《數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形及直角三角形（試卷部分）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形及直角三角形（試卷部分）（91頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.3等腰三角形及直角三角形中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (山東專用)A A組組2014201820142018年山東中考題組年山東中考題組考點一等腰三角形考點一等腰三角形五年中考1.(2017濱州,8,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC上一點,且DA=DC,BD=BA,則B的大小為()A.40B.36C.80D.25答案答案B設(shè)B=x,因為AB=AC,所以C=B=x,因為DA=DC,所以DAC=C=x,所以BDA=C+DAC=2x,因為BD=BA,所以BAD=BDA=2x,所以BAC=3x,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得x+x+3x=180,解得x=36.所以B=36.2.(2017淄博,16,4分)

2、在邊長為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊上的任意一點,過點D分別作DEAB,DFAC,垂足分別為E,F,則DE+DF=.答案答案23解析解析連接AD,過點C作CGAB,垂足為G,則AG=BG=2.CG=2.SABD+SACD=SABC,ABDE+ACDF=ABCG,4DE+4DF=4CG,DE+DF=CG=2.22ACAG2242312121212121233.(2018濱州,25,13分)已知,在ABC中,A=90,AB=AC,點D為BC的中點.(1)如圖,若點E、F分別為AB、AC上的點,且DEDF,求證:BE=AF;(2)若點E、F分別為AB、CA延長線上的點,且DEDF,那么BE=A

3、F嗎?請利用圖說明理由.解析解析(1)證明:如圖1,連接AD,BAC=90,AB=AC,D為BC的中點,DEDF,BDA=EDF=90,BD=AD,B=DAC=45,BDE+EDA=EDA+ADF,BDE=ADF,BDE ADF(ASA),BE=AF.(2)BE=AF.理由如下:如圖2,連接AD,易知BDA=EDF=90,BDE+BDF=BDF+ADF,BDE=ADF,又D為BC的中點,ABC是等腰直角三角形,BD=AD,ABC=DAC=45,EBD=FAD=180-45=135,BDE ADF(ASA),BE=AF.4.(2016淄博,22,8分)如圖,已知ABC,AD平分BAC交BC于點D

4、,BC的中點為M,MEAD,交BA的延長線于點E,交AC于點F.(1)求證:AE=AF;(2)求證:BE=(AB+AC).12證明證明(1)AD平分BAC,BAD=CAD.ADEM,BAD=AEF,CAD=AFE.AEF=AFE.AE=AF.(2)過點C作CGEM,交BE的延長線于G.EFCG,G=AEF,ACG=AFE.AEF=AFE,G=ACG.AG=AC.BM=CM,EMCG,BE=EG.BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).121212思路分析思路分析(1)欲證明AE=AF,只要證明AEF=AFE即可.(2)作CGEM,交BE的延長線于G,先證明AC=AG,再證明BE=EG即可解

5、決問題.5.(2017濟南,27,9分)某學(xué)習小組在學(xué)習過程中遇到了下面問題:如圖1,在ABC和ADE中,ACB=AED=90,CAB=EAD=60,點E、A、C在一條直線上,F是BD的中點,連接EF、CF,試判斷CEF的形狀并說明理由.問題探究:(1)小婷同學(xué)的解題思路是,先探究CEF的兩條邊是否相等,如EF=CF,以下是她的解答過程:證明:延長線段EF交CB的延長線于點G.F是BD的中點,DF=BF.ACB=AED=90,EDCB.BGF=DEF.又BFG=DFE,BGF DEF.()EF=FG.CF=EF=EG.12請結(jié)合以上的證明過程,解答下列兩個問題:在圖1中畫出證明所構(gòu)造的輔助線;

6、在證明的括號中填寫理由(請在SAS、ASA、AAS、SSS中選擇);(2)在(1)證明過程的基礎(chǔ)上,請你幫助小婷求出CEF的度數(shù),并判斷CEF的形狀;問題拓展:(3)如圖2,當ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度后,連接CE,延長DE交BC的延長線于點P,其他條件不變,判斷CEF的形狀并說明理由.解析解析(1)如圖:AAS.(2)設(shè)AE=a,AC=b,則DE=a,BC=b,CE=a+b.BGF DEF,BG=ED=a.CG=BC+BG=(a+b).在RtECG中,由tanCEG=,得CEG=60.3333CGCE3又CF=EF,CEF是等邊三角形.(3)CEF是等邊三角形,理由如下:取AD的中點M,

