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山東省青島市2013年中考數學試卷 一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分） 1．（3分）（2013?青島）﹣6的相反數是（　?。? 　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣ D． 考點： 相反數 分析： 根據相反數的概念解答即可． 解答： 解：﹣6的相反數是6， 故選：B． 點評： 本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0． 　 2．（3分）（2013?青島）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 中心對稱圖形 分析： 根據中心對稱圖形的定義，結合選項所給圖形進行判斷即可． 解答： 解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； D、是中心對稱圖形，故本選項正確； 故選D． 點評： 本題考查了中心對稱圖形的知識，在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形． 　 3．（3分）（2013?青島）如圖所示的幾何體的俯視圖是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 簡單組合體的三視圖 分析： 俯視圖是從上往下看得到的視圖，結合選項進行判斷即可． 解答： 解：所給圖形的俯視圖是B選項所給的圖形． 故選A． 點評： 本題考查了簡單組合體的三視圖，解答本題的關鍵是掌握俯視圖是從上往下看得到的視圖． 　 4．（3分）（2013?青島）“十二五”以來，我國積極推進國家創(chuàng)新體系建設．國家統(tǒng)計局《2012年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》指出：截止2012年底，國內有效專利達8750000件，將8750000件用科學記數法表示為（　?。┘? 　 A． 8.75104 B． 8.75105 C． 8.75106 D． 8.75107 考點： 科學記數法—表示較大的數 分析： 科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于8750000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6． 解答： 解：8 750 000=8.75106． 故選C． 點評： 此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵． 　 5．（3分）（2013?青島）一個不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數的前提下，小亮為了估計其中的紅球數，采用如下方法：現將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復上述過程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估計口袋中的紅球大約有（　?。﹤€． 　 A． 45 B． 48 C． 50 D． 55 考點： 用樣本估計總體 分析： 小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球；摸到白球與摸到紅球的次數之比為1：9，由此可估計口袋中白球和紅球個數之比為1：9；即可計算出紅球數． 解答： 解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球， ∴白球與紅球的數量之比為1：9， ∵白球有5個， ∴紅球有95=45（個）， 故選：A． 點評： 本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可． 　 6．（3分）（2013?青島）已知矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長分別為xcm和ycm，則y與x之間的函數圖象大致是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 反比例函數的應用；反比例函數的圖象 分析： 根據題意有：xy=36；故y與x之間的函數圖象為反比例函數，且根據x、y實際意義x、y應＞0，其圖象在第一象限，即可得出答案． 解答： 解：∵矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長分別為xcm和ycm， ∴xy=36， ∴函數解析式為：y=（x＞0，y＞0）． 故選A． 點評： 本題考查了反比例函數的應用，屬于基礎應用性題目，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限． 　 7．（3分）（2013?青島）直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是（　　） 　 A． r＜6 B． r=6 C． r＞6 D． r≥6 考點： 直線與圓的位置關系 專題： 探究型． 分析： 直接根據直線與圓的位置關系進行判斷即可． 解答： 解：∵直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離d=6， ∴r＞6． 故選C． 點評： 本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．直線l和⊙O相交?d＜r 　 8．（3分）（2013?青島）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為（　?。? 　 A． （，n） B． （m，n） C． （m，） D． （） 考點： 位似變換；坐標與圖形性質 專題： 壓軸題． 分析： 根據A，B兩點坐標以及對應點A′，B′點的坐標得出坐標變化規(guī)律，進而得出P′的坐標． 解答： 解：∵△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上， 即A點坐標為：（4，6），B點坐標為：（6，2），A′點坐標為：（2，3），B′點坐標為：（3，1）， ∴線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為：（）． 故選D． 點評： 此題主要考查了位似圖形的性質，根據已知得出對應點坐標的變化是解題關鍵． 　 二、填空題（本題滿分18分共有6道題，每小題3分） 9．（3分）（2013?青島）計算：2﹣1+=　?。? 考點： 二次根式的乘除法；負整數指數冪 分析： 首先計算負指數次冪以及二次根式的除法，然后進行加法運算即可求解． 解答： 解：原式=+2 =． 故答案是：． 點評： 本題主要考查了二次根式除法以及負指數次冪的運算，理解運算法則是關鍵． 　 10．（3分）（2013?青島）某校對甲、乙兩名跳高運動員的近期調高成績進行統(tǒng)計分析，結果如下：=1.69m，=1.69m，S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，則這兩名運動員中　甲　的成績更穩(wěn)定． 考點： 方差 分析： 根據方差的意義：反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立． 解答： 解：∵S2甲=0.0006，S2乙=0.00315， ∴S2甲＜S2乙， ∴這兩名運動員中甲的成績更穩(wěn)定． 故答案為：甲． 點評： 本題考查方差的定義與意義：一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立． 　 11．（3分）（2013?青島）某企業(yè)2010年底繳稅40萬元，2012年底繳稅48.4萬元．設這兩年該企業(yè)交稅的年平均增長率為x，根據題意，可得方程　40（1+x）2=48.4?。? 考點： 由實際問題抽象出一元二次方程 專題： 增長率問題． 