《2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.8曲線與方程（含軌跡問題）練習 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.8曲線與方程（含軌跡問題）練習 理 北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 10.8. 曲線與方程〔含軌跡問題〕 核心考點·精準研析 考點一　直接法求軌跡方程? 【典例】△ABC的三個頂點分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定點P(1,1). (1)求△ABC外接圓的標準方程; (2)假設(shè)過定點P的直線與△ABC的外接圓交于E,F兩點,求弦EF中點的軌跡方程. 【解析】(1)由題意得AC的中點坐標為(0,),AB的中點坐標為, kAC=,kAB=1,故AC中垂線的斜率為-,AB中垂線的斜率為-1,那么AC的中垂線的方程為y-=-x,AB的中垂線的方程為y-=-. 由得 所以△ABC的外接圓圓心為(2,0),半徑r=2+1=3, 故△

2、ABC外接圓的標準方程為(x-2)2+y2=9. (2)設(shè)弦EF的中點為M(x,y),△ABC外接圓的圓心為N,那么N(2,0), 由MN⊥MP,得·=0, 所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0, 整理得x2+y2-3x-y+2=0, 故弦EF中點的軌跡方程為+=. 直接法求軌跡方程的思路 直接法求軌跡方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這六個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系那么可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性. 1.點F(0,

3、1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且·=·,那么動點P的軌跡C的方程為 (　　) A.x2=4y　 B.y2=3x C.x2=2y　 D.y2=4x 2.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.那么動點P的軌跡方程為________________.? 【解析】(1)選A.設(shè)點P(x,y),那么Q(x,-1). 因為·=·, 所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2), 即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y, 所以動點P的軌

4、跡C的方程為x2=4y. (2)因為點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱, 所以點B的坐標為(1,-1). 設(shè)點P的坐標為(x,y),由題意得·=-, 化簡得x2+3y2=4(x≠±1). 故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1). 答案:x2+3y2=4(x≠±1) 考點二　定義法求軌跡方程? 【典例】1.圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程. 2.如圖,△ABC的兩頂點坐標A(-1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=

5、1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M,求曲線M的方程. 【解析】 1.如下圖,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B, 那么有|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 又|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2, 即動點M到兩定點C2,C1的距離的差是常數(shù)2, 且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|, 故動圓圓心M的軌跡為以定點C2,C1為焦點的雙曲線的左支,那么2a=2,所以a=1.又c=3,那么b2=c2-a2=8. 設(shè)動圓圓心M的坐標為(x,y),

6、 那么動圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1). 2.由題知|CA|+|CB|= |CP|+|CQ|+|AP|+|BQ| =2|CP|+|AB|=4>|AB|, 所以曲線M是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點). 設(shè)曲線M:+=1(a>b>0,y≠0), 那么a2=4,b2=a2-=3, 所以曲線M的方程為+=1(y≠0). 1.定義法的適用范圍 假設(shè)動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義,那么可根據(jù)曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程. 2.注意2個易誤點 (1)因?qū)A錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或無視某些限制條件而失

7、誤.在利用定義法求軌跡方程時一定要正確應用圓錐曲線的定義.(如典例1中,動點M的軌跡是雙曲線的一支,故應限制條件x≤-1) (2)不會遷移應用條件,而找不到解題思路,而無法解題.(如典例2中,假設(shè)不能正確轉(zhuǎn)化|CA|+|CB|,那么很難求出曲線M的軌跡方程) 　M(-2,0),N(2,0),那么以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為 (　　) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠±2) D.x2+y2=4(x≠±2) 【解析】選D.MN的中點為原點O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的軌跡是以原點O為圓心,以r=2為半徑的圓

