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小學(xué)六年級奧數(shù)題 1.某市舉行小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，結(jié)果不低于80分的人數(shù)比80分以下的人數(shù)的4倍還多2人，及格的人數(shù)比不低于80分的人數(shù)多22人，恰是不及格人數(shù)的6倍，求參賽的總?cè)藬?shù)？ 解： 設(shè)80分以下的人數(shù)為X人 則不低于80分的為4X+2人，及格的就是4X+2+22人，不及格的就是X-22人。 4X+2+22=(X-22)*6 X=78人 總?cè)藬?shù)為(X-22)*(1+6)=392(人) 答：... 2.電影票原價每張若干元,現(xiàn)在每張降低3元出售,觀眾增加一半,收入增加五分之一,一張電影票原價多少元？ 解： 設(shè)電影票原價為X元/張 (X-3)(1+1/2)=(1+1/5)X X=15 答：... 3.甲乙在銀行存款共9600元，如果兩人分別取出自己存款的40%，再從甲存款中提120元給乙。這時兩人錢相等，求乙的原有存款. 解： 設(shè)乙原有存款X元,則甲原有存款為(9600-X)元： (9600- X)*40%-120=X*40%+120 X=4600(元) 答：... 4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10顆奶糖后，巧克力糖占總數(shù)的60%。再增加30顆巧克力糖后，巧克力糖占總數(shù)的75%,那么原混合糖中有奶糖多少顆？巧克力糖多少顆？ 解： 設(shè)原混合糖堆共有X顆糖 (X+10)*60%+30=(X+10+30)*75% 混合糖堆糖的顆數(shù)X=40(顆),其中巧克力糖為(X+10)*(1-60%)-10=10(顆)，奶糖為(X+10)*60%=30(顆)答：... 5.小明和小亮各有一些玻璃球，小明說：“你有球的個數(shù)比我少1/4”小亮說：“你要是能給我你的1/6，我就比你多2個了?！毙∶髟胁Ａ蚨嗌賯€？ 解： 設(shè)小明原有玻璃球X個 X-X*1/6=X(1-1/4)+X*1/6-2 X=24(個) 答：... 6.搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？ 解： 三人共同搬運兩個倉庫的貨物，每人用時為2/(1/10+1/12+1/15)=8(小時) 丙幫助甲搬運的時間為(1-8*1/10)*15=3(小時) 丙幫助乙搬運的時間為(1-8*1/12)*15=5(小時) 答：... 7.一件工作,若由甲單獨做72天完成,現(xiàn)在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又過了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙單獨完成,還需要幾天? 解: 甲乙丙3人8天完成5/6-1/3=1/2 甲乙丙3人每天完成1/28=1/16 甲乙丙3人4天完成1/164=1/4 甲做1天+甲乙合做2天,完成1/3-1/4=1/12 則乙每天做(1/12-1/723)/2=1/48 則丙每天做1/16-1/72-1/48=1/36 余下的由丙做,要(1-5/6)1/36=6(天 ) 答：... 8. 股票交易中，每買進或賣出一種股票都必須按成交金額的1％和2％分別交納印花稅和傭金（通常所說的手續(xù)費）。老王10月8日以每股10.65元的價格買進一種科技股票3000股，6月26日以每股13.86元的價格將這些股票全部賣出，老王賣出這種股票一共賺了多少錢？ 解: 3000*[13.86*(1-1%-2%)-10.65*(1+1%+2%)]=7424.1(元) 答：... 9.某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書，第一次購書用100元，按該書定價2.8元出售，很快售完,賺了40%。第二次購書時，每本的批發(fā)價比第一次增多了0.5元，用去150元，當(dāng)這批書售出4/5時出現(xiàn)滯銷，便以定價的5折售完剩余圖書。試問該老板第二次售書是賠錢還是賺錢，若賠，賠多少?若賺，賺多少? 解: 第一次進書價格2.8/(1+40%)=2(元/本) 第二次進書本數(shù)150/(2+0.5)=60(本) 賺的錢為60*4/5*2.8+60*1/5*2.8*50%-150=1.2(元) 答：... 10.倉庫有一批貨物，運走的貨物與剩下的貨物的質(zhì)量比為2：7.如果又運走64噸，那么剩下的貨物只有倉庫原有貨物的五分之三。倉庫原有貨物多少噸？ 解： 第一次運走貨物后,余下的貨物7/(2+7)=7/9 倉庫原有貨物64/(7/9-3/5)=360(噸) 答：... 11.育才小學(xué)原來體育達標人數(shù)與未達標人數(shù)比是3：5，后來又有60名同學(xué)達標，這時達標人數(shù)是未達標人數(shù)的9/11，育才小學(xué)共有學(xué)生多少人？ 解： 原來達標人數(shù)占總?cè)藬?shù)的3（3＋5）＝3/8 現(xiàn)在達標人數(shù)占總?cè)藬?shù)的9/11（1＋9/11）＝9/20 育才小學(xué)共有學(xué)生60（9/20－3/8）＝800(人) 答：... 12.小王，小李，小張三人做數(shù)學(xué)練習(xí)題，小王做的題數(shù)的一半等于小李的1/3,等于小張的1/8,而且小張比小王多做了72道,小王,小張,小李各做多少道? 解： 設(shè)小王做了X道數(shù)學(xué)練習(xí)題 則小李做了X/2*3=1.5X道，小張做了X/2*8=4X道 4X-X=72 X=2(道),小李做了1.5X=1.5*24=36(道)，小張做了4X=4*24=96(道) 答：... 13.甲乙二人共同完成242個機器零件。甲做一個零件要6分鐘，乙做一個零件要5分鐘。完成這批零件時，兩人各做了多少個零件？ 解： 設(shè)甲做了X個零件 則乙做了(242-X)個零件 6X=5(242-X) X=110(個) 242-110=132(個) 答：... 14.某工會男女會員的人數(shù)之比是3：2，分為甲乙丙三組，已知甲乙丙三組人數(shù)之比是10:8:7，甲組中男女比是3：1，乙組中男女比是5：3。