福建省寧德市2013屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢試題 理(含解析)新人教A版
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1、 福建省寧德市2013屆高三質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題(共10小題,每小題5分,滿分50分) 1.(5分)(2013?寧德模擬)若集合M={x|x2﹣2x≤0},N={x|﹣1≤x≤2},則( ?。? A. N?M B. M∪N=N C. M=N D. M∩N=? 考點(diǎn): 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算. 分析: 解出集合M中二次不等式,再求兩集合的交集或并集,對照選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可. 解答: 解:M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},N={x|﹣1≤x≤2}, ∴M∩N={x|0≤x≤2},M∪N={x|﹣
2、1≤x≤2}=N, 故選B. 點(diǎn)評: 本題考查二次不等式的解集和集合的交集問題,注意等號,較簡單. 2.(5分)(2013?寧德模擬)已知x,y∈R,則“x=y”是“|x|=|y|”的( ?。? A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 考點(diǎn): 必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 分析: 本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義,我們可先假設(shè)“x=y”成立,然后判斷“|x|=|y|”是否一定成立;然后假設(shè)“|x|=|y|”成立,再判斷“x=y”是否一定成立,然后結(jié)合充要條件的定義,即可得到結(jié)論. 解答
3、: 解:當(dāng)“x=y”成立時, “|x|=|y|”一定成立, 即“x=y”?“|x|=|y|”為真假命題; 但當(dāng)“|x|=|y|”成立時,x=±y 即“x=y”不一定成立, 即“|x|=|y|”?“x=y”為假命題; 故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要條件 故選A 點(diǎn)評: 判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條
4、件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系. 3.(5分)(2013?寧德模擬)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,若終邊經(jīng)過點(diǎn)(,),則tanθ等于( ) A. B. C. D. 考點(diǎn): 任意角的三角函數(shù)的定義. 專題: 三角函數(shù)的求值. 分析: 由角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)(,),根據(jù)三角函數(shù)的第二定義,終邊過(x,y)的點(diǎn)tanθ=,代入可得答案. 解答: 解:∵角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合, 終邊經(jīng)過
5、點(diǎn)(,), 故tanθ== 故選B 點(diǎn)評: 本題考查的知識點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)的定義,其中熟練掌握三角函數(shù)的第二定義是解答的關(guān)鍵. 4.(5分)(2013?寧德模擬)一個底面是等腰直角三角形,側(cè)棱垂直于底面且體積為4的三棱柱的俯視圖如圖所示,則這個三棱柱的側(cè)視圖的面積為( ?。? A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 考點(diǎn): 簡單空間圖形的三視圖. 專題: 計算題. 分析: 通過三棱柱的俯視圖,求出底面三角形的高,然后求出棱柱的底面面積,利用棱柱的體積求出棱柱的高,然后求出側(cè)視圖的面積. 解答: 解:由題意可知棱柱的底面面積為S,底
6、面是等腰直角三角形,由俯視圖可知斜邊長為:2,斜邊上的高為:1, 底面面積S,所以S==1, 因?yàn)槔庵捏w積為4,所以V=Sh=4,所以棱柱的高為:4, 側(cè)視圖是矩形,底邊長為:1,高為4, 所以側(cè)視圖的面積為:1×4=4. 故選D. 點(diǎn)評: 本題考查幾何體的三視圖的應(yīng)用,側(cè)視圖的面積的求法,考查計算能力. 5.(5分)(2013?寧德模擬)下列函數(shù)f(x)中,滿足“?x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0“的是( ?。? A. f(x)=2x B. f(x)=|x﹣1| C. f(x)=﹣x D. f(x)
7、=ln(x+1) 考點(diǎn): 奇偶性與單調(diào)性的綜合. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 易得所求函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),逐個驗(yàn)證:A為增函數(shù);B在(1,+∞)單調(diào)遞增;C符合題意;D在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增,可得答案. 解答: 解:由題意可得函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù), 選項(xiàng)A為指數(shù)函數(shù),為增函數(shù),故不合題意; 選項(xiàng)B,f(x)=,故函數(shù)在(1,+∞)單調(diào)遞增,不合題意; 選項(xiàng)C,由f′(x)=<0可知函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù),符合題意; 選項(xiàng)D,函數(shù)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增,故不合題意, 故選C 點(diǎn)評: 本題考查函數(shù)的單調(diào)性,借用常用函