分析： 根據增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設該公司這兩年繳稅的年平均增長率為x，首先表示出2011年的繳稅額，然后表示出2012年的繳稅額，即可列出方程． 解答： 解：設該公司這兩年繳稅的年平均增長率為x， 依題意得40（1+x）2=48.4． 故答案為：40（1+x）2=48.4． 點評： 此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程中增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量． 　 12．（3分）（2013?青島）如圖，一個正比例函數圖象與一次函數y=﹣x+1的圖象相交于點P，則這個正比例函數的表達式是　y=﹣2x　． 考點： 兩條直線相交或平行問題 分析： 首先將點P的縱坐標代入一次函數的解析式求得其橫坐標，然后代入正比例函數的解析式即可求解． 解答： 解：∵正比例函數圖象與一次函數y=﹣x+1的圖象相交于點P，P點的縱坐標為2， ∴2=﹣x+1 解得：x=﹣1 ∴點P的坐標為（﹣1，2）， ∴設正比例函數的解析式為y=kx， ∴2=﹣k 解得：k=﹣2 ∴正比例函數的解析式為：y=﹣2x， 故答案為：y=﹣2x 點評： 本題考查了兩條直線相交或平行問題，解題的關鍵是首先求得點P的坐標． 　 13．（3分）（2013?青島）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC=2，∠ABC=30，則圖中陰影部分的面積是　﹣?。? 考點： 扇形面積的計算；圓周角定理 專題： 壓軸題． 分析： 如圖，連接OC．圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積﹣△BOC的面積． 解答： 解：如圖，連接OC． ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30 ∴∠BOC=180﹣30﹣30=120． 又∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30，則AB=2AC=4，BC==2． ∵OC是△ABC斜邊上的中線， ∴S△BOC=S△ABC=AC?BC=22=． ∴S陰影=S扇形OBC﹣S△BOC=﹣=﹣． 故答案是：﹣． 點評： 本題考查了扇形面積的計算、圓周角定理．求圖中陰影部分的面積時，采用了“分割法”，即把不規(guī)則陰影圖形轉化為規(guī)則圖形，然后來計算其面積． 　 14．（3分）（2013?青島）要把一個正方體分割成8個小正方體，至少需要切3刀，因為這8個小正方體都只有三個面是現成的．其他三個面必須用三刀切3次才能切出來．那么，要把一個正方體分割成27個小正方體，至少需用刀切　6　次；分割成64個小正方體，至少需要用刀切　9　次． 考點： 規(guī)律型：圖形的變化類 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 根據立方根的定義，把長、寬、高分別進行等分切割即可得解． 解答： 解：分割成8個小正方體，需用長、寬、高都二等分的3刀， 分割成27個小正方體，需用長、寬、高都三等分的32=6刀， 分割成64個小正方體，需用長、寬、高都四等分的33=9刀． 故答案為：6；9． 點評： 本題是對圖形變化規(guī)律的考查，解答本題需要有空間想象能力． 　 三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫做法，但要保留作圖痕跡。 15．（4分）（2013?青島）已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點B，點D是直線BC上一點． 求作：點E，使直線DE∥AB，且點E到B，D兩點的距離相等．（在題目的原圖中完成作圖） 結論：BE=DE． 考點： 作圖—復雜作圖．3718684 專題： 壓軸題． 分析： 首先以D為頂點，DC為邊作一個角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分線，即可找到點E． 解答： 解：如圖所示： 點E即為所求，BE=DE 點評： 此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握作一個角等于已知角的方法和線段垂直平分線的作法． 　 四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題） 16．（8分）（2013?青島）（1）解方程組：； （2）化簡：（1+）?． 考點： 分式的混合運算；解二元一次方程組 專題： 計算題． 分析： （1）方程組兩方程相加消去y求出x的值，進而求出y的值，即可得到方程組的解； （2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，約分即可得到結果． 解答： 解：（1）， ①+②得：3x=3， 解得：x=1， 將x=1代入②得：1﹣y=0，即y=1， 則方程組的解為； （2）原式=? =． 點評： 此題考查了分式的混合運算，以及解二元一次方程組，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式． 　 17．（6分）（2013?青島）請根據所給信息，幫助小穎同學完成她的調查報告 2013年4月光明中學八年級學生每天干家務活平均時間的調查報告 調查目的 了解八年級學生每天干家務活的平均時間 調查內容 光明中學八年級學生干家務活的平均時間 調查方式 抽樣調查 調查步驟 1．數據的收集 （1）在光明中學八年級每班隨機調查5名學生 （2）統(tǒng)計這些學生2013年4月每天干家務活的平均時間（單位：min）結果如下（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min） B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2．數據的處理： 以頻數分布直方圖的形式呈現上述統(tǒng)計結果 請補全頻數分布直方圖 3．數據的分析： 列式計算所隨機調查學生每天干家務活平均時間的平均數（結果保留整數） 調查結論 光明中學八年級共有240名學生，其中大約有　120　名學生每天干家務活的平均時間是20min 考點： 頻數（率）分布直方圖；用樣本估計總體；加權平均數．3718684 分析： 先從圖表中得出平均每天干家務活在30min的有5名學生，從而補全統(tǒng)計圖，再根據A表示10min，B表示20min，C表示30min和學生數即可求出隨機調查的學生每天干家務活的平均時間，最后根據每天干家務活的平均時間是20min所占的百分比乘以240，即可得出大約每天干家務活的平均時間是20min的學生數． 解答： 解：從圖表中可以看出C的學生數是5人， 如圖： 每天干家務活平均時間是：（1010+1520+530）30≈18（min）； 根據題意得：240=120（人）， 光明中學八年級共有240名學生，其中大約有120名學生每天干家務活的平均時間是20min； 故答案為：120． 點評： 本題考查了頻率分布直方圖、加權平均數以及用樣本估計總體，解題的關鍵是讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中獲取必要的信息，認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題． 　 18．（6分）（2013?青島）小明和小剛做摸紙牌游戲．如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，牌面數字分別是2和3，將兩組牌背面朝上洗勻后從每組牌中各摸出一張，稱為一次游戲．當兩張牌的牌面數字之積為奇數，小明的2分，否則小剛得1分．這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由． 考點： 游戲公平性；列表法與樹狀圖法 專題： 圖表型． 分析： 畫出樹狀圖，根據概率公式分別求出小明和小剛的得分，然后進行判斷即可． 解答： 解：根據題意，畫出樹狀圖如下： 一共有4種情況，積是偶數的有3種情況，積是奇數的有1種情況， 所以，P（小明勝）=2=， P（小剛勝）=1=， ∵≠， ∴這個游戲對雙方不公平． 