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第九章　圓錐曲線與方程 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點擊 命題展望 1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用； 2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)； 3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)； 4.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用； 5.理解數(shù)形結(jié)合的思想； 6.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系. 本章重點：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法. 本章難點：1.對圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系. 圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考?？碱}型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力. 知識網(wǎng)絡(luò) 9.1　橢　圓 典例精析 題型一　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例1】已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和 ，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程. 【解析】由橢圓的定義知，2a＝＋＝2，故a＝， 由勾股定理得，()2－()2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝， 故所求方程為＋＝1或＋＝1. 【點撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點所在坐標(biāo)軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)； (2)在求橢圓中的a、b、c時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識. 【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個點(每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下： 據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為　　　　　. 【解析】方法一：先將題目中的點描出來，如圖，A(－2,2)，B(－，0)，C(0，)，D(2，－2)，E(2，)，F(xiàn)(3，－2). 通過觀察可知道點F，O，D可能是拋物線上的點.而A，C，E是橢圓上的點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上. 顯然半焦距b＝，則不妨設(shè)橢圓的方程是＋＝1，則將點 A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是＋＝1. 方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些. 不妨設(shè)有兩點y＝2px1，①y＝2px2，②＝， 則可知B(－，0)，C(0，)不是拋物線上的點. 而D(2，－2)，F(xiàn)(3，－2)正好符合. 又因為橢圓的交點在x軸上，故B(－，0)，C(0，)不可能同時出現(xiàn).故選用A(－2,2)，E(2，)這兩個點代入，可得橢圓的方程是＋＝1. 題型二　橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用 【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60. (1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). 【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中， 由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60， 因為m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， 所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2. 又mn≤()2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號)， 所以4a2－4c2≤3a2，所以≥， 即e≥，所以e的取值范圍是[，1). (2)由(1)知mn＝b2，所以＝mnsin 60＝b2， 即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). 【點撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1||PF2|≤()2，|PF1|≥a－c. 【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓＋＝1上的一點，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝和圓 (x－4)2＋y2＝上的點，則|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　. 【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心， 則|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－)＋(|PF2|－)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9. 所以|PQ|＋|PR|的最小值為9. 題型三　有關(guān)橢圓的綜合問題 【例3】(2010全國新課標(biāo))設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列. (1)求E的離心率； (2)設(shè)點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程. 【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a. l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標(biāo)滿足方程組 化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|＝， 即a＝，故a2＝2b2， 所以E的離心率e＝＝＝. (2)設(shè)AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|?kPN＝－1，即＝－1?c＝3. 從而a＝3，b＝3，故E的方程為＋＝1. 【變式訓(xùn)練3】已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若＝e，則e的值是(　　) A. B. C. D. 【解析】設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x＝－，拋物線準(zhǔn)線為x＝ －3c，x0－(－)＝x0－(－3c)?＝?e＝.故選B. 總結(jié)提高 1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解. 2.充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數(shù)進(jìn)行計算推理. 3.焦點三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍. 9.2　雙曲線 典例精析 題型一　雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【例1】已知動圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程. 【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－， 所以|AE|－|BE|＝2，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,2＜|AB|. 根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支. 因為a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14， 故點E的軌跡方程是－＝1(x≥). 【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支. 【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線－＝1的右支上一點，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和 (x－5)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】選D. 題型二　雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 【例2】雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍. 【解析】設(shè)P(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上， 即 (x－)2＋y2＝()2，① 又P在雙曲線上，得－＝1，② 由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0， 即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0， 當(dāng)x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去； 當(dāng)x＝時，滿足題意的點P存在，需x＝＞a， 化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜， 所以離心率的取值范圍是(1，). 【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法. 【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　) A.k2－e2＞1 B.k2－e2＜1 C.e2－k2＞1 D.e2－k2＜1 【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1，故選C. 題型三　有關(guān)雙曲線的綜合問題 【例3】(2010廣東)已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點. (1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程； (2)若過點H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值. 