8、數(shù)的單調(diào)性是解決問題的捷徑,屬基礎(chǔ)題. 6.(5分)(2013?寧德模擬)曲線y2=x與直線y=x所圍成的圖形的面積為( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn): 定積分. 專題: 計算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用. 分析: 作出兩個曲線的圖象,求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo),由此可得所求面積為函數(shù)﹣x在區(qū)間[0,1]上的定積分的值,再用定積分計算公式加以運(yùn)算即可得到本題答案. 解答: 解:∵曲線y2=x和曲線y=x的交點(diǎn)為A(1,1)和原點(diǎn)O ∴曲線y2=x和曲線y=x所圍圖形的面積為 S=(﹣x)dx=(﹣x2) =()﹣()= 故選:A 點(diǎn)
9、評: 本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積,著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識,屬于基礎(chǔ)題. 7.(5分)(2013?寧德模擬)已知m,n為兩條不同直線,α,β為兩個不同平面,直線m?平面a,直線n⊥平面β,給出命題: ①n⊥m?α∥β; ②n∥m?α⊥β; ③α∥β?n⊥m; ④α⊥β?n∥m. 其中正確命題為( ?。? A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 考點(diǎn): 命題的真假判斷與應(yīng)用;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系;平面與平面之間的位置關(guān)系. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: 結(jié)合圖形演示判斷①是否正確;
10、根據(jù)面面垂直的判定定理判斷②是否正確; 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷③是否正確; 根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系判斷④是否正確. 解答: 解:①如圖平面α、β的關(guān)系不定,故①錯誤; ②∵m∥n,n⊥平面β,∴m⊥β,m?α∴α⊥β,②正確; ③∵α∥β,n⊥β,∴n⊥α,m?α,∴m⊥n,③正確; ④α⊥β,n⊥β,∴n?α或n∥α.m?α,∴m、n的位置關(guān)系不確定. 故選B 點(diǎn)評: 本題借助考查命題的真假判斷,考查空間直線與直線、平面與平面的位置關(guān)系. 8.(5分)(2013?寧德模擬)平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線/的距離相等,且點(diǎn)F與直線l的距離為1.某同學(xué)建立直角
11、坐標(biāo)系后,得到點(diǎn)P的軌跡方程為x2=2y﹣1,則他的建系方式是( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn): 曲線與方程. 專題: 計算題. 分析: 通過曲線的軌跡方程,判斷曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸的位置,然后確定選項(xiàng). 解答: 解:因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為x2=2y﹣1, 即所求的拋物線方程:y=x2+,拋物線的對稱軸為:y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,). 所以該同學(xué)建系方式是C. 故選C. 點(diǎn)評: 本題考查曲線與方程的關(guān)系,注意拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用,也可以利用曲線圖形變換解答. 9.(5分)(2013?寧德模擬)在△ABC中,sin2A=sin
12、2B+sin2C﹣sinBsinC,且=2,則AC+2AB的 最小值為( ?。? A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 考點(diǎn): 正弦定理;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;余弦定理. 專題: 計算題;解三角形. 分析: 由已知結(jié)合正弦定理可得,a2=b2+c2﹣bc,然后利用余弦定理可得,cosA=可求A,再由=2,結(jié)合數(shù)量積的定義可求bc,而AC+2AB=b+2c,利用基本不等式可求 解答: 解:∵sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC, 由正弦定理可得,a2=b2+c2﹣bc, 由余弦定理可得,cosA== ∴ ∵=2, 由數(shù)量積的定
13、義可知, ∴bc=4 ∴AC+2AB=b+2c=4 當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2時取等號 故選D 點(diǎn)評: 此題考查了正弦定理,余弦定理,以及特殊角的三角函數(shù)值,及基本不等式在求解最值中的應(yīng)用,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵. 10.(5分)(2013?寧德模擬)若函數(shù)f(x)對于任意x∈[a,b],恒有|f(x)﹣f(a)﹣(x﹣a)|≤T(T為常數(shù))成立,則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上具有“T級線性逼近”.下列函數(shù)中: ①f(x)=2x+1; ②f(x)=x2; ③f(x)=; ④f(x)=x3. 則在區(qū)間[1,2]上具有“級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為( ?。? A.