7、連接ME、MF,如下圖:點M是RtAED斜邊AD的中點,EM=AM.又EAD=60,AEM是等邊三角形.AE=ME,AEM=60.在RtABC中,易得ABC=30,AC=AB.點M、F分別為AD、BD的中點,MF=AB,MFAB,FMA+MAB=180,且AC=MF,EAC=360-60-60-MAB=60+FMA=EMF.EAC EMF(SAS).EF=EC,MEF=AEC,CEF=CEA+AEF=MEF+AEF=60.CEF是等邊三角形.1212易錯警示易錯警示本題易錯處有兩個:一是想不到利用三角函數(shù)求CEF的度數(shù),導(dǎo)致解第(2)問時陷入困境;二是求解最后一題時,不會構(gòu)造全等三角形,無法切

8、入解題過程,導(dǎo)致望題興嘆,茫然不知所措.方法規(guī)律方法規(guī)律(1)本題是幾何壓軸題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線性質(zhì)、利用特殊角的三角函數(shù)值求特殊角的度數(shù)等知識,并通過閱讀材料這種課題學(xué)習的形式呈現(xiàn),較為新穎.(2)閱讀材料往往會為我們提供一些解題方法或給出解題暗示,要求在理解的基礎(chǔ)上進行問題的解答,或在閱讀材料中提供一些操作方法,要求同學(xué)們?nèi)ツM并探究,或提供一個解題過程,這種題不僅考查了同學(xué)們的閱讀能力,而且還綜合考查了同學(xué)們的創(chuàng)新意識及轉(zhuǎn)化能力.考點二直角三角形考點二直角三角形1.(2018濱州,1,3分)在直角三角形中

9、,若勾為3,股為4,則弦為()A.5B.6C.7D.8答案答案A根據(jù)勾股定理直接求得弦為=5.22342.(2018棗莊,10,3分)如圖是由8個全等的小矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.5答案答案B如圖,設(shè)每個小矩形的長與寬分別為x、y,則有2x=x+2y,從而x=2y.因為線段AB是12的矩形對角線,所以根據(jù)網(wǎng)格作垂線可知,過點B與AB垂直且相等的線段有AP1和BP2,過點A與AB垂直且相等的線段有AP3,且P1,P2,P3都在頂點上,因此滿足題意的點P共有3

10、個,故選B.3.(2018淄博,11,4分)如圖,在RtABC中,CM平分ACB交AB于點M,過點M作MNBC交AC于點N,且MN平分AMC.若AN=1,則BC的長為()A.4B.6C.4D.83答案答案BMNBC,MN平分AMC,CM平分ACB,AMN=NMC=NCM=BCM=B.又A=90,AMN=B=30.MN=2AN=2=NC,AC=AN+NC=3,BC=2AC=6.4.(2016東營,9,3分)在ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或1010答案答案C由圖1可知,BD=8,CD=2,則BC=8+2=10;由圖2可知

11、,BD=8,CD=2,則BC=8-2=6.故選C.思路分析思路分析根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,然后利用勾股定理分別求出BC的長.易錯警示易錯警示解答本題易出現(xiàn)只考慮高在三角形內(nèi)部的情況,而忽視高在外部的情況而漏解.5.(2018德州,15,4分)如圖,OC為AOB的平分線,CMOB,OC=5,OM=4,則點C到射線OA的距離為.答案答案3解析解析如圖,過點C作CNOA,垂足為N,OC平分AOB,CMOB,CN=CM.在RtCOM中,CM=3,CN=3,即點C到射線OA的距離為3.22OCOM22546.(2017青島,13,3分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,E為對角線AC的中點

12、,連接BE,ED,BD,若BAD=58,則EBD為度.答案答案32解析解析ABC=ADC=90,E為AC的中點,AE=BE=DE,BAE=ABE,DAE=ADE.BED=BAE+ABE+DAE+ADE=2BAD=116.BE=DE,EBD=(180-BED)=(180-116)=32.1212思路分析思路分析先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得AE=BE=DE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BAE=ABE,DAE=ADE,再利用三角形外角的性質(zhì)求得BED的度數(shù),進而求得等腰三角形BED的底角EBD的度數(shù).方法規(guī)律方法規(guī)律由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,所以若問題中出現(xiàn)直角三角形斜