8、,除去與x軸的兩個交點. 考點三　相關(guān)點法求軌跡方程? 【典例】如圖,P是橢圓+y2=1上一點,PM⊥x軸于M.假設(shè)=λ. (1)求點N的軌跡方程. (2)當點N的軌跡為圓時,求λ的值. 【解析】(1)設(shè)點P,點N的坐標分別為P(x1,y1),N(x,y),那么M的坐標為(x1,0),且x=x1, 所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1), =(x1-x,-y)=(0,-y), 由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y). 所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y. 因為P(x1,y1)在橢圓+y2=1上, 那么+=1,所以+(1+λ)2y2=1, 故+

9、(1+λ)2y2=1為所求的點N的軌跡方程. (2)要使點N的軌跡為圓,那么(1+λ)2=, 解得λ=-或λ=-. 故當λ=-或λ=-時,N點的軌跡是圓. 　相關(guān)點法求曲線方程的四個步驟: 第一步—設(shè)出所求動點坐標P(x,y) 　? 第二步—尋求所求動點P(x,y)與動點Q(x′,y′)的關(guān)系 　? 第三步—建立P,Q兩坐標間的關(guān)系,并表示出x′,y′ 　? 第四步—將x′,y′代入曲線方程中化簡求解 (2021·西安模擬)拋物線y2=4x,焦點為F,頂點為O,點P在拋物線上移動,Q是OP的中點,M是FQ的中點,那么點M的軌跡方程是 (　　) A.y2=x-1

10、 B.y2=2(x-) C.y2=2(x-1) D.y2=x- 【解析】選D.設(shè)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦點F的坐標為(1,0).因為M是FQ的中點, 所以即 又Q是OP的中點, 所以即 因為P在拋物線y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M點的軌跡方程為y2=x-. 【變式備選】 1.方程ax2-ay2=b,且ab<0,那么它表示的曲線是 (　　) A.焦點在x軸上的雙曲線 B.焦點在y軸上的雙曲線　 C.圓 D.橢圓 【解析】選B.當ab<0時,方程ax2-ay2=b化簡得y2-x2=-,方程表示雙曲

11、線.焦點坐標在y軸上. 2.曲線:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四條曲線中,滿足“假設(shè)曲線與直線y=kx+b有且僅有一個公共點,那么它們必相切〞的曲線的序號是 (　　) A.① B.② C.③ D.④ 【解析】選B.①當直線y=kx+b和拋物線y2=x的對稱軸平行時,曲線與直線有且僅有一個公共點,但此時直線不是切線,故①錯誤, ②當直線y=kx+b和圓x2+y2=1只有一個公共 點時,直線與圓相切,故②正確, ③當直線y=kx+b和x軸平行時,直線和y=x3只有一個交點,但此時直線和曲線不相切,故③錯誤, ④當直線y=kx+b和雙曲線x

12、2-y2=1的漸近線平行時,直線和雙曲線有一個交點,但此時直線y=kx+b和雙曲線不相切,故④錯誤, 故正確的只有②. 3.如圖,△PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,假設(shè)tan∠ADP+2tan∠BCP=10,那么點P在平面α內(nèi)的軌跡是 (　　) A.圓的一局部 B.橢圓的一局部 C.雙曲線的一局部　 D.拋物線的一局部 【解析】選B.由題意知+2×=10,那么|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因為P,A,B三點不共線,故點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓的一局部. 4.直線y=

13、mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點,那么實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A. B. C.　 D. 【解析】選A.因為直線y=mx+3m=m(x+3)經(jīng)過定點P(-3,0),m為斜率;曲線y=是以原點為圓心,半徑r=2的圓的上半圓,所以同一坐標系內(nèi)作出它們的圖像,如圖, 當直線與半圓切于A點時,它們有唯一公共點,此時,直線的傾斜角α滿足 sin α=, 所以cos α==,可得直線的斜率m=tan α==, 當直線y=mx+3m的傾斜角由此位置變小時,兩圖像有兩個不同的交點,直到直線斜率m變成0為止,由此可得當0≤m<時,直線y=mx+3m和曲線y=有兩個不同的交點. - 8 -