14、 1 B. 2 C. 3 D. 4 考點(diǎn): 命題的真假判斷與應(yīng)用. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 根據(jù)稱函數(shù)f(x)在[a,b]上具有“T級線性逼近”的定義,判斷各個選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是否滿足“級線性逼近”的定義,從而得出結(jié)論. 解答: 解:f(x)=2x+1在區(qū)間[1,2]上,由于|f(x)﹣f(1)﹣(x﹣1)|=|0|≤,故f(x)=2x+1在區(qū)間[1,2]上具有“級線性逼近”,故滿足條件. f(x)=x2 在區(qū)間[1,2]上,由于|f(x)﹣f(1)﹣(x﹣1)|=|(x﹣1)(x﹣2)|=﹣(x﹣1)(x﹣2)≤, 故f(x)=x
15、2在區(qū)間[1,2]上具有“級線性逼近”,故滿足條件. f(x)=在區(qū)間[1,2]上,由于|f(x)﹣f(1)﹣(x﹣1)|=|+﹣|=﹣(+)≤﹣2=﹣≤, 故f(x)=2x+1在區(qū)間[1,2]上具有“級線性逼近”,故滿足條件. f(x)=x3在區(qū)間[1,2]上,由于|f(x)﹣f(1)﹣(x﹣1)|=|x3﹣7x+6|=|(x﹣1)(x﹣3)(x+2)|=﹣(x﹣1)(x﹣3)(x+2), 由于﹣(x3﹣7x+6)的導(dǎo)數(shù)為﹣3x2+7,令﹣3x2+7=0 可得 x=,在[1,]上,3x2﹣7<0,﹣(x﹣1)(x﹣3)(x+2)為增函數(shù), 同理可得在[,2]上,﹣(x﹣1)(x﹣3
16、)(x+2)為減函數(shù),故﹣(x﹣1)(x﹣3)(x+2)的最大值為 (﹣1)(3﹣)(+2)>, 故不滿足“級線性逼近”,故不滿足條件. 故選C. 點(diǎn)評: 本題主要考查新定義:“T級線性逼近”的定義,不等式的性質(zhì)應(yīng)用,式子的變形是解題的難點(diǎn),屬于中檔題. 二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置. 11.(4分)(2013?寧德模擬)若(1+ai)i=﹣3+i,其中a∈R,i是虛數(shù)單位,則a= 3?。? 考點(diǎn): 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 專題: 計算題. 分析: 把給出的等式的左邊展開,然后利用復(fù)數(shù)相等的條件求a的值. 解答:
17、 解:由(1+ai)i=﹣3+i,得﹣a+i=﹣3+i,∴﹣a=﹣3,則a=3. 故答案為3. 點(diǎn)評: 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的條件,兩個復(fù)數(shù)相等,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部等于實(shí)部,虛部等于虛部,是基礎(chǔ)題. 12.(4分)(2013?寧德模擬)運(yùn)行如圖所示的程序,輸入3,4時,則輸出 4?。? 考點(diǎn): 偽代碼. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 由已知中的程序代碼,可得該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)m=的值,由a=3,b=4,易得答案. 解答: 解:由已知中的程序代碼,可得該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)m=的值, 當(dāng)a=3,b=4時,
18、滿足a≤b 故m=b=4 故答案為:4 點(diǎn)評: 本題考查的知識點(diǎn)是偽代碼,分段函數(shù),其中由已知中的程序代碼,分析出分段函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵. 13.(4分)(2013?寧德模擬)若直線x﹣y+t=0與圓x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦長為4,則t的值等于 ﹣2或6 . 考點(diǎn): 直線與圓的位置關(guān)系. 專題: 計算題;直線與圓. 分析: 先將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心與半徑,再在弦心距與半徑構(gòu)成的直角三角形中求解弦長即可. 解答: 解:圓x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化為:(x﹣1)2+(y﹣3)2=16. 圓心到直線的距離為d== 4=2,解得
19、t=﹣2或t=6. 故答案為:﹣2或6 點(diǎn)評: 本題主要考查了直線和圓的方程的應(yīng)用,以及弦長問題,屬于基礎(chǔ)題. 14.(4分)(2006?重慶)已知變量x,y滿足約束條件.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值,則a的取值范圍為 a . 考點(diǎn): 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用. 專題: 計算題;壓軸題;數(shù)形結(jié)合. 分析: 本題考查的知識點(diǎn)是線性規(guī)劃,處理的思路為:根據(jù)已知的約束條件,畫出滿足約束條件的可行域,再用圖象判斷,求出目標(biāo)函數(shù)的最大值. 解答: 解:畫出可行域如圖所示, 其中B(3,0),C(1,1),D(0,1), 若目標(biāo)函數(shù)z=a
