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2012碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一解答與點評 來源：超越考研 發(fā)布時間：1-1119:33 2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解答與點評 一、選擇題 （1）曲線漸近線的條數(shù)為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選(C)． 解：，，而，所以有兩條漸近線和，故選（C）． 【點評】本題屬于基本題，其難度低于超越數(shù)學一模擬三第（1）題． （2）設函數(shù)，其中為正整數(shù)，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（A）． 解法一： ，故選（A）． 解法二： ，故選（A）． 【點評】與超越強化班講義第16頁 【例3】設求． 中函數(shù)形式和解題方法完全一致，我們真的沒辦法猜出函數(shù)了． （3）如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列命題正確的是( ) ． （A）若極限存在，則在處可微 （B）若極限存在，則在處可微 （C）若在處可微，則極限存在 （D）若在處可微，則極限存在 答案：選（B）． 解：已知在處連續(xù)，設，因為，所以 ， 故． 由極限的性質(zhì)有，其中是當，時的無窮小量，記 ， 則． 由全微分的定義知在點處可微分． 【點評】本題考察的知識點是極限的基本性質(zhì)及全微分的定義，所用知識點與2007年數(shù)學二的選擇題類似． （4）設則有( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（D）． 解：，所以． ， 所以，故選（D）． 【點評】常規(guī)題型，但判定時有一定的技巧． （5）設，，，，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關的為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（C）． 【點評】考點（1）列向量組進行行變換后，有相同的相關性；（2）三個三維的向量線性相關的充要條件為所構成的行列式為零． 該題與超越最后五套模擬題中的數(shù)一模三第5題，數(shù)二模擬二第7題完全類似． 解法一： ，顯然有，故線性相關． 解法二：因為，故線性相關． 附：數(shù)二模二 （7）已知向量組作為列向量組成矩陣，則 （A）不能由其余向量線性表示． （B）不能由其余向量線性表示． （C）不能由其余向量線性表示． （D）不能由其余向量線性表示． （6）設為階矩陣，為階可逆矩陣，且，若，，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（B）． 【點評】考點（1）等價于． （2）也為的三個線性無關的特征向量．故． 此題與超越五套模擬中的數(shù)一、三模五21題完全相同．每個數(shù)字都是一樣的，真是驚人的巧合，這大概只有在超越才能把數(shù)學模擬到如此完美的地步． 附：數(shù)一、三模五 （21）（本題滿分11分）為三階實對稱陣，為三階正交陣，且． （Ⅰ）證明，； （Ⅱ）若，計算，，并證明與合同但不相似． （7）設隨機變量與相互獨立，且分別服從參數(shù)為和參數(shù)為的指數(shù)分布，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（A）． 解：的聯(lián)合密度函數(shù)為 ． 故選（A）． 【點評】見超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計講義 例8．設總體，為來自總體的一個簡單隨機樣本．記 ． （Ⅰ）求的密度函數(shù)；（Ⅱ）求． 本例8第（Ⅱ）部分即為此題，只是將9換成4而已．本例8第（Ⅰ）部分為數(shù)學三第（23）所考．超越?jīng)_刺班學員實在受益． （8）將長度為m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數(shù)為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（D）． 