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2012年蘇州中考數(shù)學試卷解析 一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分） 1． 2的相反數(shù)是（　?。? 　 A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D． 考點： 相反數(shù)。 專題： 常規(guī)題型。 分析： 根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解． 解答： 解：2的相反數(shù)等于﹣2． 故選A． 點評： 本題考查了相反數(shù)的知識，屬于基礎題，注意熟練掌握相反數(shù)的概念是關鍵． 2．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　?。? 　 A． x＜2 B． x≤2 C． x＞2 D． x≥2 考點： 二次根式有意義的條件。 分析： 根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，即可求解． 解答： 解：根據(jù)題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2． 故選D． 點評： 本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)． 3．一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，6的眾數(shù)是（　?。? 　 A． 2 B． 4 C． 5 D． 6 考點： 眾數(shù)。 分析： 根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可． 解答： 解：在2，4，5，5，6中，5出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多， 故眾數(shù)為5． 故選C． 點評： 此題考查了眾數(shù)的概念﹣﹣﹣﹣一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)位眾數(shù)，眾數(shù)可以有多個． 4．如圖，一個正六邊形轉(zhuǎn)盤被分成6個全等的正三角形，任意旋轉(zhuǎn)這個轉(zhuǎn)盤1次，當旋轉(zhuǎn)停止時，指針指向陰影區(qū)域的概率是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 幾何概率。 分析： 確定陰影部分的面積在整個轉(zhuǎn)盤中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的概率． 解答： 解：如圖：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤被均勻分成6部分，陰影部分占2份，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的概率是=； 故選B． 點評： 本題考查了幾何概率．用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比． 5．如圖，已知BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，=，∠AOB=60，則∠BDC的度數(shù)是（　　） 　 A． 20 B． 25 C． 30 D． 40 考點： 圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系。 分析： 由BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，=，∠AOB=60，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠BDC的度數(shù)． 解答： 解：∵=，∠AOB=60， ∴∠BDC=∠AOB=30． 故選C． 點評： 此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意數(shù)形結合思想的應用，注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用． 6．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，則四邊形CODE的周長（　　） 　 A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 考點： 菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)。 分析： 首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=2，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案． 解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四邊形CODE是平行四邊形， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=2， ∴四邊形CODE是菱形， ∴四邊形CODE的周長為：4OC=42=8． 故選C． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解此題的關鍵． 7．若點（m，n）在函數(shù)y=2x+1的圖象上，則2m﹣n的值是（　?。? 　 A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1 考點： 一次函數(shù)圖象上點的坐標特征。 專題： 計算題。 分析： 將點（m，n）代入函數(shù)y=2x+1，的到m和n的關系式，再代入2m﹣n即可解答． 解答： 解：將點（m，n）代入函數(shù)y=2x+1得， n=2m+1， 整理得，2m﹣n=﹣1． 故選D． 點評： 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，要明確，一次函數(shù)圖象上的點的坐標符合函數(shù)解析式． 8．若39m27m=311，則m的值為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法。 分析： 先逆用冪的乘方的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為以3為底數(shù)的冪相乘，再利用同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)計算后根據(jù)指數(shù)相等列出方程求解即可． 解答： 解：3?9m?27m=3?32m?33m=31+2m+3m=311， ∴1+2m+3m=11， 解得m=2． 故選A． 點評： 本題考查了冪的乘方的性質(zhì)的逆用，同底數(shù)冪的乘法，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法，理清指數(shù)的變化是解題的關鍵． 9．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45后得到△A′OB′，若∠AOB=15，則∠AOB′的度數(shù)是（　?。? 　 