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1、福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 4.1.2圓的一般方程教案 新人教A版必修2 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能：（1）在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件。 （2）能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程。 （3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。 2、過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。 3、情感態(tài)度價(jià)值觀：滲透數(shù)形結(jié)合、

2、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)：D、E、F。 難點(diǎn)：對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用。 三、教學(xué)過(guò)程： （一）課題引入 思考：方程x 2 + y 2 – 2x + 4y + 1 = 0表示什么圖形？方程x 2 + y 2 – 2x – 4y + 6 = 0表示什么圖形？ 思路分析：以上是關(guān)于x，y的二元二次方程，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，得知應(yīng)進(jìn)行配方： (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4表示圓；(x – 1) 2 +

3、 (y – 2) 2 = – 1不表示任何圖形。 拓展問(wèn)題：方程表示什么圖形？ （二）探索研究 1、配方： 2、討論：（1）當(dāng)時(shí)，表示以（，）為圓心，為半徑的圓； （2）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，，即只表示一個(gè)點(diǎn)（，）； （3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形。 3、歸納：圓的一般方程：（）。 4、方程的特征：（1）x 2和y 2的系數(shù)相同，且不等于0； （2）沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)。 5、比較：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？ （1）圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 （2）圓的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程與一般方程可以相互轉(zhuǎn)化。 （三）知識(shí)應(yīng)用與解題研究 例1：求過(guò)三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設(shè)所求的圓的方程為： ∵A（0，0），B（1，1），C（4，2）在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組： 即，解此方程組，可得：， ∴所求圓的方程為：； 配方得：，所以圓的半徑，圓心坐標(biāo)為 (4 , – 3)。 歸納：用待定系數(shù)

5、法求圓的方程的一般步驟： （1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； （2）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組； （3）解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 例2、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 分析：如圖，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x , y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），且M是線段AB的中點(diǎn)，所以，于是有 ①； 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程，即 ②，把①代入②，得， 整理得：， 所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)為1的圓。 （四）課堂練習(xí)：課堂練習(xí)P123。 （五）小結(jié)：我們學(xué)到了什么？ 1、圓的一般方程：的討論（什么時(shí)候可以表示圓）； 2、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化； 3、用待定系數(shù)法求圓的方程； 4、求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。 （六）作業(yè)：課本P124習(xí)題4.1 [A組]第1、5、6題。 教學(xué)反思：