13、邊中點時,通常從斜邊上的中線,把直角三角形分成的兩個等腰三角形入手進行解答.7.(2015聊城,15,3分)如圖,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分線.若AB=6,則點D到AB的距離是.答案答案3解析解析C=90,A=30,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=ABC=30,由題意知點D到AB的距離等于DC的長,在RtBDC中,DC=BCtanDBC=3=,點D到AB的距離等于.123333思路分析思路分析根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等,得到點D到AB的距離等于DC,在RtBDC中,利用三角函數(shù)知識可以求出DC.B B組組2014201820142018年全

14、國中考題組年全國中考題組考點一等腰三角形考點一等腰三角形1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為D,點E在線段AD上,EBC=45,則ACE等于()A.15B.30C.45D.60答案答案A由等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為點D,可得ACB=60,且點D是BC的中點,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等邊對等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.2.(2017浙江臺州,8,4分)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,則下列結(jié)論一定正確的是()A.AE=ECB.AE

15、=BEC.EBC=BACD.EBC=ABE答案答案CABC是等腰三角形,AB=AC,ABC=ACB,又BC=BE,ACB=BEC,BAC=EBC,故選C.3.(2016湖北荊門,4,3分)如圖,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分線,已知AB=5,AD=3,則BC的長為()A.5B.6C.8D.10答案答案C因為AB=AC,AD平分BAC,所以ADBC,BD=CD,所以ADB=90,在RtABD中,AB=5,AD=3,所以BD=4,所以BC=2BD=8.22534.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EFAC于點F,G為EF的中點,連接

16、DG,則DG的長為.答案答案192解析解析連接DE,在等邊ABC中,D、E分別是AB、BC的中點,DEAC,DE=EC=AC=2,DEB=C=60.EFAC,EFC=90,FEC=30,EF=,DEG=180-60-30=90.G是EF的中點,EG=.12332在RtDEG中,DG=.22DEEG22322192思路分析思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.疑難突破疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系,所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE

17、,構(gòu)造直角三角形,運用勾股定理求出DG的長.5.(2017黑龍江綏化,20,3分)在等腰ABC中,ADBC交直線BC于點D,若AD=BC,則ABC的頂角的度數(shù)為.12答案答案30或150或90解析解析BC為腰,ADBC于點D,AD=BC,AD=AC,ACD=30,如圖1,當AD在ABC內(nèi)部時,C=30,即頂角的度數(shù)為30;如圖2,當AD在ABC外部時,ACB=180-30=150,即頂角的度數(shù)為150;BC為底,如圖3,ADBC于點D,AD=BC,AD=BD=CD,B=BAD,C=CAD,BAD+CAD=180=90,BAC=90,即頂角的度數(shù)為90.綜上所述,等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30

18、或150或90.121212126.(2017吉林,20,7分)圖、圖、圖都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個小等邊三角形的頂點稱為格點.線段AB的端點在格點上.(1)在圖、圖中,以AB為邊各畫一個等腰三角形,且第三個頂點在格點上;(所畫圖形不全等)(2)在圖中,以AB為邊畫一個平行四邊形,且另外兩個頂點在格點上.解析解析(1)每畫對一個得2分.答案不唯一,以下答案供參考.(4分)(2)畫對一個即可.答案不唯一,以下答案供參考.(7分)考點二直角三角形考點二直角三角形1.(2018湖北黃岡,5,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2

19、,CE=5,則CD=()A.2B.3C.4D.23答案答案C在RtABC中,因為CE為AB邊上的中線,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易證ACDCBD,則CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故選C.2.(2016廣西百色,6,3分)如圖,ABC中,C=90,A=30,AB=12,則BC=()A.6B.6C.6D.1223答案答案AC=90,A=30,AB=12,BC=AB=12=6.故選擇A.1212答案答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.設(shè)AB的中點為O,則P在以AB為直徑的圓上.當點O,P,C三點共線時,線段CP最短,

20、OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP=AB=3,線段CP長的最小值為5-3=2,故選B.122234123.(2016安徽,10,4分)如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足PAB=PBC.則線段CP長的最小值為()A.B.2C.D.328 131312 13134.(2018湖北黃岡,13,3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm(杯壁厚度不計).答案答案20解析解析如圖,將圓柱側(cè)面展