A． 25 B． 30 C． 35 D． 40 考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 分析： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)前后圖形全等以及對應邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，進而得出答案即可． 解答： 解：∵將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45，∠AOB=∠A′OB′=15， ∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45﹣15=30， 故選：B． 點評： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A′OA=45，∠AOB=∠A′OB′=15是解題關鍵． 10．已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上．若正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點A3到x軸的距離是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。 專題： 規(guī)律型。 分析： 利用正方形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)分別得出D1E1=B2E2=，B2C2=，進而得出B3C3=，求出WQ==，F(xiàn)W=WA3?cos30==，即可得出答案． 解答： 解：過小正方形的一個頂點W作FQ⊥x軸于點Q，過點A3F⊥FQ于點F， ∵正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3 E4=60，∠D1C1E1=30，∠E2B2C2=30， ∴D1E1=D1C1=， ∴D1E1=B2E2=， ∴cos30==， 解得：B2C2=， ∴B3E4=， cos30=， 解得：B3C3=， 則WC3=， 根據(jù)題意得出：∠WC3 Q=30，∠C3 WQ=60，∠A3 WF=30， ∴WQ==， FW=WA3?cos30==， 則點A3到x軸的距離是：FW+WQ=+=， 故選：D． 點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應用等知識，根據(jù)已知得出B3C3的長是解題關鍵． 二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分） 11．計算：23=　8?。? 考點： 有理數(shù)的乘方。 分析： 正確理解有理數(shù)乘方的意義，an表示n個a相乘的積． 解答： 解：23表示3個2相乘的積，222=8， 因此23=8． 點評： 要準確理解有理數(shù)乘方的含義． 12．若a=2，a+b=3，則a2+ab=　6　． 考點： 因式分解的應用。 分析： 利用提公因式法進行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可． 解答： 解：∵a=2，a+b=3， ∴a2+ab=a（a+b）=23=6． 故答案為：6． 點評： 本題考查了因式分解的應用，利用提公因式法把a2+ab進行因式分解是解題的關鍵． 13．已知太陽的半徑約為696000000m，696000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為　6.96108?。? 考點： 科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)。 分析： 科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)． 解答： 解：696000000=6.96108， 故答案為：6.96108． 點評： 此題主要考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值． 14．已知扇形的圓心角為45，弧長等于，則該扇形的半徑為　2?。? 考點： 弧長的計算。 分析： 根據(jù)弧長公式l=可以求得該扇形的半徑的長度． 解答： 解：根據(jù)弧長的公式l=，知 r===2，即該扇形的半徑為2． 故答案是：2． 點評： 本題考查了弧長的計算．解題時，主要是根據(jù)弧長公式列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值． 15．某初中學校共有學生720人，該校有關部門從全體學生中隨機抽取了50人，對其到校方式進行調(diào)查，并將調(diào)查的結果制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖，由此可以估計全校坐公交車到校的學生有　216　人． 考點： 用樣本估計總體；條形統(tǒng)計圖；加權平均數(shù)。 專題： 數(shù)形結合。 分析： 先求出50個人里面坐公交車的人數(shù)所占的比例，然后即可估算出全校坐公交車到校的學生． 解答： 解：由題意得，50個人里面坐公交車的人數(shù)所占的比例為：=30%， 故全校坐公交車到校的學生有：72030%=216人． 即全校坐公交車到校的學生有216人． 故答案為：216． 點評： 此題考查了用樣本估計總體的知識，解答本題的關鍵是根據(jù)所求項占樣本的比例，屬于基礎題，難度一般． 16．已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=（x﹣1）2+1的圖象上，若x1＞x2＞1，則y1?。尽2（填“＞”、“＜”或“=”）． 考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征。 分析： 先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸，再判斷出兩點的位置及函數(shù)的增減性，進而可得出結論． 解答： 解：由二次函數(shù)y=（x﹣1）2+1可，其對稱軸為x=1， ∵x1＞x2＞1， ∴兩點均在對稱軸的右側， ∵此函數(shù)圖象開口向上， ∴在對稱軸的右側y隨x的增大而增大， ∵x1＞x2＞1， ∴y1＞y2． 故答案為：＞． 點評： 本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，根據(jù)題意判斷出A、B兩點的位置是解答此題的關鍵． 17．如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=圖象的一個分支，第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=﹣圖象的一個分支，在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點A、B，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D．若四邊形ABCD的周長為8且AB＜AC，則點A的坐標為?。?，3）?。? 考點： 反比例函數(shù)綜合題。 專題： 綜合題。 