20、x+y僅在點(diǎn)(3,0)取得最大值, 由圖知,﹣a<﹣ 解得a> 故答案為a> 點(diǎn)評: 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時,分析題目的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵,可先將題目中的量分類、列出表格,理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù).然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入,最后比較,即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 15.(4分)(2013?寧德模擬)某種平面分形如圖所示,一級分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段,長度均為1,兩兩 夾角為120°; 二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120
21、°;…;依此規(guī)律得到n級分形圖,則n級分形圖中所有線段的長度之和為. 9﹣9??。? 考點(diǎn): 歸納推理. 專題: 規(guī)律型. 分析: 設(shè)n級分形圖中所有線段的長度之和為an,先根據(jù)題意可得a1、a2、a3、a4的值,找到其中的關(guān)系,進(jìn)而可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解答: 解:設(shè)n級分形圖中所有線段的長度之和為an,依題意a1=3,a2=3+2×3×=3+2, a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+, a4=3+2++, …, 它們構(gòu)成一個首項(xiàng)為3,公比為的等比的和, ∴an==9﹣9?. 故答案為:9﹣9? 點(diǎn)評: 本題主要考查歸納推理,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.
22、數(shù)列的通項(xiàng)公式在數(shù)列學(xué)習(xí)中占據(jù)很重要的地位,要強(qiáng)化學(xué)習(xí). 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演箅步驟. 16.(13分)(2013?寧德模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1為偶函數(shù),且f(﹣1)=﹣1. (I)求函數(shù)f(x)的解析式; (II)若函數(shù)g(x)=f(x)+(2﹣k)x在區(qū)間[﹣2,2]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 考點(diǎn): 二次函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)解析式的求解及常用方法. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: (I)由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得b值,進(jìn)而根據(jù)f(﹣1)=﹣1,可得a值,進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的
23、解析式; (II)若函數(shù)g(x)=f(x)+(2﹣k)x在區(qū)間[﹣2,2]上單調(diào)遞減,可得區(qū)間[﹣2,2]在對稱軸的右側(cè),進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍 解答: 解:(I)∵二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1為偶函數(shù), 故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱 即x=﹣=0,即b=0 又∵f(﹣1)=a+1=﹣1,即a=﹣2. 故f(x)=﹣2x2+1 (II)由(I)得g(x)=f(x)+(2﹣k)x=﹣2x2+(2﹣k)x+1 故函數(shù)g(x)的圖象是開口朝下,且以x=為對稱軸的拋物線 故函數(shù)g(x)在[,+∞)上單調(diào)遞減, 又∵函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣2,2]上單調(diào)遞減, ∴≤﹣2
24、 解得k≥10 故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[10,+∞) 點(diǎn)評: 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵. 17.(13分)(2013?寧德模擬)已知函數(shù),f(x)=cos(﹣2ωx)+2sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π. (I )求函數(shù)y=f(x)的最值及其單調(diào)遞增區(qū)間; (II )函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到? 考點(diǎn): 兩角和與差的正弦函數(shù);二倍角的正弦;正弦函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