求丙組男女人數(shù)之比 解： 設(shè)男會員人數(shù)為3N，女會員人數(shù)為2N，會員總?cè)藬?shù)為5N 甲組會員人數(shù)為5N*10/(10+8+7)=2N，其中男會員人數(shù)為2N*3/4=3N/2，女會員人數(shù)為2N*1/4=N/2 乙組會員人數(shù)為5N*8/(10+8+7)=8/5N，其中男會員人數(shù)為8/5N*5/8=N，女會員人數(shù)為8/5N*3/8=3/5N 丙組會員人數(shù)為5N*7/(10+8+7)=7/5N，其中男會員人數(shù)為3N-3N/2-N=N/2，女會員人數(shù)為2N-N/2-3/5N=9/10N 丙組中男女之比為N/2：9/10N=5：9 答：... 15.甲乙丙三個村合修一條水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面積比是8：7：5原來三個村計劃按可灌溉的面積比派出勞力，后來因為丙村抽不出勞力，經(jīng)協(xié)商，丙村應(yīng)抽出的勞力由甲乙兩村分擔(dān)，丙村付給甲乙兩村工錢1350元，結(jié)果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，問甲乙兩村各應(yīng)分得工錢多少元？ 解: 甲村多派的人數(shù)為60-8/(8+7+5)(60+40)=20人 甲村多派的人數(shù)為40-7/(8+7+5)(60+40)=5人 甲村應(yīng)分得的工錢為1350*20/(20+5)=1080元 甲村應(yīng)分得的工錢為1350*5/(20+5)=270元 答: ... 16.李明的爸爸經(jīng)營一個水果店，按開始的定價，每賣出1千克水果，可獲利2元。后來降價銷售，后每天的銷量增加了1倍，每天獲利比原來增加了50%。問：每千克水果降價多少元？ 解: 2-2*(1+50%)/(1+1)=0.5(元) 答: ... 17.小王參加數(shù)學(xué)競賽，一共得了68分。評分標準是：每做對一道得20分，每做錯一道倒扣6分。已知他做對題的數(shù)量是做錯題的兩倍，并且所有的題他都做了，請問這套試卷共有多少道題？ 解： 設(shè)這套試卷共有X道題 20*X*2/3-6*X*1/3=68 X=6(題) 答: ... 18.爸爸媽媽和奶奶乘飛機去旅行，三人所帶行李的質(zhì)量都超過了可免費攜帶行李的質(zhì)量，要另付行李費，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果這些行李讓一個人帶，那么除了免費部分，應(yīng)另付行李費8元，求每人可免費攜帶行李的質(zhì)量。 解： 設(shè)可免費攜帶的重量為X千克， 由于超重行李的單價不變,得出(150-3X)/4=(150-X)/8 答: ... 19.一隊少先隊員乘船過河，如果每船坐15人，還剩9人，如果每船坐18人，剛好剩余1只船，求有多少只船？ 解： 設(shè)船數(shù)為X 15X+9=(X-1)*18 X=9(只) 答：... 20.建筑工地有AB兩堆沙子,A堆比B堆多85噸,兩堆沙子各用去30噸后,A堆剩的是B堆的2倍,兩堆沙子原來各有多少噸? 解： 設(shè)A堆原來為X噸,則B堆為(X-85)噸 X-30=2(X-85-30) X=200(噸) 答：... 21.甲乙兩地相距420千米,其中一段路面鋪了柏油,另一段是泥土路.一輛汽車從甲地駛到乙地用了8小時,已知在柏油路上行駛的速度是每小時60千米,而在泥土路上的行駛速度是每小時40千米.泥土路長多少千米? 解: 設(shè)泥土路長X千米 (420－X)/60+X/40=8 X=120(千米) 答: ... 22.一少先隊中隊去野營,炊事員問多少人,中隊長答: 一個人一個碗,兩個人一只菜碗,三個人一只湯碗,放在你這兒有55只碗,你算算有多少人? 解: 設(shè)少先隊中隊有X人 X＋X／2＋X／3＝55 X＝30(人) 答: ... 23.學(xué)校購買840本圖書分給高、中、低三個年級段，高年級段分的是低年級段的2倍，中年級段分的是低年級段的3倍少120本。三個年級段各分得多少本圖書？ 解: 設(shè)低年級段分得X本書，則高年級段分得2X本,中年級段分得(3X-120)本 X+2X+3X-120=840 X=160(本) 中年級段分得的圖書為160*3-120=360(本) 高年級段分得的圖書為160*2=320(本) 答：... 24.學(xué)校田徑組原來女生人數(shù)占1/3,后來又有6名女生參加進來,這樣女生就占田徑組總?cè)藬?shù)的4/9。現(xiàn)在田徑組有女生多少人? 解: 設(shè)原來田徑隊男女生共X人 X*1/3+6=4/9(X+6) X=10 現(xiàn)在田徑組有女生X*1/3+6=30*1/3+6=16(人) 答: ... 25.小華擁有連環(huán)畫的本數(shù)是小明6倍,如果兩人各再買2本,那么小華的連環(huán)畫本數(shù)是小明4倍,兩人原來各有連環(huán)畫多少本？ 解： 設(shè)小明原有X本連環(huán)畫 則小華原有6X本連環(huán)畫 4(X+2)=6X+2 X=3(本) 6X=18(本) 答: ... 26.小春一家四口人今年的年齡之和為147歲，爺爺比爸爸大38歲，媽媽比小春大27歲，爺爺?shù)哪挲g是小春與媽媽年齡之和的2倍。小春一家四口人的年齡各是多少？ 解: 設(shè)小春年齡為X歲 則媽媽X+27歲，爺爺(X+X+27)*2=4X+54歲，爸爸4X+54-38=4X+16歲 X+(X+27)+4X+54+4X+16=147 X=5(歲) 媽媽年齡為X+27=5+27=32歲，爺爺年齡為4X+54=4*5+54=74歲，爸爸年齡為4X+16=4*5+16=36歲。 答: ... 27.甲乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數(shù)的5分之1比乙校參加人數(shù)的4分之1少1人，甲乙兩校各多少人參賽？ 解： 設(shè)甲校有X人參賽 則乙校有(22-X)人參賽 X*1/5=(22-X)*1/4-1 X=10(人) 乙校參賽人數(shù)為22-X=22-10=12(人) 答：... 28.在濃度為40%的鹽水中加入1千克水,濃度變?yōu)?0%,再加入多少千克鹽,濃度變?yōu)?0%? 解: 設(shè)原鹽水為X千克，加入Y千克鹽后濃度變?yōu)?0% X*40%/(X+1)=30% X=3(千克) (1.2＋Y)/(4+Y)=50% Y＝1.6 答：... 29. 某人到商店買紅藍兩種鋼筆，紅鋼筆定價5元，藍鋼筆定價9元，由于購買量較多，商店給予優(yōu)惠，紅鋼筆八五折，藍鋼筆八折，結(jié)果此人付的錢比原來節(jié)省的18%，已知他買了藍鋼筆30枝，那么。他買了幾支紅鋼筆？ 解: 設(shè)此人買了X支紅鋼筆 (X*5+9*30)*(1-18%)=X*5*0.85+30*9*0.8 X=36(支) 答：... 30.