分析： 設A點坐標為（a，），利用AB平行于x軸，點B的縱坐標為，而點B在反比例函數(shù)y=﹣圖象上，易得B點坐標為（﹣2a，），則AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AB+AC=4，即3a+=4，則3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得a1=，a2=1，而AB＜AC，則a=，即可寫出A點坐標． 解答： 解：點A在反比例函數(shù)y=圖象上，設A點坐標為（a，）， ∵AB平行于x軸， ∴點B的縱坐標為， 而點B在反比例函數(shù)y=﹣圖象上， ∴B點的橫坐標=﹣2a=﹣2a，即B點坐標為（﹣2a，）， ∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=， ∵四邊形ABCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形， ∴AB+AC=4，即3a+=4， 整理得，3a2﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0， ∴a1=，a2=1， 而AB＜AC， ∴a=， ∴A點坐標為（，3）． 故答案為（，3）． 點評： 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；利用矩形對邊相等的性質(zhì)建立方程以及用因式分解法解一元二次方程． 18．如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60，動點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動，直到點P到達點D后才停止．已知△PAD的面積S（單位：cm2）與點P移動的時間（單位：s）的函數(shù)如圖②所示，則點P從開始移動到停止移動一共用了?。?+2）　秒（結果保留根號）． 考點： 動點問題的函數(shù)圖象。 專題： 動點型。 分析： 根據(jù)圖②判斷出AB、BC的長度，過點B作BE⊥AD于點E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根據(jù)t=2時△PAD的面積求出AD的長度，過點C作CF⊥AD于點F，然后求出DF的長度，利用勾股定理列式求出CD的長度，然后求出AB、BC、CD的和，再根據(jù)時間=路程速度計算即可得解． 解答： 解：由圖②可知，t在2到4秒時，△PAD的面積不發(fā)生變化， ∴在AB上運動的時間是2秒，在BC上運動的時間是4﹣2=2秒， ∵動點P的運動速度是1cm/s， ∴AB=2cm，BC=2cm， 過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F， 則四邊形BCFE是矩形， ∴BE=CF，BC=EF=2cm， ∵∠A=60， ∴BE=ABsin60=2=， AE=ABcos60=2=1， ∴ADBE=3， 即AD=3， 解得AD=6cm， ∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3， 在Rt△CDF中，CD===2， 所以，動點P運動的總路程為AB+BC+CD=2+2+2=4+2， ∵動點P的運動速度是1cm/s， ∴點P從開始移動到停止移動一共用了（4+2）1=4+2（秒）． 故答案為：（4+2）． 點評： 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖②的三角形的面積的變化情況判斷出AB、BC的長度是解題的關鍵，根據(jù)梯形的問題中，經(jīng)常作過梯形的上底邊的兩個頂點的高線作出輔助線也很關鍵． 三、解答題（本大題共11小題，共76分） 19．計算：（﹣1）0+|﹣2|﹣． 考點： 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪。 專題： 計算題。 分析： 分別計算零指數(shù)冪、絕對值及二次根式的化簡，然后合并即可得出答案． 解答： 解：原式=1+2﹣2 =1． 點評： 此題考查了實數(shù)的運算及零指數(shù)冪的知識，屬于基礎運算題，解答此題的關鍵是熟練掌握各部分的運算法則． 20．解不等式組． 考點： 解一元一次不等式組。 分析： 首先分別解出兩個不等式，再根據(jù)求不等式組的解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到，確定解集即可． 解答： 解：， 由不等式①得，x＜2， 由不等式②得，x≥﹣2， ∴不等式組的解集為﹣2≤x＜2． 點評： 此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是正確求出兩個不等式的解集． 21．先化簡，再求值：，其中，a=+1． 考點： 分式的化簡求值。 專題： 計算題。 分析： 將原式第二項第一個因式的分子利用完全公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，約分后再利用同分母分式的加法法則計算，得到最簡結果，然后將a的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值． 解答： 解：+? =+? =+ =， 當a=+1時，原式==． 點評： 此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現(xiàn)多項式，應先將多項式分解因式后再約分，此外化簡求值題要先將原式化為最簡時再代值． 22．解分式方程：． 考點： 解分式方程。 專題： 計算題。 分析： 兩邊同乘分式方程的最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解答，然后檢驗． 解答： 解：去分母得：3x+x+2=4， 解得：x=， 經(jīng)檢驗，x=是原方程的解． 點評： 本題考查了解分式方程，找到最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題的關鍵． 23．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延長線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC． （1）求證：△ABE≌△CDA； （2）若∠DAC=40，求∠EAC的度數(shù)． 考點： 梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題： 證明題。 分析： （1）先根據(jù)題意得出∠ABE=∠CDA，然后結合題意條件利用SAS可判斷三角形的全等； （2）根據(jù)題意可分別求出∠AEC及∠ACE的度數(shù)，在△AEC中利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案． 解答： （1）證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD， ∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA， ∴∠ABE=∠CDA 在△ABE和△CDA中，， ∴△ABE≌△CDA． （2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC， ∴∠AEB=∠ACE， ∵∠DAC=40， ∴∠AEB=∠ACE=40， ∴∠EAC=180﹣40﹣40=100． 點評： 此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)，解答本題的關鍵是根據(jù)梯形及題意條件得出一些線段之間的關系，注意所學知識的融會貫通． 