解：設分別為兩段長度，則，，因此．故選（D）． 【點評】與超越強化班講義第190頁 例1 將一枚硬幣重復擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則和的相關系數(shù)等于（　?。? (A) (B) (C) (D) 幾乎一樣．此例1為歷年真題． 二、填空題 （9）若函數(shù)滿足方程及，則 ． 答案：“”． 解：解此二階常系數(shù)齊次線性方程得通解． 又因滿足可得，故． 【點評】此題為一個簡單的二階常系數(shù)齊次線性方程的求解問題，與沖刺班模擬二第（12）題類似，只是更簡單一些． （10） ． 答案：“”． 解：． 【點評】與超越?jīng)_刺班一元函數(shù)講義 【例5】設為正整數(shù)，則． 解題思路完全相同，先換元到對稱區(qū)間，然后利用對稱性． （11） ． 答案：“”． 解：記，則 ． 【點評】本題考察的知識點是梯度的定義，在強化班中講過梯度的定義以后，我們曾說過：“這個問題不需要舉例題，人人都會做．”本題也僅僅是超越模擬題數(shù)學一模擬四第10題解題過程中的一個步驟． （12）設，則 ． 答案：“”． 解：，在面上的投影區(qū)域如圖所示． ． 【點評】本題考察的知識點是第一類曲面積分的基本計算方法，這也是歷年考研試題中第一類曲面積分最簡單的一個計算題．做完了強化班講義例1及沖刺班例17以后再做本題，感覺本題也太簡單了． （13）設為三維單位向量，為三階單位矩陣，則矩陣的秩為 ． 【點評】考點（1）實對稱矩陣的秩為其非零特征值的個數(shù)；（2）時，的特征值為，此題僅數(shù)一考，是代數(shù)三個小題中最難的一個．若要按照知識點求解出來，對考生來說難度很大，但對超越?jīng)_刺班的學員來說，卻是易如反掌．因為孫老師和余老師都強調(diào)了選擇、填空題中的賦值法．并把這些都寫進了沖刺班講義．令我們感到欣慰的是，我們有很多學員都是用賦值法做出來的． 答案：“”． 解法一：的特征值為，的特征值為，故秩為． 解法二：令，則，從而秩為． 附：沖刺班講義 （5），為維非零列向量則有 ①； ②；的特征值只能??； ③時，必可相似對角化，此時的特征值為一個，個零；特征值對應的特征向量為，特征值對應的特征向量為 ． （14）設是隨機事件，與互不相容， ，， ． 答案：“”． 解：． 【點評】會做超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計講義 例1．設隨機事件兩兩獨立，且，，， ，已知至少發(fā)生一個，則僅有不發(fā)生的概率為 ． 本題就是毛毛雨啦． 三、解答題 （15）證明，． 證法一：令， ， ， 所以，當時，，；當時，，．故當時，．即證． 證法二：由于為偶函數(shù)，故只需證明時不等式成立即可． ． 當時，，，所以，，得證． 證法三： ． 即證． 證法四：由于為偶函數(shù)，故只需證明時不等式成立即可． ． 所以得證． 【點評】首先不等式證明時今年超越?jīng)_刺班強調(diào)的第一重點． 再仔細比較超越?jīng)_刺班數(shù)學一模擬二（15）： （15）（本題滿分10分）設，證明：． 中的不等式兩邊的函數(shù)，有多項式函數(shù)，三角函數(shù)和指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)，驚人地相似． 最后看證明方法，均有利用單調(diào)性、冪級數(shù)展開、積分關系多種方法證明，對超越?jīng)_刺班同學真的沒說的！ （15）【證法一】令，則 ，，， ，，． 因為，所以，單調(diào)遞增，由知． 從而單調(diào)遞增，再由知，從而單調(diào)遞增，最后由知，故要證的不等式成立． 【證法二】， ， ， 故當時，． 【證法三】由于當時，，在依次作積分得： ， ，即， ，即． （16）求函數(shù)的極值． 解：令得駐點，． ，，． 在點處，，，． 因為，且，所以是的極小值點，極小值． 在處，，． 因為，且，所以是的極大值點，極大值． 【點評】本題的解題方法是求無條件極值的最基本方法，這與下列各題的解題方法完全相同：同濟大學高等數(shù)學教材（五版）下冊例4，合肥工業(yè)大學高等數(shù)學教材下冊例2，強化班講義例1（即2009年數(shù)學一、三考研試題） （17）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)． 