點評： 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個人取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 19．（6分）（2013?青島）某校學生捐款支援地震災區(qū)，第一次捐款總額為6600元，第二次捐款總額為7260元，第二次捐款人數比第一次多30人，而且兩次人均捐款額恰好相等．求第一次的捐款人數． 考點： 分式方程的應用 分析： 先設第一次的捐款人數是x人，根據兩次人均捐款額恰好相等列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可求出答案． 解答： 解：設第一次的捐款人數是x人，根據題意得： =， 解得：x=300， 經檢驗x=300是原方程的解， 答：第一次的捐款人數是300人． 點評： 此題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找出之間的等量關系，列出方程，解分式方程時要注意檢驗． 　 20．（8分）（2013?青島）如圖，馬路的兩邊CF，DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側的A，B兩點分別表示車站和超市．CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67，∠B=37． （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B．求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米． （參考數據：sin67≈，cos67≈，tan67≈，sin37≈，cos37≈，tan37≈） 考點： 解直角三角形的應用 分析： （1）設CD與AB之間的距離為x，則在Rt△BCF和Rt△ADE中分別用x表示BF，AE，又AB=AE+EF+FB，代入即可求得x的值； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，分別求出BC、AD的長度，求出AD+DC+CB﹣AB的值即可求解． 解答： 解：（1）CD與AB之間的距離為x， 則在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵=tan37，=tan67， ∴BF==x，AE==x， 又∵AB=62，CD=20， ∴x+x+20=62， 解得：x=24， 答：CD與AB之間的距離為24米； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵BC===40， AD===26， ∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米）， 答：他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走24米． 點評： 本題考查了解直角三角形，難度適中，解答本題的關鍵是在直角三角形中運用解直角三角形的知識求出各邊的長度． 　 21．（8分）（2013?青島）已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論； （3）當AD：AB=　2：1　時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明） 考點： 矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定；正方形的判定 分析： （1）求出AB=DC，∠A=∠D=90，AM=DM，根據全等三角形的判定定理推出即可； （2）根據三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據菱形的判定推出即可； （3）求出∠EMF=90，根據正方形的判定推出即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90， ∵M為AD中點， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四邊形MENF是菱形． 證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點， ∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM， ∴NE=FM，NE∥FM， ∴四邊形MENF是平行四邊形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分別是BM、CM的中點， ∴ME=MF， ∴平行四邊形MENF是菱形； （3）解：當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形． 理由是：∵M為AD中點， ∴AD=2AM， ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45， 同理∠DMC=45， ∴∠EMF=180﹣45﹣45=90， ∵四邊形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形， 故答案為：2：1． 點評： 本題考查了正三角形的中位線，矩形的性質，全等三角形的性質和判定，菱形、平行四邊形、正方形的判定的應用，主要考查學生的推理能力． 　 22．（10分）（2013?青島）某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元/件．試營銷階段發(fā)現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件． （1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式； （2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大； （3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案： 方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元； 方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 考點： 二次函數的應用 分析： （1）根據利潤=（單價﹣進價）銷售量，列出函數關系式即可； （2）根據（1）式列出的函數關系式，運用配方法求最大值； （3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較． 解答： 解：（1）由題意得，銷售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500， 則w=（x﹣20）（﹣10x+500） =﹣10x2+700x﹣10000； （2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函數圖象開口向下，w有最大值， 當x=35時，wmax=2250， 故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大； （3）甲方案利潤高．理由如下： 甲方案中：20＜x≤30， 故當x=30時，w有最大值， 此時w甲=2000； 乙方案中：， 故x的取值范圍為：45≤x≤49， ∵函數w=﹣10（x﹣35）2+2250，對稱軸為x=35， ∴當x=45時，w有最大值， 此時w乙=1250， ∵w甲＞w乙， ∴甲方案利潤更高． 點評： 本題考查了二次函數的應用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=時取得． 　 23．（10分）（2013?青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖1和圖2發(fā)現并驗證了平方差公式和完全平方公式． 這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化． 