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微積分學中輔助函數(shù)的構造探索總結 邱燁，高戰(zhàn)，高亞茹 中國礦業(yè)大學計算機科學與技術學院，徐州(221008) 摘 要：構造輔助函數(shù)是數(shù)學分析中解決問題的重要方法，在解決實際問題中有廣泛應用．通過研究微積分學中輔助函數(shù)構造法，構造與問題相關的輔助函數(shù)，從而得出欲證明的結論．本文介紹了構造輔助函數(shù)的概念及其重要性，分析了構造輔助函數(shù)的原則，歸納了構造輔助函數(shù)的幾種方法，并研究了構造輔助函數(shù)在微積分學中的重要作用和應用技巧。 關鍵詞：微積分 輔助函數(shù) 中值定理 0引 言 當某些數(shù)學問題使用通常辦法按定勢思維去考慮而很難奏效時，可根據(jù)題設條件和結論特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進而構造出解決問題的特殊模式——構造輔助函數(shù)．輔助函數(shù)構造法是數(shù)學分析中一個重要的思想方法，在數(shù)學分析中具有廣泛的應用．構造輔助函數(shù)是把復雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時，常表現(xiàn)為不對問題本身求解，而是構造一個與問題有關的輔助問題進行求解． 微積分學中輔助函數(shù)的構造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數(shù)學問題的方法．通過查閱現(xiàn)有的大量資料發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在國內(nèi)外對微積分學中輔助函數(shù)構造法的研究比較多，其中有一部分研究的是輔助函數(shù)構造法的思路，但大部分研究的是輔助函數(shù)的構造在微積分學解題中的應用． 通過構造輔助函數(shù)，可以解決數(shù)學分析中眾多難題，尤其是在微積分學證明題中應用頗廣，且可達到事半功倍的效果． 1. 構造輔助函數(shù)的原則 構造輔助函數(shù)把復雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決的問題，這是微積分中的一種重要解題方法，為了更好地掌握此方法，我們通過對微積分學中的一些問題的分析，探討構造輔助函數(shù)的兩個原則． 1.1將未知化為已知 在微積分學中許多命題的證明都是在分析所給命題的條件、結論的基礎上構造一個函數(shù)將要證的問題轉(zhuǎn)化為可利用的已知結論來完成． 比如，下面例1.1的證明就是對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進行分析，構造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用已知的零點定理加以證明． 例1.1[1] 設在上連續(xù)，且，求證：，使． 證明 作輔助函數(shù)，， 則由在上連續(xù)知在連續(xù)， 因為，所以， (1 )若，則取或即可． (2)若，則，由零點定理知，使，即． 1.2將復雜化為簡單 一些命題較為復雜，直接構造輔助函數(shù)往往較困難，可通過恒等變形，由復雜轉(zhuǎn)化為簡單，從中探索輔助函數(shù)的構造，以達到解決問題的目的，這種通過巧妙的數(shù)學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，是微積分學中的重要而常用的數(shù)學思維方式．例如下面例1.2的證明中，可先做一次恒等變形，即將證明的結論變形為： 直接思考哪個函數(shù)求導后為，發(fā)現(xiàn)不易找到這個函數(shù)．進一步考慮除以一個非零因子，不難發(fā)現(xiàn)所證結論可變形為 因此，找到了輔助函數(shù)． 例1.2[2] 設，都在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且 ，， 求證：在內(nèi)存在一點，使得． 證明 作輔助函數(shù)， 因為，都在上連續(xù)，在內(nèi)可導， 所以有在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且顯然有， 由羅爾定理可知，在內(nèi)存在一點使得， 即．命題得證． 總之，在利用構造輔助函數(shù)解決命題的過程中，考慮將未知化為已知，將復雜化為簡單，將兩點融合在解題過程中．在下文研究中幾乎都能體現(xiàn)到這兩點的融合。 2. 構造輔助函數(shù)的方法探討 用輔助函數(shù)解決數(shù)學問題，是高等數(shù)學中常用的方法之一，如果能用好輔助函數(shù)，則輕而易舉就能給出證明過程．為了更好地利用輔助函數(shù)，在此給出幾種尋求輔助函數(shù)的常見方法． 2.1原函數(shù)法 在利用微分中值定理求解介值問題時，要證明的結論往往是某一個函數(shù)的導函數(shù)的零點，因此可通過不定積分求出原函數(shù)作為輔助函數(shù)，其步驟可以總結如下： (1)將欲證的結果中的換成； (2)通過恒等變形將結論化為易消除導數(shù)符號形式； (3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡便積分，常數(shù)取作零； (4)移項使式子一邊為0，則另一邊即為所求的輔助函數(shù)． 例2.1[3] 函數(shù)和在閉區(qū)間上存在二階導數(shù)，，并且，求證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使成立． 分析 題中的結論相當于證明 用替換，得，積分后得 即 由此聯(lián)想到構造輔助函數(shù)． 證明 作輔助函數(shù)， 則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且， 由羅爾定理知，存在一點，使得， 即．從而得出． 例2.2[4] 設，在上二階可導，且，，求證：存在一個，使得 ． 分析 題中結論相當于證明 用替換得 積分后得 得輔助函數(shù) ． 