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2012年全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案 一、選擇題：共8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定的位置上。 1、曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的條數(shù)（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 解：（C）：，可得有一條水平漸近線(xiàn)；，可得有一條鉛直漸近線(xiàn)；，可得不是鉛直漸近線(xiàn)，故答案為（C）。 2、設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ） （A）；（B）；（C）；（D）。 解：（A）：；則 。故答案為（A）。 3．如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列例題正確的是（ ） （A）若極限存在，則在處可微； （B）若極限存在，則在處可微； （C）若在處可微，則極限存在； （D）若在處可微，則極限存在。 解：（B）：∵在處連續(xù)：①對(duì)（A）：令，可得， ，則不存在， 同理得也不存在，故（A）錯(cuò)； ②對(duì)（B）：令，可得， ，同理， 則 由微分定義可得在處可微，故答案為（B）； ③對(duì)（C）和（D）：在處可微，可知在處偏導(dǎo)，即 ， 則 ，顯然極限不存在， 同理 ，顯然極限不存在，故（C）和（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤。 4、設(shè)，則有（ ） （A）；（B）；（C）；（D） 解：（A）：方法一：令，則，可得在上嚴(yán)格單調(diào)增加，可得，故答案為（A）； 方法二：由定積分的幾何意可得，故答案為（A）。 5、設(shè)，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線(xiàn)性相關(guān)的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：（C）：，故線(xiàn)性相關(guān)，可得答案為（C）。 6、設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且， 則（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：（B）：，可得 ，故答案為（B）。 7、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1和參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：（A）：由題意得與的概率密度分別為和，由與相互獨(dú)立，可得，則 ，故答案為（A）。 8、將長(zhǎng)度為的木棒隨機(jī)的截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為（ ） （A）1； （B）； （C）； （D）。 解：（D）：設(shè)兩段長(zhǎng)度分別為和，則，可得相關(guān)系為，故答案為（D）。 二、填空題：9-14，共6題，滿(mǎn)分24分請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定的位置上。 9、若函數(shù)滿(mǎn)足方程及，則 。 解：：的特征方程為解得，可得通解為： ，代入得，可得。 故可得答案為。 10、 。 解：：，令，可得 由對(duì)稱(chēng)性得，再令可得。 11、 。 解：或：令，則，可得 。 12、已知曲面，則 。 解：：由曲面可得，向面投影，可得， 則。 13、設(shè)為三維單位向量，為階單位矩陣，則矩陣的秩為 。 解：：因?yàn)闉槿S單位向量，則，且，可得的特征值為，故的特征值為，且這實(shí)對(duì)稱(chēng)矩，必可對(duì)角化，其秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)。 14．設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，，則 。 解：：，而，互不相容可得， ，可得。 三、解答題：15-23，共9題，共94分，將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。 15（本題10分）、證明：，其中。 證明：令，當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，且 （1）當(dāng)時(shí)，顯然，則 可得當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，，可得； （2）當(dāng)時(shí)，顯然 可得當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，，可得； 由（1）和（2）可得當(dāng)時(shí)，。 16（本題10分）、求的極值。 解：先求函數(shù)的駐點(diǎn)，，可得駐點(diǎn)為； 又 所以，可得，而，故可得在點(diǎn)處取得極大值。 17（本題10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。 解：，可得 當(dāng)，可得級(jí)數(shù)，顯然發(fā)散，故收斂域?yàn)?，且? ，可得， 即； ，可得， 可得，可得當(dāng)時(shí)，， 則。 18（本題10分）、已知曲線(xiàn)，其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若曲線(xiàn)的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求的表達(dá)式，并求此曲線(xiàn)與軸、軸無(wú)邊界區(qū)域的面積。 解：（1）設(shè)為上的任意一點(diǎn)，可得切線(xiàn)斜率為，可得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，令，可得，由于曲線(xiàn)的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，故有 化簡(jiǎn)得，解得，代入得， 則，； （2）曲線(xiàn)與軸、軸無(wú)邊界區(qū)域的面積為： 。 。 19（本題10分）、計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)曲線(xiàn)段。 解：圓周為圓，圓周為圓， 補(bǔ)一直線(xiàn)段，令 顯然在、和所圍閉區(qū)域上具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，且取為正方向，由格林公式可得 。 20（本題11分）設(shè)。（1）求；（2）已知線(xiàn)性方程組有無(wú)窮解，求，并求的通解。 解：（1）； （2） 要使方程組有無(wú)窮解，則必有解得， 則可得的同解方程組為 ，可得的通解為。 21（本題11分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，已知，且二次型。（1）求；（2）求二次型對(duì)應(yīng)二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫(xiě)出正交變換過(guò)程。 解：（1），由 得 ，解得； （2）當(dāng)，，則 解得； ①當(dāng)時(shí)，，與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為； ②當(dāng)時(shí)，，則與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為； ③時(shí)，，與同解，可得特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為； ④令，可得 。 22（本題11分）已知隨機(jī)變量及分布律如下，求（1）；（2）與 解：（1）， ， ； （2）， 而，其中， ， 可得； ， 可得； ， 從而可得相關(guān)系數(shù)。 23（本題11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從正態(tài)分布與，其中是求知參數(shù)，設(shè)。（1）求的概率密度；（2）設(shè)是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；（3）證明是的無(wú)偏估計(jì)量。 解：（1）∵與相互獨(dú)立，且與，也服從正態(tài)分布，且 ∴， 則的概率密度； （2）設(shè)是樣本所對(duì)應(yīng)的一個(gè)樣本值，則樣本的最大似然函數(shù)為 ，令， 解得最大似然估計(jì)值為，從而可得最大似然估計(jì)量為； （3）， 即可以證得是的無(wú)偏估計(jì)量。