21、開,延長AC至A,使AC=AC,連接AB,則線段AB的長為螞蟻到蜂蜜的最短距離.過B作BBAD,垂足為B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB=20,即螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.22B BA B2216125.(2018天津,18,3分)如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,ABC的頂點A,B,C均在格點上.(1)ACB的大小為;(2)在如圖所示的網(wǎng)格中,P是BC邊上任意一點,以A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于BAC,把點P逆時針旋轉(zhuǎn),點P的對應(yīng)點為P,當CP最短時,請用無刻度的直尺,畫出點P,并簡要說明點P的位置是如何找到的(不要求證明).答案答案(1)

22、90.(2)如圖,取格點D,E,連接DE交AB于點T;取格點M,N,連接MN交BC延長線于點G;取格點F,連接FG交TC延長線于點P,則點P即為所求.解析解析(1)每個小正方形的邊長為1,AC=3,BC=4,AB=5,(3)2+(4)2=50=(5)2,AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形,且ACB=90.(2)在射線AC上取格點F,使AF=AB=5,則點F為點B的對應(yīng)點,根據(jù)直線BC的位置,取格點M,N,連接MN交BC的延長線于點G,可求得CG=+=,連接GF,CF,易得ACBGCF,則GF所在直線即為BC旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊所在直線.取格點D,E,連接DE交AB于點T,則點T為線段AB的中點

23、,作直線CT,所以TC=TA,ACT=CAT,記直線CT交FG于點P,因為PCF+PFC=ACT+ABC=90,所以FPC=90,即CPFG,所以點P即為所求作的點.22222222223 22思路分析思路分析(1)由勾股定理求得AC,BC,AB的長,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出直角三角形;(2)P是BC邊上任意一點,把ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),使旋轉(zhuǎn)角等于BAC,那么點P的對應(yīng)點P在邊CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊上,當CP垂直于CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊時,線段CP最短,確定CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊的位置,作出垂線,即可確定點P的位置.C C組教師專用題組組教師專用題組考點一等腰三角形考點一等腰三角形1.(2018河北

24、,8,3分)已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是()A.作APB的平分線PC交AB于點CB.過點P作PCAB于點C且AC=BCC.取AB中點C,連接PCD.過點P作PCAB,垂足為C答案答案B無論作APB的平分線PC交AB于點C,還是取AB中點C,連接PC或過點P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項A,C,D的作法正確.故選B.2.(2016湖南湘西,14,4分)一個等腰三角形一邊長為4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是()A.13cmB.14cmC.13cm或

25、14cmD.以上都不對答案答案C當?shù)妊切蔚难L為4cm時,三角形的三邊長分別是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為13cm;當?shù)妊切蔚难L為5cm時,三角形的三邊長分別是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為14cm,故選C.3.(2015淄博,8,4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,B=60,將ABC沿對角線AC折疊,點B的對應(yīng)點落在點E處,且點B,A,E在一條直線上,CE交AD于點F,則圖中的等邊三角形共有()A.4個B.3個C.2個D.1個答案答案BABC沿對角線AC折疊,點B,A,E在一條直線上,E=B=60,B

26、CE是等邊三角形;ADBC,EAF=B=60,EAF是等邊三角形;BECD,D=EAF=60,E=DCF=60,CDF是等邊三角形.4.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標軸上取點C,使ABC為等腰三角形,則滿足條件的點C的個數(shù)是()A.5B.6C.7D.8答案答案A如圖,當AB=AC時,以點A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩個交點(點B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中點C0與A、B兩點共線,不符合題意;當AB=BC時,以點B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩個交點,均符合題意;當AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐

27、標軸有兩個交點,均符合題意.所以滿足條件的點C有5個,故選A.5.(2017貴州黔西南,18,3分)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則該等腰三角形的周長是.答案答案15解析解析當腰為3時,3+3=6,3、3、6不能組成三角形;當腰為6時,3+6=96,3、6、6能組成三角形,該三角形的周長為=3+6+6=15.6.(2016黑龍江齊齊哈爾,17,3分)有一面積為5的等腰三角形,它的一個內(nèi)角是30,則以它的腰長為邊的正方形的面積為.3答案答案20或203解析解析在等腰ABC中,設(shè)AB=AC=x.當頂角A=30時,如圖1,作CDAB,垂足為D.sin30=,CD=x,xx=5,x2=20,

