《2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8-7圓錐曲線的綜合問(wèn)題 理 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8-7圓錐曲線的綜合問(wèn)題 理 新人教B版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 8-7圓錐曲線的綜合問(wèn)題(理) 基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化 1.(2012·濰坊教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))橢圓＋＝1的離心率為e，點(diǎn)(1，e)是圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一條弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線的方程是(　　) A．3x＋2y－4＝0　　　　　 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 [答案]　B [解析]　依題意得e＝，圓心坐標(biāo)為(2,2)，圓心(2,2)與點(diǎn)(1，)的連線的斜率為＝，則所求直線的斜率等于－，所以所求直線方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，選B. 2．(2012·大連部分中學(xué)聯(lián)考)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且

2、斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案]　B [解析]　令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F(，0)，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選B. 3．(2011·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)已知雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上

3、一點(diǎn)，則·的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．1 D．0 [答案]　A [解析]　由已知得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．設(shè)P(x，y)(x≥1)，則·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在x≥1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為－2. 4．(2011·大綱全國(guó)理，10)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A、B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　D [解析]　方法一：聯(lián)立 解得或不妨設(shè)A在x軸上

4、方， ∴A(4,4)，B(1，－2)， ∵F點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)， cos∠AFB＝＝＝－. 方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2， 由余弦定理知， cos∠AFB＝＝－. 5．設(shè)F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線C1與雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的一個(gè)公共點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B. C. D. [答案]　D [解析]　由題意可知，拋物線C1的焦點(diǎn)為F(，0)，因?yàn)锳F⊥x軸，則A(，±p)，不妨取A(，p)，

5、則雙曲線C2的漸近線的斜率為＝，∴＝2， ∴＝4，∴e2＝5，∴e＝. 6．(2011·海南一模)若AB是過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM、BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率，則kAM·kBM＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ [答案]　B [解析]　解法一(直接法)：設(shè)A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(－x1，－y1)， kAM·kBM＝·＝ ＝＝－. 解法二(特殊值法)：因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為確定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－. 7．(2012·安

6、徽文，14)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________. [答案]　 [解析]　本題考查拋物線定義、直線與拋物線的位置關(guān)系． 解法1：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及拋物線定義可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2)，則直線AF斜率為k＝＝2， 所以AB方程為y＝2(x－1)， 由聯(lián)立消去y得，2x2－5x＋2＝0， 解之得x1＝2，x2＝，∴B(，－)， 所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝. 解法2：如圖，l為拋物線的準(zhǔn)線， AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，BM⊥AA1于M，交FO于N，

7、 則由△BFN△BAM得， ＝，∴|BF|＝. 8．設(shè)直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓x2＋＝1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為－1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． [答案]　3 [解析]　設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線方程為y＝2x＋b，代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0， 由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2， 顯見(jiàn)y＝2x＋2與兩軸交點(diǎn)為橢圓的兩頂點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)， ∵直線y＝2x＋2與l距離d＝， ∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，須使h＝，∵d＝h，∴直線y＝2x＋2與橢圓切點(diǎn)，及y＝2x＋4

8、－2與橢圓交點(diǎn)均滿足，∴這樣的點(diǎn)P有3個(gè)． 9．已知F是橢圓＋＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF與圓x2＋y2＝b2相切，當(dāng)直線PF的傾斜角為時(shí)，此橢圓的離心率是________． [答案]　 [解析]　解法1：設(shè)直線PF與圓x2＋y2＝b2的切點(diǎn)為M，則依題意得OM⊥MF，∵直線PF的傾斜角為， ∴∠OFP＝，∴sin＝＝，橢圓的離心率e＝＝＝＝＝. 解法2：依題意可知PF：y＝－(x＋c)(c＝)， 又O到PF的距離為b，即＝b，∴＝b2＝a2－c2， ∴4a2＝7c2，∴e＝＝. 10．(2012·昆明一中測(cè)試)過(guò)拋物線C：x2＝2py(p>0

9、)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2. (1)求拋物線C的方程； (2)若直線l的斜率為2，問(wèn)拋物線C上是否存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB，并說(shuō)明理由． [解析]　(1)由拋物線的定義得|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線y＝－的距離， ∴1＋＝2，∴p＝2， ∴拋物線C的方程為x2＝4y. (2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1)，直線l的方程y＝2x＋1， 設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為(x1，)、(x2，)、(x0，)， 由方程組消去y得，x2＝4(2x＋1)， 即x2－8x－4＝0， 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4. ∵M(jìn)A⊥MB，∴

10、·＝0， ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0， ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0. ∵M(jìn)不與A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0， ∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0， ∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0. ∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即拋物線C上存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB. 能力拓展提升 11.(2011·新課標(biāo)全國(guó)文，9)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△

11、ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 [答案]　C [解析]　設(shè)拋物線為y2＝2px，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為S＝×12×6＝36. 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足＝λ1(λ1>0)且||＝2a，＝λ2，·＝0，則|OT|的值為(　　) A．4a B．2a C．a(chǎn) D. [答案]　C [解析]　由題知Q、F1、P三點(diǎn)共線，F(xiàn)2、T、Q三點(diǎn)共線．∵|PF1|－|PF2|＝2a＝|F1Q|，∴|PQ|＝|PF

