《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.2 空間圖形的基本關(guān)系與公理練習(xí) 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.2 空間圖形的基本關(guān)系與公理練習(xí) 理 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 9.2 空間圖形的根本關(guān)系與公理 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　平面的根本性質(zhì)? 1. 以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 (　　) A.三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 C.四邊形是平面圖形 D.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 2.α,β,γ是平面,a,b,c是直線,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,假設(shè)a∩b=P,那么 (　　) A.P∈c B.P?c C.c∩a=? D.c∩β=? 3.在三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF∩HG=P,那么點(diǎn)P (　　) A.一定在直線BD上 B.一定在

2、直線AC上 C.在直線AC或BD上 D.不在直線AC上,也不在直線BD上 4.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是 (　　) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 【解析】1.選D.A錯(cuò)誤,不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.B錯(cuò)誤,一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.C錯(cuò)誤,四邊形不一定是平面圖形.D正確,兩條相交直線可以確定一個(gè)平面. 2.選A.如圖,因?yàn)閍∩b=P,所以P∈a,P∈b, 因?yàn)棣痢搔?a,β∩γ=b,所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c, 所以P∈c. 3.選B.如下列圖, 因?yàn)镋F 平面AB

3、C,HG 平面ACD, EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC,所以P∈AC. 4.選D.在圖①中分別連接PS,QR,易證PS∥QR,所以P,Q,R,S四點(diǎn)共面;在圖中③分別連接PQ,RS,易證PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面.在②圖中過(guò)點(diǎn)P,Q,R,S可作一正六邊形,故四點(diǎn)共面;在圖④中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面. 　共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明 (1)證明共面的方法:①先確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);②證兩平面重合. (2)證明共線的方法:①先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;②直接

4、證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上. (3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn). 【秒殺絕招】 排除法解T4,在圖④中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面,可排除A,B,C,直接選D. 考點(diǎn)二　異面直線所成的角? 【典例】 1.(2021·全國(guó)卷II)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),那么異面直線AE與CD所成角的正切值為 (　　) A. B. C. D. 2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,那么異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 (　　) A. B.

5、C. D. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 1 畫(huà)出圖形,由AB∥CD,聯(lián)想到AE與CD所成角為∠EAB,解直角三角形. 2 畫(huà)出圖形,圖中沒(méi)有與AB1,BC1平行的直線,聯(lián)想到作輔助線. 【解析】1.選C.因?yàn)镃D∥AB,所以∠EAB即為異面直線AE與CD所成角,連接BE,在直角三角形ABE中,設(shè)AB=a,那么BE=a,所以tan∠EAB==. 2.選C.如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM, 可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角. 由題意可知BC1=,AB1=, 那么MN=AB1=,NP=BC1=. 取BC的中點(diǎn)Q,

6、連接PQ,QM,那么可知△PQM為直角三角形. 在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×=7,即AC=. 又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=. 在△MQP中,可知MP==. 在△PMN中,cos∠PNM == =-, 又異面直線所成角的范圍為, 故所求角的余弦值為. 【一題多解】選C.把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖, 連接C1D,BD,那么AB1與BC1所成的角為∠BC1D(或其補(bǔ)角). 由題意可知BC1=, BD==,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2, 所以c

7、os∠BC1D==. 　求異面直線所成的角的三個(gè)步驟 (1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角. (2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角. (3)三求:解三角形,求出所作的角. 1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,假設(shè)∠BAC=90°,AB=AC=AA1,那么異面直線BA1與AC1所成的角等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】選C.如圖,可補(bǔ)成一個(gè)正方體, 所以AC1∥BD1. 所以BA1與AC1所成的角為∠A1BD1. 又易知△A1BD1為正三角形, 所以∠A1BD1=60°.即BA1與AC1成60°的角. 2.

8、如圖,圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為　　　　.? 【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD, 因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn), 所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D垂直于圓柱下底面,所以C1D⊥AD. 因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形, 所以C1D=AD, 所以直線AC1與AD所成角的正切值為, 所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為. 答案: 考點(diǎn)三　

9、空間兩條直線的位置關(guān)系? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查異面直線的判斷,直線平行、垂直的判斷等問(wèn)題.(2)考查直觀想象的核心素養(yǎng). 2.怎么考:以柱、錐、臺(tái)、球及組合體為載體,考查直線位置關(guān)系的判斷. 3.新趨勢(shì):以異面直線、平行直線為載體考查點(diǎn)的不共面與共面問(wèn)題. 學(xué) 霸 好 方 法 1.直線位置關(guān)系的判斷方法: 異面直線可采用直接法或反證法;平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;垂直關(guān)系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決. 2.交匯問(wèn)題:與線面、面面平行與垂直相結(jié)合命題. 兩條異面直線的判定 【典

10、例】在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有　　　　.(填上所有正確答案的序號(hào)) 【解析】圖①中,直線GH∥MN; 圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?面GHN, 因此直線GH與MN異面; 圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面; 圖④中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H?面GMN, 因此GH與MN異面,所以圖②④中GH與MN異面. 答案:②④ 兩直線平行或相交的判定 【典例】空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊BC,CD的中點(diǎn). 求證:EG與FH相交

11、. 【證明】如圖,連接AC,BD,那么EF∥AC,HG∥AC, 因此EF∥HG;同理EH∥FG,那么EFGH為平行四邊形.又EG,FH是?EFGH的對(duì)角線,所以EG與HF相交. 1.假設(shè)兩條直線是異面直線,那么稱為一對(duì)異面直線,那么從正方體的12條棱中任取兩條,共有　　　對(duì)異面直線 (　　)? A.48 B.36 C.24 D.12 【解析】選C.每一條棱所在的直線與其余的棱所在的直線成異面直線的有4對(duì),所以共有4×12=48對(duì),但是這48對(duì)中每一種都重復(fù)了一對(duì),所以所求的異面直線共有24對(duì). 2.如下列圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1

12、D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論: ①直線AM與CC1是相交直線; ②直線AM與BN是平行直線; ③直線BN與MB1是異面直線; ④直線AM與DD1是異面直線. 其中正確的結(jié)論為　　　　.(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)? 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過(guò)點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯(cuò);取DD1中點(diǎn)E,連接AE,那么BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯(cuò);因?yàn)辄c(diǎn)B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),點(diǎn)M在平面BCC1B1外,BN不過(guò)點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確,故填③

13、④. 答案:③④ 1.假設(shè)直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 (　　) A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 【解析】選D.由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交. 2.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),那么以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是 (　　) A.CC1與B1E是異面直線 B.C1C與AE共面 C.AE與B1C1是異面直線 D.AE與B1C1所成的角為60° 【解析】選C.由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi),故C1C與B1E是共面的,所以A錯(cuò)誤;由于C1C在平面C1B1BC內(nèi),而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn),點(diǎn)E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯(cuò)誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點(diǎn),△ABC為正三角形,所以AE⊥BC,D錯(cuò)誤. 可修改 歡迎下載 精品 Word