28、即以它的腰長為邊的正方形的面積為20;當?shù)捉荁=ACB=30時,如圖2,作CDBA,交BA的延長線于D.DAC=B+ACB=60,sin60=,CD=x,xx=5,x2=20,即以它的腰長為邊的正方形的面積為20.綜上,以它的腰長為邊的正方形的面積為20或20.CDAC12121212333CDAC32321232337.(2017湖北恩施州,18,8分)如圖,ABC、CDE均為等邊三角形,連接BD,AE,BD與AE交于點O,BC與AE交于點P.求證:AOB=60.證明證明ABC和ECD都是等邊三角形,AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60,ACB+BCE=DCE+BCE,即ACE=BC

29、D,在ACE和BCD中,ACE BCD(SAS),CAE=CBD,BPO=APC,BOP=ACP=60,即AOB=60.,ACBCACEBCDCECD 8.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線.(1)求證:BD=CE;(2)設(shè)BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.解析解析(1)證明:AB,AC是等腰ABC的兩腰,AB=AC,BD,CE是中線,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABD ACE,BD=CE.(2)四邊形DEMN為

30、正方形.提示:由MN、DE分別是OBC、ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形,由(1)知BD=CE,故可證OE=OD,從而四邊形DEMN是矩形,再由ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形.12129.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,連接AE,BD交于點O,AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.(1)如圖1,求證:AE=BD;(2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.解析解析(1)證明:如題圖1,ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE

31、=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,BCD=ACE,在ACE和BCD中,ACE BCD(SAS),AE=BD.(2)ACB DCE,AON DOM,AOB DOE,EMC BNC.,ACBCACEBCDCEDC 10.(2015重慶A卷,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC角平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF.(1)如圖1,若點H是AC的中點,AC=2,求AB,BD的長;(2)如圖1,求證:HF=EF;(3)如圖2,連接CF,CE.

32、猜想:CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由.3圖1圖2解析解析(1)點H是AC的中點,AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD=2.(4分)(2)證明:連接AF,如圖.31233222(4 3)13F是BD的中點,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.1212DAE=60,

33、ADE=30.AE=AD,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD,FDH=FAE.(7分)FDH FAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等邊三角形.(9分)理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.12F是BD的中點,FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,點G為AB的中點,CG=AG.又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.FGC=30,FGC=EAC.FGC EAC(SAS).(11分)CF=CE,ACE=GCF.

34、ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60,CEF是等邊三角形.(12分)1212考點二直角三角形考點二直角三角形1.(2017浙江紹興,6,4分)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左側(cè)墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米,則小巷的寬度為()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米答案答案C如圖,由題意得,AC=2.4米,BC=0.7米,在RtABC中,AB=2.5(米),又因為AB=BD,所以在RtBDE中,BE=1.5(米),則小巷的寬度CE=BC+BE=0.7+1.5=2.

35、2(米).222.40.722BDDE222.522.(2017四川南充,7,3分)如圖,等邊OAB的邊長為2,則點B的坐標為()A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)3333答案答案D如圖,過點B作BCOA于點C,則OC=1,在RtBCO中,BC=,點B的坐標為(1,).22OBOC2221333.(2017遼寧大連,8,3分)如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,點E是AB的中點,CD=DE=a,則AB的長為()A.2aB.2aC.3aD.a24 33答案答案B在RtCDE中,CD=DE=a,CE=CD=a,AB=2CE=2a,故選B.2224.(2018福建,15

36、,4分)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.2答案答案-13解析解析由題意知ABC,ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC=AD=2.過A作AFBC于F,則FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC=-1.2335.(2017四川樂山,14,3分)點A、B、C在格點圖中的位置如圖所示,格點小正方形的邊長為1,則點C到線段AB所在直線的距離是.答案答案355解析解析連接AC、BC,過點B作BEAC于點E,過

37、點C作CDAB,交AB的延長線于點D.則BC=AB=,AC=3,CE=AC=,在RtBCE中,由勾股定理,得BE=,SABC=ACBE=ABCD,CD=.22125992123 2222BCCE221212AC BEAB3 556.(2016福建莆田,16,4分)魏朝時期,劉徽利用如圖“以盈補虛,出入相補”的方法,即“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類”,證明了勾股定理.若圖中BF=1,CF=2,則AE的長為.答案答案310解析解析由已知得四邊形ABCD是正方形,BF=1,CF=2,AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.RtABF中,AF=,BCAD,EFCEAD,=,即=,解