24．我國是一個淡水資源嚴重缺乏的國家，有關數(shù)據(jù)顯示，中國人均淡水資源占有量僅為美國人均淡水資源占有量的，中、美兩國人均淡水資源占有量之和為13800m3，問中、美兩國人均淡水資源占有量各為多少（單位：m3）？ 考點： 二元一次方程組的應用。 專題： 應用題。 分析： 設中國人均淡水資源占有量為xm3，美國人均淡水資源占有量為ym3，根據(jù)題意所述等量關系得出方程組，解出即可得出答案． 解答： 解：設中國人均淡水資源占有量為xm3，美國人均淡水資源占有量為ym3． 根據(jù)題意得：， 解得：． 答：中、美兩國人均淡水資源占有量各為2300m3，11500m3． 點評： 此題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是設出未知數(shù)，根據(jù)題意所述等量關系得出方程組，難度一般． 25．在33的方格紙中，點A、B、C、D、E、F分別位于如圖所示的小正方形的頂點上． （1）從A、D、E、F四個點中任意取一點，以所取的這一點及點B、C為頂點畫三角形，則所畫三角形是等腰三角形的概率是　??； （2）從A、D、E、F四個點中先后任意取兩個不同的點，以所取的這兩點及點B、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率是　?。ㄓ脴錉顖D或列表法求解）． 考點： 列表法與樹狀圖法；等腰三角形的判定；平行四邊形的判定。 分析： （1）根據(jù)從A、D、E、F四個點中任意取一點，一共有4種可能，只有選取D點時，所畫三角形是等腰三角形，即可得出答案； （2）利用樹狀圖得出從A、D、E、F四個點中先后任意取兩個不同的點，一共有12種可能，進而得出以點A、E、B、C為頂點及以D、F、B、C為頂點所畫的四邊形是平行四邊形，即可求出概率． 解答： 解：（1）根據(jù)從A、D、E、F四個點中任意取一點，一共有4種可能，只有選取D點時，所畫三角形是等腰三角形， 故P（所畫三角形是等腰三角形）=； （2）用“樹狀圖”或利用表格列出所有可能的結果： ∵以點A、E、B、C為頂點及以D、F、B、C為頂點所畫的四邊形是平行四邊形， ∴所畫的四邊形是平行四邊形的概率P==． 故答案為：（1），（2）． 點評： 此題主要考查了利用樹狀圖求概率，根據(jù)已知正確列舉出所有結果，進而得出概率是解題關鍵． 26．如圖，已知斜坡AB長60米，坡角（即∠BAC）為30，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．（請講下面2小題的結果都精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）． （1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45，則平臺DE的長最多為　11.0　米； （2）一座建筑物GH距離坡角A點27米遠（即AG=27米），小明在D點測得建筑物頂部H的仰角（即∠HDM）為30．點B、C、A、G、H在同一個平面內(nèi)，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，問建筑物GH高為多少米？ 考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題。 分析： （1）根據(jù)題意得出，∠BEF最大為45，當∠BEF=45時，EF最短，此時ED最長，進而得出EF的長，即可得出答案； （2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD?cos30進而得出DM的長，利用HM=DM?tan30得出即可． 解答： 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45， ∴∠BEF最大為45， 當∠BEF=45時，EF最短，此時ED最長， ∵∠DAC=∠BDF=30，AD=BD=30， ∴BF=EF=BD=15， DF=15， 故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0； （2）過點D作DP⊥AC，垂足為P． 在Rt△DPA中，DP=AD=30=15， PA=AD?cos30=30=15． 在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27， 在Rt△DMH中， HM=DM?tan30=（15+27）=15+9． GH=HM+MG=15+15+9≈45.6． 答：建筑物GH高為45.6米． 點評： 此題主要考查了解直角三角形中坡角問題，根據(jù)圖象構建直角三角形，進而利用銳角三角函數(shù)得出是解題關鍵． 27．如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2＜x＜4）． （1）當x=時，求弦PA、PB的長度； （2）當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？ 考點： 切線的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 專題： 計算題。 分析： （1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對內(nèi)錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形PCA與三角形PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長代入求出PA的長，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長； （2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點，再由三個角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的長表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數(shù)，配方后根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值． 解答： 解：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑， ∴AB⊥l，又∵PC⊥l， ∴AB∥PC， ∴∠CPA=∠PAB， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠APB=90，又PC⊥l， ∴∠PCA=∠APB=90， ∴△PCA∽△APB， ∴=，即PA2=PC?AB， ∵PC=，AB=4， ∴PA==， ∴Rt△APB中，AB=4，PA=， 由勾股定理得：PB==； （2）過O作OE⊥PD，垂足為E， ∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD， ∴PE=ED， 又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90， ∴四邊形OACE為矩形， ∴CE=OA=2，又PC=x， ∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2， ∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=4﹣x， ∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2， ∵2＜x＜4， ∴當x=3時，PD?CD的值最大，最大值是2． 