【研究速算】 提出問題：4743，5654，7971，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以4743為例： （1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個4743的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面． （2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：4743的矩形面積或（40+7+3）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021． 用文字表述4743的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果． 歸納提煉： 兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）　十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果?。? 【研究方程】 提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？ 幾何建模： （1）變形：x（x+2）=35． （2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖4 （3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積． 即（x+x+2）2=4x（x+2）+22 ∵x（x+2）=35 ∴（x+x+2）2=435+22 ∴（2x+2）2=144 ∵x＞0 ∴x=5 歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解． 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長） 【研究不等關系】 提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？ 幾何建模： （1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割 （2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5 歸納提煉： 當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系． 根據題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長） 考點： 一元二次方程的應用；整式的混合運算；一元一次不等式組的應用 專題： 數形結合． 分析： 【研究速算】十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果； 【研究方程】畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造答圖1，則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達方式，由此建立方程求解即可； 【研究不等關系】畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 解答： 解：【研究速算】 歸納提煉： 十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果． 【研究方程】 歸納提煉： 畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造答圖1，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式：（x+x+b）2或四個長為x+b，寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積． 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2 ∵x（x+b）=c， ∴（x+x+b）2=4c+b2 ∴（2x+b）2=4c+b2 ∵x＞0， ∴x=． 【研究不等關系】 歸納提煉： （1）畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割． （2）變形：a+b=（2+m）+（2+n） （3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 點評： 本題考查了數形結合的數學思想，利用數形結合思想建立了代數（速算、方程與不等式等）與幾何圖形之間的內在聯系，體現了數學的魅力，是一道好題．試題立意新穎，構思巧妙，對于學生的學習大有裨益；不足之處在于題干篇幅過長，學生讀題并理解題意需要花費不少的時間，影響答題的信心． 　 24．（12分）（2013?青島）已知：如圖，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設運動時間為t（s）（0＜t＜1） 解答下列問題： （1）當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？ （2）設四邊形ANPM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式： （3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由． （4）連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分？若存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由． 考點： 相似形綜合題 專題： 壓軸題． 分析： （1）根據平行四邊形的對角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可； （2）求出AP和MN的值，根據三角形的面積公式求出即可； （3）假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．根據（2）中求出的關系式，列方程求出t的值； （4）假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，證△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可． 解答： 解：（1）∵當AP=PD時，四邊形AQDM是平行四邊形， 即3t=3﹣3t， t=， ∴當t=s時，四邊形AQDM是平行四邊形． （2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△AMP∽△DQP， ∴=， ∴=， ∴AM=t， ∵MN⊥BC， ∴∠MNB=90， ∵∠B=45， ∴∠BMN=45=∠B， ∴BN=MN， ∵BM=1+t， 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t）， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∵MN⊥BC， ∴MN⊥AD， ∴y=APMN =?3t?（1+t） 即y與t之間的函數關系式為y=t2+t（0＜t＜1）． （3）假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． 此時t2+t=3， 整理得：t2+t﹣1=0， 解得t1=，t2=（舍去） ∴當t=s時，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． （4）存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分， 理由是：假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴△APW∽△CNW， ∴=， 即=或=， ∴t=或， ∵兩數都在0＜t＜1范圍內，即都符合題意， ∴當t=s或s時，NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分．