證明 作輔助函數(shù) 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導， 又 可知滿足羅爾定理的條件，于是存在，使， 即 故 ． 例2.3[5] 設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則在內(nèi)至少存在一點使． 分析 本題要證明，即證：至少存在一點，使，用替換得，積分后得輔助函數(shù)． 證明 作輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且 所以 ． 根據(jù)羅爾定理可知，至少存在一點使，即 ． 2.2常數(shù)值法 常數(shù)值法適用于常數(shù)部分可分離出的命題，其構造輔助函數(shù)的步驟如下： ①將常數(shù)部分令作； ②作恒等變形，使等式一端及構成代數(shù)式，另一端及構成代數(shù)式； ③分析關于端點的表達式是否為對稱式，若是，只要將端點(或)改成，相應的函數(shù)值(或)改成，則變量后的端點表達式即為所求的輔助函數(shù)． 例2.5[6] 設，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，求證：存在一個，使得． 分析 令常數(shù)部分為， 即 作恒等變形 (2.1) 顯然式(2.1)為對稱式，從而得到輔助函數(shù)． 證明 作輔助函數(shù)， 由題設條件可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又 可見在上滿足羅爾定理的條件，于是存在，使得，即 ． 2.3參數(shù)變易法 此法適用于不等式的證明，直接把要證明的結論中的某個參數(shù)“變易”為變量，從而構造出相應的輔助函數(shù)．最終一般都是利用該輔助函數(shù)的單調(diào)性完成證明． 例2.6[7] 設在上二階可導，且，求證： ． 證明 將結論中的參數(shù)變易為變量，得輔助函數(shù) 則，因為在上二階可導，且，故 即在上單調(diào)遞增，所以對于，都有，特別地，我們有，即 ． 3. 輔助函數(shù)在微積分學中的應用分析 羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，積分中值定理是微積分學中的重要內(nèi)容，這些定理貫穿了微積分學的始終，利用它們證明有關命題，往往需要構造輔助函數(shù)，便可以把微積分學中較難的問題轉(zhuǎn)化為易解決的問題，下面將舉例說明輔助函數(shù)在解決微積分學問題中的應用． 3.1輔助函數(shù)在羅爾(Rolle)定理中的應用 微分中值定理中的羅爾定理是高等數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，因為它的應用非常廣泛，而構造輔助函數(shù)是解決羅爾定理問題的最主要的方法．若輔助函數(shù)構造的合理巧妙，滿足定理的三個條件，則問題很快就能迎刃而解． 3.1.1推廣的羅爾定理及其證明 羅爾定理： 若函數(shù)滿足如下條件： (1)在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內(nèi)可導； (3)； 則在內(nèi)至少存在一點，使得. 推廣的羅爾定理 設函數(shù)滿足條件： (1)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可微； (2)； 則在內(nèi)至少存在一點，使． 證明 不妨設，作輔助函數(shù) ，，所以由的構造可知，在上連續(xù)，從而滿足羅爾定理的條件 即(1)在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內(nèi)可導； (3)； 則在內(nèi)至少存在一點，使得．證畢． 3.1.2構造輔助函數(shù)利用羅爾定理解決問題舉例 例3.1[8] 設，，在上連續(xù)，在內(nèi)可導．求證：存在，使得 ． 證明 利用原函數(shù)法構造輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，，應用羅爾定理可知存在，使得，據(jù)行列式性質(zhì)知 所以 ． 例3.2[2] 設，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，．求證：在與之間存在一點，使． 證明 利用原函數(shù)法構造輔助函數(shù)，，則顯然有在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且. 由羅爾定理知使得， 即．命題得證． 就高等數(shù)學而言，羅爾定理的主要作用是來證明拉格朗日中值定理與柯西中值定理．接下來本文將通過構造輔助函數(shù)，利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理解決問題． 3.2輔助函數(shù)在拉格朗日(Lagrange)中值定理中的應用 3.2.1拉格朗日中值定理及其證明 拉格朗日中值定理： 若函數(shù)滿足如下條件： (1)在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內(nèi)可導； 則在內(nèi)至少存在一點，使得． 證明 利用常數(shù)值法構造輔助函數(shù)，令，則 作輔助函數(shù)，則顯然有． 又因為在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導， 所以顯然有滿足羅爾定理的條件： (1) 在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內(nèi)可導； (3)； 所以在內(nèi)至少存在一點，使得，即． 從而．定理得證． 3.2.2構造輔助函數(shù)利用拉格朗日中值定理解決問題舉例 例3.3[9] 證明對一切，，成立不等式． 證明 構造輔助函數(shù)， 則由拉格朗日中值定理可得 ，， 當時，由可推知 ，， 當時，由可推得 ． 從而得到所要證明的結論． 