點評： 此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關鍵． 28．如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5． （1）試求出y關于x的函數(shù)關系式，并求當y=3時相應x的值； （2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1﹣S2是常數(shù)； （3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長． 考點： 正方形的性質(zhì)；一元二次方程的應用；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)；解直角三角形。 專題： 代數(shù)幾何綜合題。 分析： （1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值． （2）利用（1）得出的y與x的關系式表示出S1、S2，然后作差即可． （3）延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度． 解答： 解：（1）∵CG∥AP， ∴△GCD∽△APG， ∴=， ∵GF=4，CD=DA=1，AF=x， ∴GD=3﹣x，AG=4﹣x， ∴=，即y=， ∴y關于x的函數(shù)關系式為y=， 當y=3時，=3，解得x=2.5， 經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根． 故x的值為2.5； （2）∵S1=GP?GD=??（3﹣x）=， S2=GD?CD=（3﹣x）1=， ∴S1﹣S2=﹣=即為常數(shù)； （3）延長PD交AC于點Q． ∵正方形ABCD中，AC為對角線， ∴∠CAD=45， ∵PQ⊥AC， ∴∠ADQ=45， ∴∠GDP=∠ADQ=45． ∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP， ∴3﹣x=， 化簡得：x2﹣5x+5=0． 解得：x=， ∵0≤x≤2.5， ∴x=， 在Rt△DGP中，PD==（3﹣x）=． 點評： 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是用移動的時間表示出有關線段的長度，然后運用所學知識進行求解． 29．如圖，已知拋物線y=x2﹣（b+1）x+（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C． （1）點B的坐標為　（b，0）　，點C的坐標為?。?，）　（用含b的代數(shù)式表示）； （2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由； （3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由． 考點： 二次函數(shù)綜合題。 分析： （1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標； （2）存在，先假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．設點P的坐標為（x，y），連接OP，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明△PEC≌△PDB，進而求出x和y的值，從而求出P的坐標； （3）存在，假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90，即QA⊥x軸； 要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90或∠OQC=90；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可． 解答： 解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0， 解得：x=1或b， ∵b是實數(shù)且b＞2，點A位于點B的左側， ∴點B的坐標為（b，0）， 令x=0， 解得：y=， ∴點C的坐標為（0，）， 故答案為：（b，0），（0，）； （2）存在， 假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形． 設點P的坐標為（x，y），連接OP． 則S四邊形POCB=S△PCO+S△POB=??x+?b?y=2b， ∴x+4y=16． 過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E， ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90． ∴四邊形PEOD是矩形． ∴∠EPO=90． ∴∠EPC=∠DPB． ∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y． 由解得 由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣， 解得b=＞2符合題意． ∴P的坐標為（，）； （3）假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似． ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO， ∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO． ∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90，即QA⊥x軸． ∵b＞2， ∴AB＞OA， ∴∠Q0A＞∠ABQ． ∴只能∠AOQ=∠AQB．此時∠OQB=90， 由QA⊥x軸知QA∥y軸． ∴∠COQ=∠OQA． ∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90或∠OQC=90． （I）當∠OCQ=90時，△CQO≌△QOA． ∴AQ=CO=． 由AQ=AQ2=OA?AB得：（）2=b﹣1． 解得：b=84． ∵b＞2， ∴b=8+4． ∴點Q的坐標是（1，2+）． （II）當∠OQC=90時，△QCO∽△QOA， ∴=，即OQ2=OC?AQ． 又OQ2=OA?OB， ∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1b． 解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意， ∴點Q的坐標是（1，4）． ∴綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似． 點評： 此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，還考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，同時還讓學生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學會分類討論的思想．