25、分析: (I)利用降次升角公式,及和差角公式(輔助角公式),可將函數(shù)y=f(x)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,結(jié)合函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π,可得ω的值,進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案. (II)根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則,結(jié)合變換前后函數(shù)的解析式,可分析出函數(shù)變換的方法. 解答: 解:(I)∵f(x)=cos(﹣2ωx)+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin(2ωx﹣)+1 又∵ω>0,f(x)的最小正周期為π 故ω=1 故f(x)=2sin(2x﹣)+1 ∵A=2,B=1 故函數(shù)y=f(x)的最大值為3,最小值為﹣1 由2kπ﹣≤2x﹣≤2
26、kπ+得 kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z 故函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣,kπ+],(k∈Z) (II)將函數(shù)y=2sin2x(x∈R)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度 得到函數(shù)y=2sin2(x﹣)=2sin(2x﹣)(x∈R)的圖象; 再將函數(shù)y=2sin2(x﹣)=2sin(2x﹣)(x∈R)的圖象上的所有點(diǎn)向上平移1個單位長度 得到函數(shù)f(x)=2sin(2x﹣)+1的圖象. 點(diǎn)評: 本題考查的知識點(diǎn)是兩角差的正弦函數(shù),二倍角公式,正弦型函數(shù)的單調(diào)性,周期性,函數(shù)圖象的變換,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔. 18.(13分)(2013?寧德模擬)
27、已知橢圓E:(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率e=. (I)若點(diǎn)F在直線l:x﹣y+1=0上,求橢圓E的方程; (II)若0<a<1,試探究橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得?若存在,求出點(diǎn)P的個數(shù);若不存在,請說明理由. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (Ⅰ)橢圓的左焦點(diǎn)F在直線l:x﹣y+1=0上,把F的坐標(biāo)代入直線方程可求c的值,與離心率e=聯(lián)立后可求a的值,則橢圓E的方程可求; (Ⅱ)假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P,使得,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),求出向量和,代入后求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),由題目給出的a的范圍推出點(diǎn)P橫坐標(biāo)不在
28、[﹣a,a]內(nèi),從而得出矛盾,假設(shè)錯誤. 解答: 解:(Ⅰ)∵F(﹣c,0)在直線l:x﹣y+1=0上, ∴﹣c+1=0,即c=1, 又,∴a=2c=2, ∴b=. 從而橢圓E的方程為. (Ⅱ)由,得, ∴, 橢圓E的方程為,其左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為A(a,0), 假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P(x0,y0)(﹣a≤x0≤a),使得, ∵點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,∴, 由 = = ==1. 解得:x0=a±2, ∵0<a<1,∴ x0=a±2?[﹣a,a], 故不存在點(diǎn)P,使得. 點(diǎn)評: 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,訓(xùn)練了存在性問題的處理
29、方法,對于存在性問題,解決的思路是假設(shè)結(jié)論成立,把假設(shè)作為已知條件進(jìn)行推理,得出正確的等式關(guān)系則假設(shè)成立,肯定結(jié)論,否則假設(shè)不成立,否定結(jié)論.此題是中檔題. 19.(13分)(2013?寧德模擬)如圖(1),在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠C=90°,CD=2AB=2,∠D=60°,E為DC中點(diǎn),將四邊形ABCE繞直線AE旋轉(zhuǎn)90°得到四邊形AB′C′E, 如圖(2). (I)求證:EA⊥B′B; (II)線段B′C′上是否存在點(diǎn)M,使得EM∥平面DB′B,若存在,確定點(diǎn)M的位 置;若不存在,請說明理由; (III)求平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大小.