38、得AE=3AF=3.22ABBF223110EFAECFADAEAFAE23107.(2016四川廣安,24,8分)在數(shù)學(xué)活動課上,老師要求學(xué)生在55的正方形ABCD網(wǎng)格中(小正方形的邊長為1)畫直角三角形,要求三個頂點都在格點上,而且三邊與AB或AD都不平行,畫四種圖形,并直接寫出其周長(所畫圖形相似的只算一種).解析解析第一種(四選一):周長=2+周長=2+2510105周長=2+周長=2+第二種(二選一):17341326周長=3+周長=3+21055周長=4+2周長=5+周長=5+252342268.(2016湖南益陽,20,10分)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求A

39、BC的面積.某學(xué)習小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程.作ADBC于D,設(shè)BD=x,用含x的代數(shù)式表示CD根據(jù)勾股定理,利用AD作為“橋梁”,建立方程模型求出x利用勾股定理求出AD的長,再計算三角形面積解析解析如圖,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,設(shè)BD=x,則CD=14-x.(2分)由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,152-x2=132-(14-x)2,解之得x=9.(7分)AD=12.(8分)SABC=BCAD=1412=84.(10分)12129.(2017江蘇南京,22

40、,8分)“直角”在初中幾何學(xué)習中無處不在.如圖,已知AOB,請仿照小麗的作圖方法,再用兩種不同的方法判斷AOB是不是直角(僅限用直尺和圓規(guī)).小麗的作圖方法:如圖,在OA,OB上分別取點C,D,以C為圓心,CD長為半徑畫弧,交OB的反向延長線于點E,若OE=OD,則AOB=90.解析解析本題答案不唯一,下列方法供參考.例如:方法1:如圖,在OA,OB上分別截取OC=4,OD=3,若CD=5,則AOB=90.方法2:如圖,在OA,OB上分別取點C,D,以CD為直徑畫圓.若點O在圓上,則AOB=90.A A組組2016201820162018年模擬年模擬基礎(chǔ)題組基礎(chǔ)題組考點一等腰三角形考點一等腰三

41、角形三年模擬1.(2016泰安新泰,14)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、B是兩格點,如果C也是圖中的格點,且使得ABC為等腰三角形,則點C的個數(shù)是()A.6B.7C.8D.9答案答案C如圖,分兩種情況討論:AB為等腰ABC底邊時,符合條件的C點有4個;AB為等腰ABC其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.綜上,符合條件的點C有8個,故選C.2.(2018淄博高青一模,18)如圖,已知等邊三角形ABC中,D是AC的中點,E是BC延長線上的一點,且CE=CD,作DMBC,垂足為M,求證:M是BE的中點.證明證明連接BD,等邊三角形ABC中,D是AC的中點,DBC=ABC=6

42、0=30,ACB=60,CE=CD,CDE=E,又ACB=CDE+E,E=30,DBC=E,BD=ED,BDE為等腰三角形,又DMBC,M是BE的中點.12123.(2016聊城莘縣二模,20)如圖,已知ABC是等邊三角形,點D、F分別在線段BC、AB上,EFB=60,DC=EF.(1)求證:四邊形EFCD是平行四邊形;(2)若BF=EF,求證:AE=AD.證明證明(1)ABC是等邊三角形,ABC=60,EFB=60,ABC=EFB,EFDC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),又DC=EF,四邊形EFCD是平行四邊形.(2)連接BE,BF=EF,EFB=60,EFB是等邊三角形,EB=EF,EBF=6

43、0.DC=EF,EB=DC,ABC是等邊三角形,ACB=60,AB=AC,EBF=ACB,AEB ADC(SAS),AE=AD.考點二直角三角形考點二直角三角形1.(2018青島膠州期末,7)下列各組數(shù):8,15,17;7,12,15;12,15,20;7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的是()A.B.C.D.答案答案A82+152=172;72+122152;122+152202;72+242=252.故可作為直角三角形的三邊長.2.(2016聊城陽谷一模,10)在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,則()A.A為直角B.C為直角C.B為直角D

