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第8章 幾何非線性有限元分析 8.1 大變形條件下的應(yīng)變和應(yīng)力度量 一．應(yīng)變度量 結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型： P：， Q： t時(shí)刻的構(gòu)型： P’：， Q’： 兩種構(gòu)型下的坐標(biāo)可相互轉(zhuǎn)化： * 拉各朗日（Lagrange）描述 基于變形前的構(gòu)型表述變形后的構(gòu)型。以變形前的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量。 * 歐拉（Eular）描述 基于變形后的構(gòu)型表述變形前的構(gòu)型。以變形后的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量。 根據(jù)以上變換： ， 定義： ， PQ線段的長(zhǎng)度： P’Q’變形后的長(zhǎng)度： , Green-Lagrange 應(yīng)變（Green應(yīng)變） , Almansi 應(yīng)變 定義位移向量： ， Green 應(yīng)變 Almansi 應(yīng)變 在小應(yīng)變情況下： 工程應(yīng)變 Cauchy應(yīng)變 二．應(yīng)力度量 歐拉應(yīng)力張量（Green應(yīng)力張量）： 表示變形后的構(gòu)型的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力構(gòu)成的張量。是對(duì)稱張量 變形后表面上的應(yīng)力：， 變形前的應(yīng)力： 需要確定變形前、后的相應(yīng)面上的力之間的關(guān)系。兩種確定方法： （1） Lagrange規(guī)定： （2） Kirchhoff規(guī)定： 與坐標(biāo)變換規(guī)律相同： ， ：第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力（Lagrange應(yīng)力張量），非對(duì)稱 ， ：第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力。Kirchhoff應(yīng)力張量，對(duì)稱 各種應(yīng)力張量之間的關(guān)系： （1）由質(zhì)量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非對(duì)稱張量，是對(duì)稱張量。  8.2 幾何非線性問(wèn)題的表達(dá)格式 虛位移原理（虛功原理）： 虛功原理的初始參考構(gòu)型表示形式： 為了便于求解：將應(yīng)力和應(yīng)變分解成： 從t到時(shí)刻引起的應(yīng)力增量 從t到時(shí)刻引起的應(yīng)變?cè)隽? 將應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)一步分解： 平衡方程的線性化 （1） 物理方程的線性化： 對(duì)于彈性材料，該關(guān)系式準(zhǔn)確的。如果是小變形，則有 材料的彈性常數(shù)張量。 （2） 求解格式的進(jìn)一步線性化： 帶入虛功方程， 可獲得用位移和應(yīng)變表示的虛功方程： 8.3 有限元求解方程及解法 一．有限元方程： 靜力問(wèn)題： 按照一般的有限元法的基本思想，將結(jié)構(gòu)離散成有限單元，每個(gè)單元中，選擇相應(yīng)的形函數(shù)，將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、位移等相應(yīng)的量，通過(guò)形狀函數(shù)與單元的節(jié)點(diǎn)上的坐標(biāo)值、位移相聯(lián)系。 坐標(biāo)：，， 位移：， 代入虛功原理： ， ， 經(jīng)過(guò)集成后，可獲得有限元控制方程： 該方程是一個(gè)非線性方程組。其非線性體現(xiàn)在剛度系數(shù)矩陣上。在時(shí)間步中，剛度矩陣是切線模量。這與物理非線性問(wèn)題是相同的。 另一方面，右端項(xiàng)與待求的位移增量{u}相關(guān)。這也造成了非線性。 求解方法：可采用求解物理非線性問(wèn)題的方法求解。 三．有限元方程的解法 基本思想：在每個(gè)時(shí)間步中，采用非線性方程的求解方法，進(jìn)行迭代求解。這些方法包括：直接迭代法；N－R方法等。 因此，幾何非線性問(wèn)題的求解包括兩層迭代（循環(huán)）； 外層循環(huán)（迭代）：對(duì)時(shí)間步迭代（荷載增量步） 內(nèi)層循環(huán)：求解各時(shí)間步導(dǎo)出的非線性方程，通過(guò)迭代求解該時(shí)間步后的相應(yīng)。 四．平衡路徑的追蹤方法：弧長(zhǎng)法 8.4 穩(wěn)定性問(wèn)題 初始穩(wěn)定性問(wèn)題（初始屈曲等） 穩(wěn)定性控制方程（屈曲方程） 非線性方程： 穩(wěn)定性問(wèn)題：在一定的荷載條件下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。在荷載不增加的條件下，是否存在另一狀態(tài)？ 從數(shù)學(xué)上說(shuō)，如果位移{u}對(duì)應(yīng)平衡狀態(tài)，在荷載不變的條件下，位移有一個(gè)小的擾動(dòng)，是否也能夠處于平衡狀態(tài)？ 也就是：，是否有非零解？ 注意：非線性剛度矩陣是由初始內(nèi)力形成的剛度矩陣。初始內(nèi)力的大小與外荷載相關(guān)。如果討論的是初始屈曲問(wèn)題，則初始內(nèi)力與外荷載成正比。例如，梁的屈曲問(wèn)題，則內(nèi)力與軸向荷載p成正比。此時(shí)，。 失穩(wěn)條件： 求解上述方程，可求出失穩(wěn)荷載。