甲:“我們?nèi)斯灿?00元”，乙:“如果甲的錢是現(xiàn)有的6倍，我的錢是現(xiàn)有的1/3，丙的錢不變，我們?nèi)怨灿?00元”，丙:“我的錢少于30元”。三人原來各有多少錢？ 解： 設(shè)甲的錢為X元 因X*(6-1)=乙的錢*(1-2/3） 即乙的錢=7.5X 甲乙的錢之和為X+7.5X=8.5X 丙錢不足30，所以甲乙錢之和大于70，即100>8.5X>70 X=10(元)，乙的錢為7.5*X=7.5*10=75(元)，丙的錢為100-10-75=15(元) 答: ... 31.某廠向銀行申請甲乙兩種貸款共30萬，每年需支付利息4萬元,甲種貸款年利率為12%，乙種貸款年利率為14%，該廠申請甲乙兩種貸款金額各多少元？ 設(shè)甲廠貸款金額X萬元 則乙廠貸款金額(30-X)萬元 X*0.12+(30-X)*0.14=4 X=10(萬元) 乙廠貸款金額為(30-X)=30-10=20(萬元) 答: ... 32.某書店對顧客有一項優(yōu)惠，凡購買同一種書100本以上，就按書價的90%收款。某學(xué)校到書店購買甲、乙兩種書，其中乙種書的冊數(shù)是甲種書冊數(shù)的3/5只有甲種書得到了90%的優(yōu)惠。其中買甲種書所付的錢數(shù)是買乙種書所付錢數(shù)的2倍。已知乙種書每本1.5元，那么甲種書每本定價多少元？ 方法一: 甲乙兩種書花的總錢數(shù)比為2:1 則甲乙兩種書花的總錢數(shù)比為(2/0.9):1=20:9 甲乙兩種書冊數(shù)比為5:3 則甲乙兩種書單價比為(205):(93)=4:3 甲種書定價1.54/3=2(元/本) 方法二: 設(shè)甲種書買了X本 則乙種書買了3/5X本,買乙種書共付了3/5X*1.5=0.9X元 則甲種書共付了0.9X*2=1.8X元 甲種書優(yōu)惠后每本價格為1.8X/X=1.8元,甲種書定價為1.8/0.9=2(元/本) 答: ... 33.兩支成分不同的蠟燭,以均勻速度燃燒,其中一支可以燃燒2小時,另一支可以燃燒3小時,傍晚6時半同時點燃蠟燭，到什么時候一支剩余部分正好是另一支剩余部分的2倍？ 解： 設(shè)蠟燭燃燒的時間為X小時 1-X*1/3=2(1-X/2) X=1.5(小時) 6.5+1.5=8(時) 答: ... 34.學(xué)校組織春游，同學(xué)們下午一點從學(xué)校出發(fā)，走了一段平路，爬了一座山后按原路返回，下午七點回到學(xué)校。已知他們的步行速度平路4Km/小時，爬山3Km/小時，下山為6Km/小時，返回時間為2.5小時。問：他們一共行了多少路 解: 設(shè)山路是X公里 X/3-X/6=[(7-1)-2.5]-2.5 X=6公里 則平路為[(7-1)-6/3-6/6]*4/2=6公里 一共行了(6+6)*2=24公里 答: ... 1. 工程問題 1．甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/805＝45/80表示5小時后進水量 1-45/80＝35/80表示還要的進水量 35/80（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿 答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。 2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要合作幾天？ 解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。 設(shè)合作時間為X天，則甲獨做時間為（16-X）天 1/20*（16-X）+7/100*X＝1 X＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？ 解： 由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量 （1/4+1/5）2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。 根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。 1/102＝1/20表示乙的工作效率。 11/20＝20小時表示乙單獨完成需要20小時。 答：乙單獨完成需要20小時。 4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？ 解：由題意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天） 1/甲＝1/乙+1/甲0.5（因為前面的工作量都相等） 得到1/甲＝1/乙2 又因為1/乙＝1/17 所以1/甲＝2/17，甲等于172＝8.5天 5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？ 答案為300個 120（4/52）＝300個 可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。 6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？ 答案是15棵 算式：1（1/6-1/10）＝15棵 7．一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？ 答案45分鐘。 1（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。 1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。 1/218＝1/36 表示甲每分鐘進水 最后就是1（1/20-1/36）＝45分鐘。 8．某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？ 答案為6天 解： 由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知： 乙做3天的工作量＝甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3 時間比的差是1份 實際時間的差是3天 所以3（3-2）2＝6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期 方程方法： [1/X+1/（X+2）]2+1/（X+2）（X-2）＝1 解得X＝6 9．兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？ 答案為40分鐘。 解：設(shè)停電了X分鐘 根據(jù)題意列方程 1-1/120*X＝（1-1/60*X）*2 解得X＝40 二．雞兔同籠問題 1．雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問雞與兔各有幾只? 解： 4*100＝400，400-0＝400 假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，那么雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。 400-28＝372 實際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？ 4+2＝6 這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只（從400只變?yōu)?96只），雞的總腳數(shù)就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數(shù)就會少4+2＝6只（也就是原來的相差數(shù)是400-0＝400，現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2＝394，相差數(shù)少了400-394＝6） 3726＝62 表示雞的只數(shù)，也就是說因為假設(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只 100-62＝38表示兔的只數(shù) 三．?dāng)?shù)字數(shù)位問題 1．把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.....2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少? 解： 首先研究能被9整除的數(shù)的特點：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)也能被9整除；如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。 解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除 依次類推：1~1999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除 10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除 同樣的道理，100~900 百位上的數(shù)字之和為4500 同樣被9整除 也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除； 同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位 上的數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005 從1000~1999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除； 200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。 最后答案為余數(shù)為0。 2．A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值... 解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時 (A-B)/(A+B) 最大。 對于 B / (A+B) 取最小時，(A+B)/B 取最大， 問題轉(zhuǎn)化為求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3．已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的準確值是多少? 答案為6.375或6.4375 因為A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4， 所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102，也有可能是103。 當(dāng)是102時，102/16＝6.375 當(dāng)是103時，103/16＝6.4375 4．一個三位數(shù)的各位數(shù)字 之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù). 答案為476 解：設(shè)原數(shù)個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a 根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得a＝6，則a+1＝7 16-2a＝4 答：原數(shù)為476。 5．一個兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù). 答案為24 解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：該兩位數(shù)為24。 6．把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個和是多少? 答案為121 解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a 它們的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b） 因為這個和是一個平方數(shù)，可以確定a+b＝11 因此這個和就是1111＝121 答：它們的和為121。 7．一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù). 答案為85714 解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)） 再設(shè)abcde（五位數(shù)）為X，則原六位數(shù)就是10X+2，新六位數(shù)就是200000+X 根據(jù)題意得，（200000+X）3＝10X+2 解得X＝85714 所以原數(shù)就是857142 答：原數(shù)為857142 8．有一個四位數(shù),個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù). 