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第十三章　統(tǒng)計案例 高考導航 考試要求 重難點擊 命題展望 1.理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 2.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、莖葉圖，理解它們各自的特點，理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想，會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題. 3.會作兩個有關聯(lián)變量的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用. 4.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用. 本章重點： 1.三種抽樣方法的區(qū)別、聯(lián)系及操作步驟.2.樣本頻率分布直方圖和莖葉圖.3.用樣本估計總體的思想. 本章難點： 回歸直線方程與獨立性檢驗. 統(tǒng)計多數(shù)以選擇題和填空題形式考查，大題只在個別省的考題中出現(xiàn)過.難度屬于基礎題和中檔題.考點往往集中體現(xiàn)在抽樣方法、頻率分布圖表這兩個方面.另外，應注意統(tǒng)計題反映出來的綜合性與應用性，如與數(shù)列、概率等的綜合，用統(tǒng)計方法提供決策、制定方案等，以此考查學生搜集處理信息及分析解決問題的能力. 知識網(wǎng)絡 13.1　抽樣方法與用樣本估計總體 典例精析 題型一　抽樣方法 【例1】某校有教師200人，男學生1 200人，女學生1 000人，用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知女學生抽取的人數(shù)為80人，則n的值為　　　. 【解析】根據(jù)分層抽樣的意義， ＝，解得n＝192. 【點撥】現(xiàn)實中正確的分層抽樣一般有三個步驟：首先，辨明突出的統(tǒng)計特征和分類.其次，確定每個分層在總體上的比例.利用這個比例，可計算出樣本中每組(層)應抽取的人數(shù).最后，必須從每層中抽取獨立簡單隨機樣本. 【變式訓練1】從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中隨機抽取80輛測試某項性能.請合理選擇抽樣方法進行抽樣，并寫出抽樣過程. 【解析】第一步，將802輛轎車用隨機方式編號. 第二步，從總體中剔除2輛(剔除方法可用隨機數(shù)表法)，將剩余的800輛轎車重新編號(分別為001,002,003，…，800)，并分成80段. 第三步，在第一段001,002，…，010這十個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個(如005)作為起始號碼. 第四步，將編號為005,015,025，…，795的個體抽出，組成樣本. 題型二　頻率分布直方圖 【例2】(2010湖南)如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖. (1)求直方圖中x的值； (2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學期望. 【解析】(1)依題意及頻率分布直方圖知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12. (2)由題意知X～B(3,0.1)，因此 P(X＝0)＝C0.93＝0.729， P(X＝1)＝C0.10.92＝0.243， P(X＝2)＝C0.120.9＝0.027， P(X＝3)＝C0.13＝0.001， 故隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的數(shù)學期望為E(X)＝30.1＝0.3. (或E(X)＝10.243＋20.027＋30.001＝0.3) 【點撥】從頻率分布直方圖讀取數(shù)據(jù)時，要特別重視組距，縱坐標是頻率除以組距，故長方形的面積之和為1. 【變式訓練2】如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)數(shù)據(jù)填空： (1)樣本數(shù)據(jù)落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為　 ?。? (2)樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻率為　 ??； (3)總體落在[2,6)內(nèi)的頻率為　 　. 【解析】(1)樣本落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為0.094100＝36. (2)樣本落在[6,10)內(nèi)的頻率為0.084＝0.32. (3)樣本落在[2,6)內(nèi)的頻率為0.024＝0.08，所以總體落在[2,6)內(nèi)的頻率約為0.08. 題型三　平均數(shù)、方差的計算 【例3】甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下： 甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8 乙　7　8　6　8　6　7　8　7　5　9 試問誰10次射靶的情況較穩(wěn)定？ 【解析】本題要計算兩樣本的方差，當樣本平均數(shù)不是整數(shù)，且樣本數(shù)據(jù)不大時，可用簡化公式計算方差. ＝(4＋7＋…＋8)＝7.1， ＝(7＋8＋…＋9)＝7.1， s＝(42＋72＋…＋82－107.12)＝3.09， s＝(72＋82＋…＋92－107.12)＝1.29， 因為s＞s，所以乙10次射靶比甲10次射靶情況穩(wěn)定. 【點撥】平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定. 【變式訓練3】(2010北京市東城區(qū))在一次數(shù)學統(tǒng)考后，某班隨機抽取10名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖. (1)計算此樣本的平均成績及方差； (2)現(xiàn)從此樣本中隨機抽出2名學生的成績，設抽出分數(shù)為90分以上的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和均值. 【解析】(1)樣本的平均成績＝80； 方差為s2＝[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175. (2)由題意，隨機變量X＝0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1＋2＝. 總結提高 1.統(tǒng)計的基本思想是用樣本估計總體.這就要求樣本具有很好的代表性，而樣本良好客觀的代表性，則完全依賴抽樣方法. 2.三種抽樣方法中簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎，它們的共同點都是等概率抽樣.適用范圍不同，要根據(jù)總體的具體情況選用不同的方法. 3.對于總體分布，總是用樣本的頻率分布對它進行估計. 4.用樣本估計總體，一般分成以下幾個步驟： 先求樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值(稱為極值)，再確定合適的組數(shù)和組距，確定分點(每個分點只屬于一組，故一般采用半開半閉區(qū)間)，然后列出頻率分布表(準確，查數(shù)據(jù)容易)，畫頻率分布直方圖. 13.2　兩變量間的相關性、回歸分析和獨立性檢驗 典例精析 題型一　求回歸直線方程 【例1】下表是關于某設備的使用年限(年)和所需要的維修費用(萬元)的幾組統(tǒng)計數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)若y對x呈線性相關關系，求出y關于x的線性回歸方程y＝x＋； (2)估計使用年限為10年時，維修費用為多少？ 【解析】(1)因為xiyi＝112.3，x＝4＋9＋16＋25＋36＝90， 且＝4，＝5，n＝5， 所以＝＝＝1.23，＝5－1.234＝0.08， 所以回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08. (2)當x＝10時，y＝1.2310＋0.08＝12.38， 所以估計當使用10年時，維修費用約為12.38萬元. 【點撥】當x與y呈線性相關關系時，可直接求出回歸直線方程，再利用回歸直線方程進行計算和預測. 【變式訓練1】某工廠經(jīng)過技術改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗(噸標準煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 據(jù)相關性檢驗，y與x具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7，那么y關于x的回歸直線方程是　　　　　　　　. 【解析】先求得＝4.5，＝3.5，由＝0.7x＋a過點(，)，則a＝0.35，所以回歸直線方程是＝0.7x＋0.35. 題型二　獨立性檢驗 【例2】研究小麥種子經(jīng)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關系，經(jīng)試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示： 種子滅菌 種子未滅菌 合計 黑穗病 26 184 210 無黑穗病 50 200 250 合計 76 384 460 試按照原試驗目的作統(tǒng)計分析推斷. 【解析】由列聯(lián)表得： a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460. 所以K2＝＝≈4.804， 由于K2≈4.804＞3.841， 所以有95%的把握認為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關系的. 【變式訓練2】(2010東北三省三校模擬)某研究小組為了研究中學生的身體發(fā)育情況，在某學校隨機抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成22的列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有　　　%的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系. 超重 不超重 合計 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 合計 7 13 20 附：獨立性檢驗臨界值表 P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 (獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式：K2＝) 【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝15，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，運用獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式得K2＝＝≈5.934， 由于K2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系. 總結提高 1.在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手. 2.樣本的隨機性導致由線性回歸方程所作出的預報也具有隨機性.