2015高考數(shù)學理科全國一卷及詳解答案
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理科數(shù)學 注意事項: 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至3頁,第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效。 4.考試結(jié)束后,將本試題和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 (1)設(shè)復數(shù)z滿足=i,則|z|= (A)1 (B) (C) (D)2 (2)sin20cos10-con160sin10= (A) (B) (C) (D) (3)設(shè)命題P:nN,>,則P為 (A)nN, > (B) nN, ≤ (C)nN, ≤ (D) nN, = (4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知是雙曲線上的一點,是上的兩個焦點,若,則的取值范圍是 (A)(-,) (B)(-,) (C)(,) (D)(,) (6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 (7)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點,則 (A) (B) (C) (D) (8)函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A) (B) (C) (D) (9)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10) 的展開式中,的系數(shù)為 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 (11) 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20,則= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 12. 設(shè)函數(shù),其中,若存在唯一的整數(shù),使得,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)題~第(21)題為必考題,每個試題考生都必須作答。第(22)題~第(24)題未選考題,考生根據(jù)要求作答。 二、填空題:本大題共3小題,每小題5分 (13)若函數(shù)為偶函數(shù),則 (14)一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點,且圓心在軸上,則該圓的標準方程為 。 (15)若滿足約束條件則的最大值為 . (16)在平面四邊形中,∠A=∠B=∠C=75,BC=2,則AB的取值范圍是 三.解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。 (17)(本小題滿分12分) 為數(shù)列的前項和.已知, (Ⅰ)求的通項公式: (Ⅱ)設(shè) ,求數(shù)列的前項和。 (18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120,E,F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)證明:平面AEC⊥平面AFC (2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值 (19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中, (Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為。根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題: (i) 年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少? (ⅱ)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大? 附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: (20)(本小題滿分12分) 在直角坐標系中,曲線與直線交與兩點, (Ⅰ)當時,分別求C在點M和N處的切線方程; (Ⅱ)軸上是否存在點P,使得當變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由。 (21)(本小題滿分12分) 已知函數(shù) (Ⅰ)當a為何值時,x軸為曲線 的切線; (Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù) ,討論h(x)零點的個數(shù) 請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一個題目計分,做答時,請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。 (22)(本題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講 如圖,是的直徑,是的切線,交于 (I) 若D為AC的中點,證明:DE是的切線; (II) 若,求∠ACB的大小. (23)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中。直線:,圓:,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系。 (I) 求,的極坐標方程; (II) 若直線的極坐標方程為,設(shè)與的交點為, ,求的面積 (24)(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講 已知函數(shù). (Ⅰ)當時,求不等式的解集; (Ⅱ)若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍 參考答案 一.選擇題 (1)A (2)D (3)C (4)A (5)A (6)B (7)A (8)D (9)C (10)C (11)B (12)D 二.填空題 (13)1 (14) (15)3 (16) 三.解答題 (17)解: (Ⅰ)由,可知 可得,即 由于,可得 又,解得(舍去), 所以是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為…………………6分 (Ⅱ)由可知 設(shè)數(shù)列的前項和為,則 …………………………………………………………………………12分 (18)解: (Ⅰ)連結(jié)BD,設(shè),連結(jié) 在菱形中,不妨設(shè),由,可得 由平面,,可知,又,所以,且 在中,可得,故 在中,可得, 在直角梯形中,由,可得 從而,所以 又,可得平面 因為平面,所以平面平面…………………………6分 (Ⅱ)如圖,以G為坐標原點,分別以的方向為軸,軸正方向,為單位長,建立空間直角坐標系,由(Ⅰ)可得,,,, 所以…………………………………10分 故 所以直線與直線所成角的余弦值為…………………………12分 (19)解: (Ⅰ)由散點圖可以判斷,適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型………………2分 (Ⅱ)令,先建立關(guān)于的線性回歸方程,由于 所以關(guān)于的線性回歸方程為,因此關(guān)于的線性回歸方程…………………………………………6分 (Ⅲ)(?。┯桑á颍┲?,當時,年銷售量的預(yù)報值 年利潤的預(yù)報值 …………………………………9分 (ⅱ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果知,年利潤的預(yù)報值 所以,當,即時,取得最大值, 故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大……………12分 (20)解: (Ⅰ)由題設(shè)可得,或 又,故在處的導數(shù)值為,在點處的切線方程為,即 在處的導數(shù)值為,在點處的切線方程為,即 故所求切線方程為和…………………5分 (Ⅱ)存在符合題意的點,證明如下: 設(shè)為符合題意的點,,直線的斜率分別為 將代入的方程得 故 從而 當時,有,則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補,故,所以點符合題意…………………………12分 (21)解: (Ⅰ)設(shè)曲線與軸相切于點,則,即 解得 因此,當時,軸為曲線的切線…………………………5分 (Ⅱ)當時,,從而, 故在無零點 當時,若,則,故是的零點;若,則,故不是的零點。 當時,。所以只需考慮在的零點個數(shù)。 (?。┤艋?,則在(0,1)無零點,故在(0,1)單調(diào),而,所以,當時,在(0,1)有一個零點;當時,在(0,1)沒有零點。 (ⅱ)若,則在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在(0,1)中,當時,取得最小值,最小值為。 ①,即,在(0,1)無零點; ②,即,則在(0,1)有唯一零點; ③,即,由于,所以當時,在(0,1)有兩個零點;當時,在(0,1)有一個零點………………………………………………10分 綜上,當或時,有一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點……………………………12分 (22)解: (Ⅰ)連結(jié),由已知得, 在中,由已知得,,故 連結(jié),則 又,所以,故,是的切線……………………………………5分 (Ⅱ)設(shè),由已知得 由射影定理可得,,所以,即 可得,所以……………………………10分 (23)解: (Ⅰ)因為,所以的極坐標方程為,的極坐標方程為……………………………5分 (Ⅱ)將代入,得,解得,故,即 由于的半徑為1,所以的面積為………………………10分 (24)解: (Ⅰ)當時,化為 當時,不等式化為,無解; 當時,不等式化為,解得; 當時,不等式化為,解得 所以的解集為…………………5分 (Ⅱ)由題設(shè)可得, 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為,,,的面積為 由題設(shè)得,故 所以的取值范圍為………………………………10分- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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