答案為3963 解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9 根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察 abcd 2376 cdab 根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。 再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時成立。 先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。 根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。 再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時成立。 再代入豎式的千位，成立。 得到：abcd＝3963 再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。 9．有一個兩位數(shù),如果用它去除以個位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù). 解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3 化簡得到一樣：5a-4b＝3 由于a、b均為一位整數(shù) 得到a＝3或7，b＝3或8 原數(shù)為33或78均可以 10．如果現(xiàn)在是上午的10點21分,那么在經(jīng)過28799...99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分? 答案是10：20 解： （28799……9（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21，因為事先計算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20 四．排列組合問題 1．有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（ ） A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中 解： 根據(jù)乘法原理，分兩步： 第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有54321＝120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復(fù)，因此實際排法只有1205＝24種。 第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又22222＝32種 綜合兩步，就有2432＝768種。 2 若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現(xiàn)的錯誤共有 ( ) A 119種 B 36種 C 59種 D 48種 解： 5全排列5*4*3*2*1=120 有兩個l所以120/2=60 原來有一種正確的所以60-1=59 五．容斥原理問題 1． 有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根據(jù)容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含鐵的有43種 2．在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學(xué)生參加競賽,每個學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。 分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a32……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后將④⑤⑥代入①中，整理得到 a24+a3＝26 由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解： 當(dāng)a2＝6、5、4、3、2、1時，a3＝2、6、10、14、18、22 又根據(jù)a23＝a2－a32……⑤可知：a2>a3 因此，符合條件的只有a2＝6，a3＝2。 然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，總?cè)藬?shù)＝8+6+2+7+2＝25，檢驗所有條件均符。 故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2＝6人。 3．一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少為71％。 假設(shè)一共有100人考試 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5題中有1題做錯的最多人數(shù)） 873＝29（表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人） 100-29＝71（及格的最少人數(shù)，其實都是全對的） 及格率至少為71％ 6. 抽屜原理、奇偶性問題 1．一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？ 解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。 把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。 2．有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？ 答案為21 解： 每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法. 當(dāng)有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣: 當(dāng)有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣. 3．某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？ 解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數(shù)。 