案】. 【解析】因為 ,所以對數(shù)螺線的極坐標弧長公式為 ==. (13)【答案】3. 【解析】設(shè),由題意知,在時刻,且 ,設(shè)該對角線長為,則 ,所以 . 所以 . (14)【答案】3. 【解析】由于,所以 因為,所以,因此 . 三、解答題 【解析】因為, 所以,令,則. 又,則,所以 是極大值. 而,所以為極小值. 又因為當時,；時,；時,；時,,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為. (16) 【解析】 (I)當時,故,所以 , 則 . (II) ,故由 , 根據(jù)夾逼定理得,所以. (17)【解析】根據(jù)題意得 即,整理有,解 ,令,即. 所以,.因為,所以,故,即, 故． 又由,所以,故. (18)【解析】油罐放平,截面如圖建立坐標系之后,邊界橢圓的方程為： 陰影部分的面積 令時時. 所以油的質(zhì)量. (19)【解析】由復(fù)合函數(shù)鏈式法則得 , , 故 所以　　　　　　　　　　　, 則或,或.又因為當為時方程(3)不滿足,所以當為,滿足題意. (20)【解析】 . (21)【解析】令,對于在上利用拉格朗日中值定理,得存在 使得 ． 對于在上利用拉格朗日中值定理,得存在使得 , 兩式相加得　　　　　　　　　　. 所以存在,使. (22) 【解析】因為方程組有兩個不同的解,所以可以判斷方程組增廣矩陣的秩小于3,進而可以通過秩的關(guān)系求解方程組中未知參數(shù),有以下兩種方法. 方法1：( I )已知有2個不同的解,故,對增廣矩陣進行初等行變換,得 當時,,此時,,故無解(舍去)． 當時,,由于,所以,故 ,. 方法2：已知有2個不同的解,故,因此,即 , 知或-1. 當時,,此時,無解,因此.由,得. ( II ) 對增廣矩陣做初等行變換 可知原方程組等價為,寫成向量的形式,即. 因此的通解為 ,其中為任意常數(shù). (23)【解析】由于,存在正交矩陣,使得為對角陣,且的第一列為,故對應(yīng)于的特征向量為. 根據(jù)特征值和特征向量的定義,有,即 ,由此可得.故. 由, 可得的特征值為. 由,即,可解得對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量為. 由,即,可解得對應(yīng)于的特征向量為. 由于為實對稱矩陣,為對應(yīng)于不同特征值的特征向量,所以相互正交,只需單位化： , 取,則. www.lookwell.com.cn ;免費考研輔導(dǎo)視頻 樂考無憂官方考研交流群：341384403