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皖南八校 2011屆高三摸底聯(lián)考 數(shù) 學(xué) 試 題（理） 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 2．答題前，考生務(wù)必將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。 3．請(qǐng)將各卷答案填在答題卡上。必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效。 第Ⅰ卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為－1，虛部為2，則等于 （ ） A． B． C． D． 2．若全集為實(shí)數(shù)集R，，則 M等于 （ ） A． B． C． D． 3．若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，－1）的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 （ ） A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 4．設(shè)向量），，則下列結(jié)論中正確的是 （ ） A． B． C．垂直 D．∥ 5．右圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體 的直觀圖是 （ ） 6．對(duì)一位運(yùn)動(dòng)員的心臟跳動(dòng)檢測(cè)了8次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)： 檢測(cè)次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 檢測(cè)數(shù)據(jù)（次/分鐘） 39 40 42 42 43 45 46 47 上述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中，一部分計(jì)算見(jiàn)如右圖所示的程序框圖 （其中是這8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的的值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．56 7．設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的 是 （ ） A．若 B．若 C．若∥，∥則∥ D．若∥，∥，則∥ 8．古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、610……這樣 的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16……這樣 的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”。如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè) 大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角 形”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式為 （ ） ①13=3+10； ②25=9+16； ③36=15+21； ④49=18+31； ⑤64=28+36 A．③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①②③⑤ 9．雙曲線中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． ︵ ︵ 10．如圖，圓O過(guò)正方體六條棱的中點(diǎn)此圓被正方體六條棱的中點(diǎn)分成六段弧，記弧在圓O中所對(duì)的圓心角為，弧所對(duì)的圓心角為，則等于 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題 共100分） 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中的橫線上。 11．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布= 。 12．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 。（用數(shù)字作答） 13．在平面幾何中，直線（A，B不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量可以寫(xiě)為，同時(shí)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到直線的距離為；類(lèi)似的，假設(shè)空間中一個(gè)平面的方程寫(xiě)為不同時(shí)為0）則它的一個(gè)法向量= ，空間任意一點(diǎn)到它的距離= 。 14．已知（）滿足，求的最大值是 。 15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線在第一象限部分上一點(diǎn)P的切線為，過(guò)P點(diǎn)作平行于軸的直線，過(guò)焦點(diǎn)F作平行于的直線交于M，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 。 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。 16．（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求的值域； （Ⅱ）記BC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為的值。 17．（本小題滿分12分） 為迎接2011“兔”年的到來(lái)，某機(jī)構(gòu)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題：?jiǎn)栴}A有四個(gè)選項(xiàng)，問(wèn)題B有五個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，正確回答問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金元，正確回答問(wèn)題B可獲獎(jiǎng)金元?；顒?dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問(wèn)題的順序：如果第一個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止，一個(gè)參與者在回答問(wèn)題前，對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測(cè)回答問(wèn)題，試確定回答問(wèn)題的順序使獲獎(jiǎng)金額的期望值較大。 18．（本小題滿分13分） 已知圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓E上。 （Ⅰ）求m的值及橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。 19．（本小題滿分13分） 如圖，四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為正方形，EC⊥平面ABCD，AB=，CE=1，G為AC與BD交點(diǎn)，F(xiàn)為EG中點(diǎn)， （Ⅰ）求證：CF⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—BE—D的大小。 20．（本小題滿分12分） 定義：對(duì)于函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)。 （Ⅰ）證明：函數(shù)為函數(shù)。 （Ⅱ）對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意正數(shù)，均在 21．（本小題滿分13分） 已知數(shù)列滿足。 （Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)； （Ⅱ）若，且，求和； （Ⅲ）比較的大小，并予以證明。 參考答案 1—5 AADCD 6—10 BBADB 11．0.1587 12．—84 13．（第一空格2分，第二空格3分） 14．2 15． 提示： 1．A 因?yàn)橛蓷l件知 2．A 法一：驗(yàn)證排除：集合M中沒(méi)有0這一元素，有這一元素， 故； 法二：直接求解：由得 所以 3．D 因?yàn)槎c(diǎn)F（1，—1）在直線上，所以軌跡為過(guò)F（1，—1）與直線l垂直的一條直線。 4．C 5．D 由俯視圖可知是B中和D中的一個(gè)，由正視圖和側(cè)視圖可知B錯(cuò)。 6．B 該程序框圖的功能是輸出這8個(gè)數(shù)據(jù)的方差，因?yàn)檫@8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) ，故輸出的s的值為7。 7．B 直線垂直于平面中兩條相交直線，才能垂直于平面，故A錯(cuò)；C中m可能包含在平面中；D中兩條直線可能平行、相交或異面。 8．A 這些三角形數(shù)的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，很容易看到：恰有15+21=36，28+36=64，只有③⑤是對(duì)的。 9．D 10．B 連接正方體六條棱的中點(diǎn)，得到一個(gè)正六邊形，所以可知 11．0.1587 故 12．—84 法一：利用通項(xiàng)公式整理 令； 法二：按比例分配：二項(xiàng)式中前后兩項(xiàng)次數(shù)之比為1：2，所以把9分成三份，前一項(xiàng)兩份，后一項(xiàng)一份，易得結(jié)果。 13． 的法向量橫縱坐標(biāo)分別為x，y的系數(shù)，∴類(lèi)似的可以聯(lián)想的法向量是空間向量橫縱豎分別坐標(biāo)應(yīng)是x，y，z的系數(shù)，故（也可填上與共線的任意向量）。同樣距離公式應(yīng)猜想為。本題也可利用空間向量的投影知識(shí)推理求解（略）。 14．2 由線性規(guī)劃知識(shí)可知當(dāng) 15． 設(shè) 16．解：（I） ………………3分 ………………6分 （II）由 ………………7分 解法一：由余弦定理 得 ………………12分 解法二：由正弦定理 當(dāng) ………………9分 當(dāng) ………………11分 故a的值為1或2 ………………12分 17．解：隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率…………2分 回答問(wèn)題的順序有兩種，分別討論如下： （1）先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B。 參與者獲獎(jiǎng)金額可取0，，則 （2）先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A， 參與者獲獎(jiǎng)金額可取0，則 于是，當(dāng)，先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B，獲獎(jiǎng)的期望值較大； 當(dāng)，兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等； 當(dāng)，先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，獲獎(jiǎng)的期望值較大?！?2分 18．解：（I）因?yàn)橹本€交圓C所得的弦長(zhǎng)為 所以圓心到直線 即 ………………3分 又因?yàn)橹本€過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 則左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-4，0），因?yàn)闄E圓E過(guò)A點(diǎn)， 所以| 所以 故橢圓E的方程為：…………6分 （Ⅱ）法一： 則 設(shè)，則由 消得…………9分 由于直線與橢圓E有公共點(diǎn)， 所以 所以，故的取值范圍為[-12，0]……13分 法二：，設(shè) 則 ，而， 即…………9分 的取值范圍是[0，36] 即的取值范圍是[-6，6] 的取值范圍是[-12，0]…………13分 19．（Ⅰ）證明：為正方形， ，則CG=1=EC…………2分 又F為EG中點(diǎn)， 面ABCD， 平面ECF，…………4分 平面BDE…………6分 （Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由（Ⅰ）知，產(chǎn)平面BDE的一個(gè)法向量…………8分 設(shè)平面ABE的法向量，則 即 …………10分 從而 二面角A—BE—D的大小為…………13分 20．（Ⅰ）證明：， 顯然…………6分 （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)， 即在R上遞增，…………8分 所以 得到 … 相加后，得到：……12分 21．解：（Ⅰ） 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，…………2分 故 因?yàn)? 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為……64分 （Ⅱ）將代入可求得 所以…………5分 ① ②…………7分 由①-②得 …………9分 （Ⅲ） 于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與的大小 由1，… 可猜想當(dāng)時(shí)，…………11分 證明如下： 證法1：（1）當(dāng)時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立， （2）假設(shè)時(shí)成立，即 則時(shí) 所以當(dāng)時(shí)猜想也成立 綜合可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有…………12分 證法2：當(dāng)時(shí) ……12分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，……13分