12、2|，又PT⊥QF2，∴T為等腰三角形QPF2底邊QF2的中點(diǎn)，連接OT，則OT為△F1QF2的中位線，所以|OT|＝a. 13．(2011·海南五校聯(lián)考)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線上的一點(diǎn)，且|NF|＝|MN|，則∠NMF＝________. [答案]　30° [解析]　作NH垂直于準(zhǔn)線于H，由拋物線的定義得 |NH|＝|NF|， ∴＝＝＝sin∠HMN， 得∠HMN＝60°， ∴∠NMF＝90°－60°＝30°. 14．(2012·山東蒼山縣期末)已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂

13、點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． [答案]?。? [解析]　在⊙C方程中，令x＝0得y2－4y＋8＝0無(wú)解，令y＝0得x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4，故雙曲線方程中a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝12， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 15．(2011·安徽模擬)點(diǎn)A、B分別為橢圓＋＝1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值． [解析]　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)

14、點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)． 由已知得 消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6， 由于y>0，只能x＝，于是y＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)． (2)直線AP的方程是x－y＋6＝0. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線AP的距離是 ，于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2. ∵橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離是d， ∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝(x－)2＋15， 由于－6≤x≤6，所以當(dāng)x＝時(shí)d取最小值. 16.(2012·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)如圖所示，在△DEM中，⊥，＝(0，－8)

15、，N在y軸上，且＝(＋)，點(diǎn)E在x軸上移動(dòng)． (1)求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)過(guò)點(diǎn)F(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A、B，l2與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)C、Q，求·的最小值． [解析]　(1)設(shè)M(x，y)，E(a,0)，由條件知D(0，－8)， ∵N在y軸上且N為EM的中點(diǎn)，∴x＝－a， ∵⊥，∴·＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴點(diǎn)M的軌跡方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直線l1：y＝kx＋1(k≠0)

16、，則直線l2：y＝－x＋1， 由消去y得，x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 由消去y得，x2＋x－4＝0， ∴x3＋x4＝－，x3x4＝－4. ∵A、B在直線l1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∵C、Q在直線l2上，∴y3＝－x3＋1，y4＝－x4＋1. ∴·＝(x3－x1，y3－y1)·(x2－x4，y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(y3－y1)·(y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(－x3－kx1)(kx2＋x4) ＝x3x2－x1x2－x3x4＋x1x4－x2x3－k2x1x2－x3x4－x1x4 ＝

17、(－1－k2)x1x2＋(－1－)x3x4＝4(1＋k2)＋4(1＋)＝8＋4(k2＋)≥16等號(hào)在k2＝時(shí)取得， 即k＝±1時(shí)成立．∴·的最小值為16. 1．(2011·遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè))已知曲線C：y＝2x2，點(diǎn)A(0，－2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(4，＋∞) B．(－∞，4] C．(10，＋∞) D．(－∞，10] [答案]　D [解析]　過(guò)點(diǎn)A(0，－2)作曲線C：y＝2x2的切線，設(shè)方程為y＝kx－2，代入y＝2x2得， 2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4， 當(dāng)k＝4時(shí)

18、，切線為l， ∵B點(diǎn)在直線x＝3上運(yùn)動(dòng)，直線y＝4x－2與x＝3的交點(diǎn)為M(3,10)，當(dāng)點(diǎn)B(3，a)滿足a≤10時(shí)，視線不被曲線C擋住，故選D. 2.(2011·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A、D為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是(　　) A.＋1 B.－1 C. D. [答案]　A [解析]　設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則AE＝，ED＝1， AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2， ∴e＝＝＝＋1. 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)、雙曲線－＝1和拋物線y2＝2px(p>0)的離心率分別為e1、

19、e2、e3，則(　　) A．e1e2>e3 B．e1e2＝e3 C．e1e2b>0，∴0<4<1，∴e1e2<1＝e3. 4．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(b>0)，則將x＝－y－4代入橢圓方程得， 4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0， ∵橢圓與

20、直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0， 即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3， 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2＝2，故選C. 5．已知雙曲線－＝1　(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) [答案]　C [解析]　 ∵漸近線l1：y＝x與過(guò)焦點(diǎn)F的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l與雙曲線的右支交于一個(gè)點(diǎn)． ∴≥，即c2＝a2＋b

21、2≥4a2，∴e≥2，故選C. 6．已知橢圓C：＋y2＝1(a>1)的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，直線AF2與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)若橢圓內(nèi)存在動(dòng)點(diǎn)P，使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比數(shù)列(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求·的取值范圍． [解析]　(1)圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為(x－3)2＋(y－1)2＝3， 則圓M的圓心為M(3,1)，半徑r＝. 由A(0,1)，F(xiàn)2(c,0)，(c＝)，得直線AF2： ＋y＝1， 即x＋cy－c＝0， 由直線AF2與圓M相切，得＝， 解得c＝或c＝－(舍去)． 則a2＝c2＋1＝3，故橢圓C的方程為：＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，設(shè)P(x，y)， 由題意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|， 即()2＝·， 化簡(jiǎn)得：x2－y2＝1，則x2＝y(tǒng)2＋1≥1. 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故＋y2<1，即＋x2－1<1， ∴x2<，∴1≤x2<， 又·＝x2－2＋y2＝2x2－3， ∴－1≤·<0. 12