30、 考點(diǎn): 二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定. 專題: 計算題;證明題;空間位置關(guān)系與距離;空間角. 分析: (I)通過證明EA⊥平面ABB′,然后證明EA⊥B′B; (II)存在.當(dāng)M為B′C′的中點(diǎn)時,EM∥平面DB′B.利用直線與平面平行的判定定理證明即可; (III)通過建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面CB′D與平面BB′A的法向量,利用斜率的數(shù)量積求出兩個平面所成的銳二面角的大?。? 解答: 解:(Ⅰ)證明:∵CD=CD=2AB=2,∴CE=AB,又AB∥CD,且∠C=90°,∴四邊形ABCD為矩形.∴AB⊥EA,EA⊥AB′,又AB∩
31、B′=A,∴EA⊥平面ABB′, ∵BB′?平面ABB′,∴EA⊥B′B; (Ⅱ)解:存在.當(dāng)M為B′C′的中點(diǎn)時,EM∥平面DB′B.理由如下:設(shè)AE與BD交于N,連結(jié)B′N. ∵AB∥DE且AB=DE, ∴四邊形ABED為平行四邊形,∴N為AE的中點(diǎn). ∵M(jìn)為B′C′中點(diǎn),四邊形AB′C′E為矩形,∴MB′∥EN,MB′=EN. ∴四邊形MB′NE為平行四邊形,∴EM∥B′N, 又∵EM?平面DBB′,B′N?平面DBB′, ∴EM∥平面DB′B. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系,E﹣xyz,如圖所示 則D(1,0,0),B
32、′0,,1),E(0,0,0),C(﹣1,0,0) 所以=(﹣1,,1),=(﹣2,0,0) 設(shè)面DCB′的法向量為=(x,y,z),則,? 不妨設(shè)=(0,1,)…(10分) 設(shè)面AB′B的法向量=(0,1,0), 所以cos== 所以平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大小為60°…(12分). 點(diǎn)評: 本題考查直線與平面的垂直與平行的判定定理的應(yīng)用,二面角的求法,考查空間想象能力與計算能力. 20.(14分)(2013?寧德模擬)一學(xué)生參加市場營銷調(diào)查活動,從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料.資 料顯示:11月2日開始,每天的銷售量比前一天多t臺
33、(t為常數(shù)),期間某天由于商 家提高了家電M的價格,從當(dāng)天起,每天的銷售量比前一天少2臺.11月份前2天 共售出8臺,11月5日的銷售量為18臺. (I)若商家在11月1日至15日之間未提價,試求這15天家電M的總銷售量. (II)若11月1日至15日的總銷售量為414臺,試求11月份的哪一天,該商場售出家電M的臺數(shù)最多?并求這一天售出的臺數(shù). 考點(diǎn): 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用. 專題: 計算題;綜合題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (I)由題意,在11月1日至15日之間該商場家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{an},結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解出首項(xiàng)a1
34、和公差t,從而由等差數(shù)列求和公式得到這15天家電M的總銷售量. (II)設(shè)從11月1日起,第n天的銷售量最多(1≤n≤30,n∈N*).根據(jù)(I)前15天的銷售量大于414,可得n<15;通過假設(shè)n=5算出銷售量為120<414,得n>5.因此n為大于5而小于15的整數(shù),因此結(jié)合題中數(shù)據(jù)列出S15關(guān)于n的式子,解方程S15=414,即可得到n=15,可得在11月12日,該商場售出家電M的臺數(shù)最多,這一天的銷售量為46臺. 解答: 解:(I)根據(jù)題意,商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{an}, ∵,∴,解之得 因此,這15天家電M的總銷售量為S15=
35、15×2+=450臺.…(6分) (II)設(shè)從11月1日起,第n天的銷售量最多,1≤n≤30,n∈N* 由(I),若商家在11月1日至15日之間未提價,則這15天家電M的總銷售量為450臺, 而450>414不符合題意,故n<15; 若n=5,則S15=5×2++10×16+=120<414, 也不符合題意,故n>5 因此,前n天每天的銷售量組成一個首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,第n+1天開始每天的銷售量組成首項(xiàng)為4n﹣4, 公差為﹣2的等差數(shù)列.…(10分) ∴S15=[2n+]+[(15﹣n)(4n﹣4)+]=﹣3n2+93n﹣270 由已知條件,得S15=414,即﹣