例3.4[10] 設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，若不是線性函數(shù)，且，求證：使得． 證明 利用原函數(shù)法構造輔助函數(shù) ， 則，在內(nèi)可導，且，因為不是線性函數(shù)，所以，使． 若，則在上應用拉格朗日中值定理，，使 即 ． 若，則在上應用拉格朗日中值定理，使 即 ． 例3.5[1] 設，，求證：，使． 證明 利用原函數(shù)法構造輔助函數(shù)，在上應用拉格朗日中值定理得 所以 令，有 ． 例3.6[1] 設在上二次連續(xù)可微，求證：，使 ． 證明 作輔助函數(shù) ，， 則在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理有 ， 而 () 所以 3.3輔助函數(shù)在柯西 (Cauchy)中值定理中的應用 3.3.1柯西中值定理及其證明 柯西中值定理： 設函數(shù)和滿足： (1)在上都連續(xù)； (2)在上都可導； (3)和不同時為零； (4)； 則存在，使得 ． 證明 作輔助函數(shù) 易見在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使得 因為，所以有 ． 3.3.2構造輔助函數(shù)利用柯西中值定理解決問題舉例 例3.7[11] 設在內(nèi)二次可微，用柯西中值定理證明：，，存在在與之間，使得 (3.1) 成立(此即展開到一次冪的公式)． 證明 只證明的情況(的情況類似可證，的情況顯然)，式(3.1)可改寫成 (3.2) 為了證明(3.2)式，只要作輔助函數(shù) ， 則 ， 注意到，，兩次應用柯西中值定理， 則 () ()證畢． 例3.8[8] 設函數(shù)在上可微，且當時，， ，求證：． 證明 問題在于證明 (3.3) 利用參數(shù)變易法構造輔助函數(shù)，，利用柯西中值定理，可得(3.3)式左端 () ()． 例3.9[9] 設函數(shù)在()上連續(xù)，在內(nèi)可導，則存在，使得 ． 證明 利用參數(shù)變易法構造輔助函數(shù)，顯然它在上與一起滿足柯西中值定理條件，于是存在，使得 從而有 ． 3.4輔助函數(shù)在積分學里的應用舉例 例3.10[12] 設在上連續(xù)，且，，求證： ． 證明 作輔助函數(shù) ， 則，且 所以單調(diào)上升，所以對，有，即 ． 例3.11[8] 設在上連續(xù)，且，，使對，有 ，則，． 證明 利用參數(shù)變易法構造輔助函數(shù)，，則 所以 ，即， 又 ，所以，． 例3.12[13] 設在上連續(xù)，且對在上連續(xù)，且，都有，求證：，． 證明 作輔助函數(shù) ， 則在上連續(xù)，且，(只需證，即)， 由已知， 所以 所以，即， 從而 即為常數(shù)． 例3.13[14] 設在上可微，且滿足，求證：在內(nèi)至少有一點，使． 證明 由所要證明的結論出發(fā)，結合已知條件，探尋恰當?shù)妮o助函數(shù)，將 變形為， 利用原函數(shù)法可得到輔助函數(shù)，， 因為，由積分中值定理可知，至少存在一點，使得． 又對于，有，， 所以． 由羅爾定理知，至少存在一點，使，即． 4. 結束語 輔助函數(shù)的構造在數(shù)學分析中一直占有重要地位，尤其是在微積分學中，構造輔助函數(shù)解題得到了廣泛的應用． 輔助函數(shù)的構造是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒中斷過，眾多數(shù)學工作者對微積分學中輔助函數(shù)的構造做了很多研究，也取得了很多學術成果．本文從構造輔助函數(shù)的基本概念入手，總結了幾種輔助函數(shù)的構造方法，對其在微積分學中的應用做了大量的問題舉例，同時也體現(xiàn)出了構造輔助函數(shù)解決問題對培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的重要作用． 參考文獻 [1] 劉立山，孫欽福.數(shù)學分析的基本理論與典型方法[M].北京：中國科學技術出版社，2005：63-71，87-139. 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Explore and sum up of the Structure Method of Auxiliary Function In Calculus Qiu Ye, Gao Zhan, Gao Yaru School of Computer Science and Technology, China University of Mining and Technology, Xu Zhou (221008) Abstract Auxiliary function is an important method of solving problems and used widely in mathematical analysis. Through research on the method of constructing auxiliary function in calculus, we can construct the auxiliary function related to the problems which we are studying. Then we can obtain the conclusions. This paper introduces the concept of constructing auxiliary function and its importance, analyzes the principles of constructing auxiliary function, summarizes several methods of auxiliary function construction, and studies the important role and application skills of auxiliary functions in calculus. Keywords: Calculus；Auxiliary function；Mean Value Theorem