【解析】(1)由題意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，則有 直線A1P的方程為y＝(x＋)，① 直線A2Q的方程為y＝(x－).② 方法一：聯(lián)立①②解得交點坐標(biāo)為x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③ 則x≠0，|x|＜. 而點P(x1，y1)在雙曲線－y2＝1上，所以－y＝1. 將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為＋y2＝1，x≠0且x≠. 方法二：設(shè)點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，①②得y2＝(x2－2).③ 又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此－y＝1，即y＝－1. 代入③式整理得＋y2＝1. 因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(，0)的直線l的方程為x＋y－＝0. 解方程組得x＝，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2. 故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，－1). 綜上分析，軌跡E的方程為＋y2＝1，x≠0且x≠. (2)設(shè)過點H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)， 聯(lián)立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0， 解得k1＝，k2＝－. 由于l1⊥l2，則k1k2＝－＝－1，故h＝. 過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由(－)＝－1，得h＝. 此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋與y＝－x＋， 它們與軌跡E分別僅有一個交點(－，)與(，). 所以，符合條件的h的值為或. 【變式訓(xùn)練3】雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于(　　) A.1＋2 B.3＋2 C.4－2 D.5－2 【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解. 據(jù)題意設(shè)|AF1|＝x，則|AB|＝x，|BF1|＝x. 由雙曲線定義有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a ?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(＋1)x－x＝4a，即x＝2a＝|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝＝. 又由定義可得|AF2|＝|AF1|－2a＝2a－2a，即＝2－2a， 兩邊平方整理得c2＝a2(5－2)?＝e2＝5－2，故選D. 總結(jié)提高 1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等. 2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當(dāng) ||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|時，P無軌跡. 3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題： (1)已知雙曲線方程，求它的漸近線； (2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝x，可將雙曲線方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法. 9.3　拋物線 典例精析 題型一　拋物線定義的運(yùn)用 【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)拋物線過點P(2，－4)； (2)拋物線焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5. 【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny. 將點P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y. (2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)， 由定義得5＝|AF|＝|m＋|，又(－3)2＝2pm，所以p＝1或9， 所求方程為y2＝2x或y2＝18x. 【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點，另一點A(a,0) (a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值. 【解析】設(shè)P(x0，y0) (x0≥0)，則y＝2x0， 所以d＝|PA|＝＝＝. 因為a＞0，x0≥0， 所以當(dāng)0＜a＜1時，此時有x0＝0，dmin＝＝a； 當(dāng)a≥1時，此時有x0＝a－1，dmin＝. 題型二　直線與拋物線位置討論 【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足： －x＝1(x＞0). 化簡得y2＝4x(x＞0). (2)設(shè)過點M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2). 設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2). ＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.② 又x＝，于是不等式②等價于 ＋y1y2－(＋)＋1＜0 ?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③ 由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④ 對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2. 由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有＜0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2). 【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，則＋＝　　　. 【解析】?y2－4my＋8m＝0， 所以＋＝＝. 題型三　有關(guān)拋物線的綜合問題 【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N. (1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行； (2)是否存在實數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由. 【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x)，B(x2,2x)， 把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0， 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1， 所以xN＝xM＝＝，所以點N的坐標(biāo)為(，). 設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y－＝m(x－)， 將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0， 因為直線l與拋物線C相切， 所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0， 所以m＝k，即l∥AB. (2)假設(shè)存在實數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB， 又因為M是AB的中點，所以|MN|＝|AB|. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2. 因為MN⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 又|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝. 所以＝，解得k＝2. 即存在k＝2，使＝0. 【點撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式. 【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個動點，過點P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點分別為M、N，則|MN|的最小值是　　　　. 【解析】. 總結(jié)提高 1.在拋物線定義中，焦點F不在準(zhǔn)線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線. 2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點、焦點在對稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對稱軸；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p. 3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法. 4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等. 9.4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 典例精析 題型一　直線與圓錐曲線交點問題 【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值. 【解析】聯(lián)立方程組 (1)當(dāng)a＝0時，方程組恰有一組解為 (2)當(dāng)a≠0時，消去x得y2－y－1＝0， ①若＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0， 方程組恰有一組解 ②若≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋＝0，解得a＝－，這時直線與曲線相切，只有一個公共點. 綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－. 【點撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù)＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證一下：①當(dāng)a＝0時，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時與已知直線y＝x－1 恰有交點(1,0)；②當(dāng)a＝－1時，直線y＝－1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零)；③當(dāng)a＝－時直線與拋物線相切. 