44、.ABC不是直角三角形答案答案A(a+b)(a-b)=c2,a2-b2=c2,即c2+b2=a2,故ABC是直角三角形,且a為直角三角形的斜邊,A為直角.故選A.一、選擇題(共3分)1.(2016青島市南區(qū)一模,5)如圖,在ABC中,C=90,AB=5cm,AC=4cm,點D在AC上,將BCD沿著BD所在直線翻折,使點C落在斜邊AB上的點E處,則DC的長為()A.cmB.cmC.2cmD.cm23323 52B B組組 2016-2018 2016-2018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時間時間: :1515分鐘分值分鐘分值: :2020分分) )答案答案BC=90,AB=5cm,AC=4

45、cm,BC=3cm,將BCD沿著BD所在直線翻折,使點C落在斜邊AB上的點E處,BED BCD,BED=C=90,BE=BC=3cm,AE=AB-BE=2cm,設(shè)DC=xcm,則DE=xcm,AD=(4-x)cm,在RtADE中,由勾股定理得AE2+DE2=AD2,即22+x2=(4-x)2,解得x=.故選B.22ABAC32二、填空題(每小題3分,共9分)2.(2018青島中考樣題二,13)如圖,平面直角坐標系中,點A、B分別是x軸、y軸上的動點,以AB為邊作邊長為2的正方形ABCD,則OC的最大值為.答案答案+15解析解析取AB的中點E,連接OE、CE,則BE=2=1,在RtBCE中,由勾

46、股定理,得CE=,AOB=90,點E是AB的中點,OE=BE=1,又OCOE+EC=1+,且當點O、E、C三點共線時,等號成立,此時OC最大,OC的最大值為+1.1222215553.(2016泰安泰山,23)如圖,在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,BC=2AD,F、E分別是BA、BC的中點,則下列結(jié)論正確的是.(填序號)ABC是等腰三角形;四邊形EFAM是菱形;SBEF=SACD;DE平分CDF.12答案答案解析解析連接AE,E為BC的中點,BE=CE=BC,又BC=2AD,AD=BE=EC,又ADBC,四邊形ABED、四邊形AECD為平行四邊形.又DCB=90,四邊形AECD為矩形

47、,AEC=90,即AEBC,AE垂直平分BC,AB=AC,即ABC為等腰三角形,正確;12E為BC的中點,F為AB的中點,AF=AB,EF為ABC的中位線,EFAC,EF=AC,EF=AF,又四邊形ABED為平行四邊形,AFME,又EFAC,四邊形AFEM為平行四邊形,四邊形AFEM為菱形,正確;過F作FNBC于N點,則FNAE,又F為AB的中點,N為BE的中點,FN為ABE的中位線,FN=AE=CD.又BE=AD,SBEF=BEFN,SACD=ADCD,SBEF=SACD,正確;根據(jù)已知不能推出DE平分CDF,錯誤.12121212121212故答案為.4.(2016泰安新泰,22)如圖,等

48、邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動點,且總使AD=BE,AE與CD交于點F,AGCD于點G,則=.FGAF答案答案12解析解析在等邊ABC中,ECA=B,AC=AB=BC,AD=BE,BD=CE,CAE BCD,DCB=EAC,AFG=CAF+ACF=DCB+ACF=60,AGCD,FAG=30,=.FGAF12三、解答題(共8分)5.(2016臨沂羅莊一輪模擬,21)如圖,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合.現(xiàn)正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O(點O也是BD的中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn).(1)如圖,當EF與AB相交于點M,GF

49、與BD相交于點N時,通過觀察或測量BM,FN的長度,猜想BM,FN滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖的位置,線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.解析解析(1)BM=FN.證明:GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形,ABD=F=45.由題意可知OB=OF.在OBM和OFN中,OBM OFN.BM=FN.(2)BM=FN仍然成立.證明:GEF是等腰直角三角形,GFE=45,NFO=135.四邊形ABCD是正方形,OBC=45,CBM=90,OBM

50、=135,由題意知OB=OF.在OBM和OFN中,45 ,MBOFOBOFBOMFON OBM OFN.BM=FN.135 ,MBONFOOBOFBOMFON C C組組2016201820162018年模擬年模擬探究題組探究題組1.(2018德州齊河二模,24)數(shù)學(xué)復(fù)習課上,張老師出示了下框中的問題:已知:在RtACB中,ACB=90,點D是斜邊AB上的中點,連接CD.求證:CD=AB.12問題思考(1)經(jīng)過獨立思考,同學(xué)們想出了多種正確的證明思想,其中有位同學(xué)的思路如下:如圖1,過點B作BEAC交CD的延長線于點E,請你根據(jù)這位同學(xué)的思路證明上述框中的問題;方法遷移(2)如圖2,在RtAC