解：記，由，可得．故收斂區(qū)間為．當時級數(shù)均發(fā)散，故收斂域為． 設 其中，，而，可得 ． ，可得．所以 【點評】還記得蘇燦榮老師在沖刺班講過的話嗎？級數(shù)的大題肯定是考冪級數(shù)的大題，并且串講時的例題就是這種題型．另此題與超越強化班講義的例1完全相同，既用到了求導又用到了積分． 原題為：求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)．, <, /B> （18）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，且，，．若曲線的切線與軸的交點到切點的距離恒為，求函數(shù)的表達式，并求此曲線與軸與軸無邊界的區(qū)域的面積． 解：因為，故曲線上任一點，即點處的切線方程為 ． 由此可得切線與軸的交點為，根據(jù)題意有 ． 即，可得 ． 由，可得，故．面積 ． 【點評】微分方程的幾何應用是我們在強化班與沖刺班反復強調(diào)的題型，且建立方程所用到的知識點在強化班講義中也列出．此題與強化班講義的例1類似． （19）已知是第一象限中從點沿圓周到點，再沿圓周到點的曲線段，計算曲線積分． 解法一：補充曲線為軸上從點到點的直線段，設與圍成區(qū)域，由Green公式， ． 解法二：．在中，，．因為，所以積分與路徑無關，取從點到點的直線段為，則 ． 把分成兩部分如圖所示． ． ，， ． 【點評】本題與強化班講義例1如出一轍，解法完全相同．而對于解法二，只要注意到?jīng)_刺班例14的補充說明即可非常容易地解答本題．如果不利用曲線積分與路徑無關的等價條件，而把分成兩部分，利用解法二中計算同樣的方法，直接計算原積分也是可行的，但是計算過程較繁瑣一些． （20）設，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知線性方程組有無窮多解，求并求的通解． 【點評】考點（1）為方陣，有無窮多解的必要條件為；（2）有無窮多解的充要條件為．此題太常規(guī)，太簡單，超越的基礎班，強化班講義都有完全類似的題目． 解：（Ⅰ）． （Ⅱ）得，當時，，，方程組無解舍去． 當時，，，方程組有無窮多解，符合題意，通解為． （21）已知，二次型的秩為．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）求正交變換將化為標準形． 【點評】考點（1）二次型的秩為；（2）． 本題的關鍵是要知道，若不知道則很難算出來，因為求行列式計算量太大．同學都應該記得沖刺班上孫老師和余老師是怎么強調(diào)要記住這一結果的，并且我們還給出了證明．由此可見這一結論的重要性．而這終于在12年考研中得到了應證．這也充分說明了上超越數(shù)學輔導班的好處，因為這一結論在一般教科書上不是很強調(diào)的． 解法一：由得，從而 ，，， 有三個特征值．分別解三個線性齊次方程組 ，，． 求得特征向量后，再單位化得正交陣 ， 對角陣，正交變換，的標準型為． 解法二：若不知也可做但很繁． ，． 此行列式難算，算出后還要因式分解，不容易！據(jù)我了解選擇此方法的都沒算出，得分也不會超過4分． （22）設二維離散型隨機變量的概率分布為 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求． 解：（Ⅰ）． （Ⅱ），， ，，，，， ． 【點評】哈哈，送分題． （23）設隨機變量與相互獨立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且．設．（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）設為來自總體的簡單隨機樣本，求的最大似然估計；（Ⅲ）證明為的無偏估計量． 解：（Ⅰ）由于，所以的密度函數(shù)為 ，． （Ⅱ）， ，， 令，解得． （Ⅲ） ， 所以為的無偏估計量． 【點評】在超越?jīng)_刺班中強調(diào)極大似然估計和無偏性是今年統(tǒng)計的兩個重點．并列舉下列 例9. 設總體的密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)， 為來自總體的一個簡單隨機樣本． （I）求的極大似然估計；（II）(數(shù)三)求．（II）（數(shù)一）問是否為的無偏估計？ 上一篇：考研數(shù)學臨場發(fā)揮策略