【變式訓(xùn)練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A.{1，－1，，－} B.(－∞，－]∪[，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1)∪[，＋∞) 【解析】由?(1－k2)x2－2kx－5＝0， ?k＝，結(jié)合直線過定點(0，－1)，且漸近線斜率為1，可知答案為A. 題型二　直線與圓錐曲線的相交弦問題 【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，＝2. (1)求橢圓C的離心率； (2)如果|AB|＝，求橢圓C的方程. 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0. (1)直線l的方程為y＝(x－c)，其中c＝. 聯(lián)立 得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因為＝2，所以－y1＝2y2，即＝2. 解得離心率e＝＝. (2)因為|AB|＝|y2－y1|，所以＝. 由＝得b＝a，所以a＝，即a＝3，b＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. 【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程. 【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為　　　. 【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標(biāo)為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0? 2ax0＋2by0＝0?ax0－by0＝0. 故＝＝. 題型三　對稱問題 【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍. 【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，由題意知k≠0. 設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b， 聯(lián)立消去x，得y2＋y－b＝0， 由題意有Δ＝12＋4b＞0，即＋1＞0.(*) 且y1＋y2＝－4k.又＝－＋b.所以＝k(2k＋b). 故AB的中點為E(k(2k＋b)，－2k). 因為l過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k. 代入(*)式，得－2＋1＞0?＜0 ?k(k＋1)(k2－k＋3)＜0?－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0). 【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點坐標(biāo)滿足l的方程； (2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標(biāo)，利用中點在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍. 【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對稱的兩點A，B，則|AB|等于(　　) A.3 B.4 C.3 D.4 【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0， 所以xA＋xB＝－1，故AB中點為(－，－＋b). 它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝3，故選C. 總結(jié)提高 1.本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法. 2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組 通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件. 3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交”的情形. 9.5　圓錐曲線綜合問題 典例精析 題型一　求軌跡方程 【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點M. (1)求證：l1⊥l2； (2)求點M的軌跡方程. 【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋. 聯(lián)立消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x. 所以過點A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點B的切線l2的斜率是k2＝x2. 因為k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. (2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1). 同理直線l2的方程為y－＝x2(x－x2). 聯(lián)立這兩個方程消去y得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)， 整理得(x1－x2)(x－)＝0， 注意到x1≠x2，所以x＝. 此時y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－. 由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R. 所以點M的軌跡方程是y＝－. 【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌. 【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x＞3) D.－＝1(x＞4) 【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6， 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x＞3)，故選C. 題型二　圓錐曲線的有關(guān)最值 【例2】已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60時，求菱形ABCD面積的最大值. 【解析】因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD. 于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n. 由得4x2－6nx＋3n2－4＝0. 因為A，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜. 設(shè)A，C兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝. 因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60，所以|AB|＝|BC|＝|CA|. 所以菱形ABCD的面積S＝|AC|2. 又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16) (－＜n＜). 所以當(dāng)n＝0時，菱形ABCD的面積取得最大值4. 【點撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少. 【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點B(－1,0)和兩個動點P、Q，若BP⊥PQ，則點Q橫坐標(biāo)的取值范圍是　　　　　　. 【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x－1)，Q(xQ，x－1)， 由kBPkPQ＝－1，得＝－1. 所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1. 因為|xP－1＋|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3. 題型三　求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題 【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－＝0，橢圓C：＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點. (1)當(dāng)直線l過右焦點F2時，求直線l的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)因為直線l：x－my－＝0經(jīng)過F2(，0)， 所以＝，解得m2＝2， 又因為m＞1，所以m＝. 故直線l的方程為x－y－1＝0. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x得2y2＋my＋－1＝0， 則由Δ＝m2－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8， 且有y1＋y2＝－，y1y2＝－. 由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點， 由＝2， ＝2，得G(，)，H(，)， |GH|2＝＋. 設(shè)M是GH的中點，則M(，)， 由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[()2＋()2]＜＋， 即x1x2＋y1y2＜0. 而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m2＋1)(－). 所以－＜0，即m2＜4. 又因為m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2. 所以m的取值范圍是(1,2). 【點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力. 【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個頂點A與雙曲線右頂點重合，則a的取值范圍為　　　. 【解析】設(shè)B(m，)，則C(m，－)(m＞1)， 又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋＝(2)2， 所以a＝3＝3(1＋)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞). 總結(jié)提高 1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法. 2.最值問題的代數(shù)解法，是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定. 3.范圍問題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識.嗄