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建模試題05秋模擬試題 一、填空題（每題5分，共20分） 1. 若銀行的年利率是%，則需要時(shí)間 ，存入的錢才可翻番. 2. 有人觀察到魚尾每擺動(dòng)一次，魚所移動(dòng)的距離幾乎與魚身的長(zhǎng)度相等，則魚尾擺動(dòng)的次數(shù)（次/秒）、魚身的長(zhǎng)度和它的速度的關(guān)系式為 . 3. 已知行星的質(zhì)量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的倍，且它的平均密度是地球的倍，則此行星質(zhì)量是地球的 倍. 4. 一個(gè)圖能夠一筆畫的充分必要條件是 . 二、分析判斷題（每題10分，共20分） 1. 地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時(shí)，人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假設(shè)有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定甚麼樣的疏散計(jì)劃.請(qǐng)就這個(gè)計(jì)劃指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示. 2. 假設(shè)某個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如下形式： 試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化. 三、計(jì)算題（每題20分，共40分） 1. 某鋁合金加工單位要加工一批成套窗料，每套窗料含有和長(zhǎng)度的料各兩根，總計(jì)要加工套，所用原料的長(zhǎng)度均為試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個(gè)截料方案，使得所用原料最少？ 2. 求如圖一所示網(wǎng)絡(luò)中到的最短路線及其路長(zhǎng). 圖一 四、綜合應(yīng)用題（本題20分） 一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅館經(jīng)理得到一些數(shù)據(jù)：若每間客房定價(jià)為160元，住房率為55%；每間客房定價(jià)為140元，住房率為65%；每間客房定價(jià)為120元，住房率為75%；每間客房定價(jià)為100元，住房率為85%.欲使每天收入最高，每間客房定價(jià)應(yīng)為多少？ 注：本題要求按照五步建模法給出建模全過(guò)程. 數(shù)學(xué)建模05秋模擬試題參考解答 一、填空題（每題5分，共20分） 1. ； 2. （k是常數(shù)）； 3. ； 4. 該圖為連通圖且奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2. 二、分析判斷題（每題10分，共20分） 1. 解：撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對(duì)擁擠程度、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間等. 注：列出的因素不足三個(gè)，每缺一個(gè)扣3.5分。 2. 解：當(dāng)較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開式將小括號(hào)部分簡(jiǎn)化為 從而有 . 若也很小，則可以利用將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)為 三、計(jì)算題（每題20分，共40分） 1. 解：先列出所有可能的截料方案： 方案 尺寸 1 2 3 2.2米 0 1 2 1.5米 3 1 0 料頭長(zhǎng) 0.1 0.9 0.2 由此假設(shè)，按照方案1、2、3分別需原料根，以表示總料頭長(zhǎng)，則有 由兩個(gè)約束條件得一起代入目標(biāo)函數(shù)得 可見應(yīng)令但非整數(shù)，于是可將原問(wèn)題添加條件構(gòu)成兩個(gè)新的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題： 其中問(wèn)題（2）無(wú)解，而（1）可同上求解得 代入目標(biāo)函數(shù)可知 依此再進(jìn)行分支和求解，最后獲得解為 即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即為最優(yōu)方案. 2. 解：利用雙標(biāo)號(hào)法可得圖二： 圖二 故得到的最短路線（兩條）及其路長(zhǎng)分別為 第一條： 第二條： 四、綜合應(yīng)用題（本題20分） 解：（一）問(wèn)題分析 1. 易于看出，定價(jià)每降低20元，住房率便增加10%，呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)； 2. 160元的定價(jià)是否為最高價(jià)應(yīng)給予確定； 3. 是否所有客房定價(jià)相同需要確定. （二） 模型假設(shè) 1. 在無(wú)其他信息時(shí)，每間客房的最高定價(jià)均為160元； 2. 所有客房定價(jià)相同. （三）模型建立 根據(jù)假設(shè)1.，如果設(shè)代表旅館一天的總收入，而 表示與160元相比降低的房?jī)r(jià)，則可得每降低1錢元的房?jī)r(jià)，住房率增加為10%/20=0.005.由此便可以得到 （1） 注意到又得到于是得到所求的數(shù)學(xué)模型為： ， （四）模型求解 這是一個(gè)二次函數(shù)的極值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)方法易于得到為唯一駐點(diǎn)，問(wèn)題又確實(shí)存在最大值，故（元）即為價(jià)格降低幅度，也即160-25=135（元）應(yīng)為最大收入所對(duì)應(yīng)的房?jī)r(jià). （五）模型分析 1. 將房?jī)r(jià)定在135元時(shí)，相應(yīng)的住房率為最大收入為（元）.表面上住房率沒(méi)有達(dá)到最高，但是總收入達(dá)到最大，這自然是住房率與價(jià)格相互制約造成. 2. 可以將五種定價(jià)的總收入求出以做比較（從略）和檢驗(yàn)，知我們的結(jié)果是正確的. 3. 為了便于管理，將價(jià)格定在140元/（天.間）也無(wú)妨，因?yàn)榇藭r(shí)的總收入與最高收入僅差18.75元. 4. 假如定價(jià)是180元，住房率應(yīng)為45%，其相應(yīng)的收入只有12150元，由此可知，我們的假設(shè)1.是正確的.