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1、編號(hào)：
時(shí)間：2021年x月x日
書山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟
頁(yè)碼：第10頁(yè) 共10頁(yè)
《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：多元生命函數(shù)
第一節(jié)? 多元生命函數(shù)簡(jiǎn)介
一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。
二、多元生命函數(shù)的作用
養(yǎng)老金給付場(chǎng)合
n????????? 合伙人聯(lián)保場(chǎng)合
n遺產(chǎn)稅的計(jì)算場(chǎng)合
三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布
1、? 聯(lián)合密度函數(shù)
2、? 聯(lián)合分布函數(shù)
3、? 聯(lián)合生存函數(shù)
4、? 邊際生存函數(shù)
第二節(jié)? 多元生命狀況
??? 一、連生狀況
1、? 連生狀況定義
（1）定義：當(dāng)所有成員都活著時(shí)的狀況，稱為連生狀況。當(dāng)有
2、一個(gè)成員死亡時(shí)，連生狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記連生狀況為：
（2）連生狀況剩余壽命的定義：
（3）連生狀況剩余壽命的性
質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最小次序統(tǒng)計(jì)量
2、? 兩個(gè)體連生狀況的生命函數(shù)
（1）分布函數(shù)
（2）生存函數(shù)
特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合
（3）密度函數(shù)
特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合
（4）死亡效力函數(shù)
特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合
（5）兩個(gè)體至少有一個(gè)在第 年內(nèi)死亡的概率
（6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率
（7）剩余壽命的期望
二、最后生存狀況
1、? 最后生存狀況的定義
（1）
3、定義：只要至少有一個(gè)成員活著時(shí)的狀況，稱為最后生存狀況。當(dāng)所有的成員都死亡時(shí)，最后生存狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記最后生存狀況為：
（2）最后生存狀況剩余壽命的定義：
（3）最后生存狀況剩余壽命的性
質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最大次序統(tǒng)計(jì)量
2、? 多生命狀況剩余壽命的關(guān)系
（1）
（2）
（3）
（4）
3、兩個(gè)體最后生存狀況的生命函數(shù)
（1）分布函數(shù)
等價(jià)公式
（2）生存函數(shù)
等價(jià)公式
（3）密度函數(shù)
等價(jià)公式
（4）死亡效力函數(shù)
（5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率
等價(jià)公式
（6）剩
4、余壽命期望
4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析
第三節(jié)??????? 聯(lián)合生命模型
一、 簡(jiǎn)介
聯(lián)合生命模型分為兩類：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量相互獨(dú)立的模型。這種模型假定有時(shí)與現(xiàn)實(shí)情況不符，但易于分析。
Copulas模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量不獨(dú)立的模型。這種模型假定更符合實(shí)際情況，但不易于分析。
我們主要研究簡(jiǎn)單的Common Shock 模型。
二、 Common Shock 模型
1、定義：如果有 滿足
且有一個(gè)Common Shock 隨機(jī)變量 ，它獨(dú)立于
5、 ，且服從指數(shù)生存函數(shù)
令
則
2、聯(lián)合生命狀況分析
記
則
（1）邊際生存函數(shù)為
（2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為
（3）最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為
特別， 獨(dú)立時(shí)，等價(jià)于 。
第四節(jié)? 人壽保險(xiǎn)與生存年金
一、聯(lián)合生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定
1、? 躉繳純保費(fèi)的確定原理
2、? 聯(lián)合多生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定
（1）?????? 連生狀況
（2）?????? 最后生存狀況
二、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定
1、? 生存年金確定原理
2、? 聯(lián)合生命狀況生存年金的確定
（1）連生狀況
（2）最后生存狀況
6、
三、 連生狀況合最后死亡狀況的關(guān)系
四、 繼承年金
1、? 繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個(gè)生命（v）死亡之后，另一個(gè)生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡(jiǎn)記為 。
2、? 終身繼承年金
3、? 定期繼承年金
第五節(jié)? 在特殊死亡律假定下求值
一、Gomperz 和Makeham假定
1、? Gomperz假定下
尋找能替代連生狀態(tài)的單個(gè)生命狀態(tài) ，即
已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有
由這個(gè)等式可求出 ，于是
2、? Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項(xiàng)，所以無(wú)法用單個(gè)生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個(gè)同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即
已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有
由這個(gè)等式可求出 ，于是
二、均勻分布假定
??? 在均勻分布假定下，躉繳純保費(fèi)和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質(zhì)
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