36、3n2+93n﹣270=414 解之得n=15或n=19(舍去19) ∴n=12,出售家電M的臺數(shù)為2+11×4=46臺 故在11月12日,該商場售出家電M的臺數(shù)最多,這一天的銷售量為46臺. 點(diǎn)評: 本題給出商場家電的銷售量成等差數(shù)列的模型,求家電M哪一天的銷售量為最多.著重考查了函數(shù)、數(shù)列的基本知識及其應(yīng)用能力,考查了函數(shù)方程思想和轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用,屬于中檔題. 21.(14分)(2013?寧德模擬)已知函數(shù)f1(x)=x2,f2(x)=alnx(a∈R)? (I)當(dāng)a>0時,求函數(shù).f(x)=f1(x)?f2(x)的極值; (II)若存在x0∈[1,e],使得f1
37、(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (III)求證:當(dāng)x>0時,lnx+﹣>0. (說明:e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…) 考點(diǎn): 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件;導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用. 專題: 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (I)求出導(dǎo)函數(shù),通過對導(dǎo)函數(shù)為0的根與區(qū)間的關(guān)系,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值; (II)根據(jù)題意存在x0∈[1,e],使得f1(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立,設(shè)g(x)=x2+alnx﹣(a+1)x,則問題轉(zhuǎn)化為g(x)min≤0即可,再利用導(dǎo)數(shù)工具得出g′(x),對a時行分類討論①當(dāng)a
38、≤1時,②當(dāng)1<a<e時,③當(dāng)a≥e時,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最小值,求出a的范圍,最后綜上得到實(shí)數(shù)a的取值范圍即可; (III)問題等價于x2lnx>,構(gòu)造函數(shù)h(x)=,利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值,從而列出不等式f(x)min>h(x)max,即可證得結(jié)論. 解答: 解:(I)f(x)=f1(x)?f2(x)=x2alnx, ∴f′(x)=axlnx+ax=ax(2lnx+1),(x>0,a>0), 由f′(x)>0,得x>e,由f′(x)<0,得0<x<e. ∴函數(shù)f(x)在(0,e)上是增函數(shù),在(e,+∞)上是減函數(shù), ∴f(x)的極小值為f(e)=﹣,無極大值. (II)
39、根據(jù)題意存在x0∈[1,e],使得f1(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立, 設(shè)g(x)=x2+alnx﹣(a+1)x,則g(x)min≤0即可, 又g′(x)=x+﹣(a+1)=, ①當(dāng)a≤1時,由x∈[1,e],g′(x)>0,得g(x)在[1,e]上是增函數(shù), ∴g(x)min=g(1)=﹣(a+1)≤0,得﹣≤a≤1. ②當(dāng)1<a<e時,由x∈[1,a],g′(x)<0,得g(x)在[1,a]上是減函數(shù), 由x∈[a,e],g′(x)>0,得g(x)在[1,a]上是增函數(shù), ∴g(x)min=g(a)=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a(1﹣lna)≤0恒成立,得1<
40、a<e. ③當(dāng)a≥e時,由x∈[1,e],g′(x)<0,得g(x)在[1,e]上是減函數(shù), ∴g(x)min=g(e)=)=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0,得a≥,又<e,∴a≥e. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍a. (III)問題等價于x2lnx>, 由(I)知,f(x)=x2lnx的最小值為﹣, 設(shè)h(x)=,h′(x)=﹣得,函數(shù)h(x)在(0,2)上增,在(2,+∞)減, ∴h(x)max=h(2)=, 因﹣>0, ∴f(x)min>h(x)max, ∴x2lnx>,∴l(xiāng)nx﹣()>0, ∴l(xiāng)nx+﹣>0. 點(diǎn)評: 本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,先通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用. 17
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