51、B中,ACB=90,點D為AB的中點,點E是線段AC上一動點,連接DE,線段DF始終與DE垂直且交BC于點F.試猜想線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;拓展延伸(3)如圖3,在RtACB中,ACB=90,點D為AB的中點,點E是線段AC延長線上一動點,連接DE,線段DF始終與DE垂直且交CB延長線于點F.試問第(2)小題中線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系會發(fā)生改變嗎?若會,請寫出關(guān)系式;若不會,請說明理由.解析解析(1)證明:BEAC,A=DBE,ACD=E,又點D是AB的中點,AD=DB,ACD BED,AC=BE,CD=ED,又BEAC,ACB+EBC=180,又ACB=90

52、,EBC=90,BC=CB,ACB EBC,CE=AB,CD=CE=AB.(2)線段AE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系是AE2+BF2=EF2.理由如下:如圖,過B作BGAC交ED的延長線于點G,連接FG,BGAC,A=DBG,AED=DGB,又點D為AB的中點,AD=DB,ADE BDG,AE=BG,GD=ED,又DEDF,EF=FG,1212BGAC,ACB+GBC=180,又ACB=90,GBC=90,BG2+BF2=FG2,AE2+BF2=EF2.(3)線段AE、EF、FB的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變,仍有AE2+BF2=EF2.理由如下:如圖,過A作AGBC交FD的延長線于點G,連接EG,AG

53、BC,GAD=DBF,AGD=DFB,又點D為AB的中點,AD=DB,ADG BDF,AG=BF,GD=DF,又DEDF,EF=EG,AGBC,EAG=ACB=90,AE2+AG2=EG2,AE2+BF2=EF2.2.(2017濟南天橋一模,27)如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標軸上,點B的坐標為(-4,4).點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動;點Q從點O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運動,規(guī)定點P到達點O時,點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線,與過點Q且平行于y軸的直線l相交于點D.連接BD,與y軸交于點E,連接PE.設(shè)點P運動的時間為t(s).

54、(1)PBD的度數(shù)為,點D的坐標為(用t表示);(2)當t為何值時,PBE為等腰三角形?(3)探索POE周長是否隨時間t的變化而變化.若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.解析解析(1)45;(t,t).由題意可得AP=OQ=1t=t.AO=PQ.四邊形OABC是正方形,l平行于y軸,BAP=PQD=90,AO=AB,DPBP,BPD=90,BPA=90-DPQ=PDQ.AO=PQ,AO=AB,AB=PQ.在BAP和PQD中,BAP PQD(AAS).AP=QD=t,BP=PD.又OQ=t,BPD=90,點D的坐標為(t,t),PBD=PDB=45.(2)若PB=PE,由PAB DQP得PB

55、=PD,顯然PBPE,這種情況應(yīng)舍去.若EB=EP,則PBE=BPE=45.,BPAPDQBAPPQDABPQ BEP=90.PEO=90-BEC=EBC.在POE和ECB中,POE ECB(AAS).OE=CB=OC,點E與點C重合(EC=0),點P與點O重合(PO=0).點B(-4,4),AO=CO=4.此時t=4.若BP=BE,在RtBAP和RtBCE中,RtBAP RtBCE(HL).AP=CE.AP=t,CE=t,PO=EO=4-t.POE=90,PE=(4-t).截取AF,使得AF=CE,連接BF,如圖所示.,POEECBPEOEBCEPBE ,BPBEBABC22POEO2在FA

56、B和ECB中,FAB ECB.FB=EB,FBA=EBC.EBP=45,ABC=90,ABP+EBC=45.FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45.FBP=EBP.在FBP和EBP中,90 ,ABCBBAFBCEAFCE ,BFBEFBPEBPBPBP FBP EBP(SAS).FP=EP,EP=FP=FA+AP=CE+AP,EP=t+t=2t,(4-t)=2t,解得t=4-4,當t為4或4-4時,PBE為等腰三角形.(3)POE的周長不隨時間t的變化而變化.將BCE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90,得到BAH,BE=BH,CE=AH,EBH=90,EBP=45=PBH,BP=BP,PBE PBH.EP=PH=AH+AP=CE+AP,POE的周長=OP+OE+PE=OP+OE+CE+AP=OA+OC=4+4=8.222