當(dāng)黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是： 6*4+10+1=35(個) 如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是： 6*5+3+1＝34（個） 如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是： 6*5+1+1＝32 4．地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個數(shù)都相同?（如果能請說明具體操作，不能則要說明理由） 不可能。 因為總數(shù)為1+9+15+31＝56 56/4＝14 14是一個偶數(shù) 而原來1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)（14個）。 七．路程問題 1．狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？ 解： 根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7X米，則狗每步長為4X米。 根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7X米＝21X米，則狗跑5*4X＝20米。 可以得出馬與狗的速度比是21X：20X＝21：20 根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20＝1，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是 30（21-20）21＝630米 2．甲乙輛車同時從a b兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求a b 兩地相距多少千米？ 答案720千米。 由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）（10-8）（10+8）＝720千米。 3．在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？ 答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。 解： 60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差 6004=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （50+150）2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù) （150-50）/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù) 600100=6分鐘，表示跑的快者用的時間 600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間 4．慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？ 答案為53秒 算式是（140+125)(22-17)=53秒 可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應(yīng)該為兩個車長的和。 5．在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？ 答案為100米 300（5-4.4）＝500秒，表示追及時間 5500＝2500米，表示甲追到乙時所行的路程 2500300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。 6．一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)） 答案為22米/秒 算式：1360(1360340+57）≈22米/秒 關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。 7．獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。 正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。 解： 由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當(dāng)獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完 8． AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘? 答案：18分鐘 解：設(shè)全程為1,甲的速度為X乙的速度為y 列式40X+40y=1 X:y=5:4 得X=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 9．甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？ 答案是300千米。 解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。 因此360（1+1/5）＝300千米 10.從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現(xiàn)在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有（）千米 11.一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？ 解：（1/6-1/8）2＝1/48表示水速的分率 21/48＝96千米表示總路程 12.快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 時間比為3：4 所以快車行全程的時間為8/4*3＝6小時 6*33＝198千米 13.小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米? 解： 把路程看成1，得到時間系數(shù) 去時時間系數(shù)：1/312+2/330 返回時間系數(shù)：3/512+2/530 兩者之差：（3/512+2/530）-（1/312+2/330）=1/75相當(dāng)于1/2小時 去時時間：1/2（1/312）1/75和1/2（2/330）1/75 路程：12〔1/2（1/312）1/75〕+30〔1/2（2/330）1/75〕=37.5（千米）