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小升初奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解 不定方程 　　一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； 　　常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法； 　　多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 　　多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 　　涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較； 　　解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案； 　　技巧總結(jié)：A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)； 工程問題 　　基本公式： 　?、俟ぷ骺偭?工作效率工作時(shí)間 　?、诠ぷ餍?工作總量工作時(shí)間 　?、酃ぷ鲿r(shí)間=工作總量工作效率 　　基本思路： 　　①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）； 　　②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間. 　　關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 　　經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。 雞兔同籠問題 　　基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來； 　　基本思路： 　?、偌僭O(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 　?、诩僭O(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少； 　?、勖總€(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； 　?、茉俑鶕?jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。 　　基本公式： 　?、侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)總頭數(shù)－總腳數(shù)）（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)） 　?、诎阉型米蛹僭O(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 　　關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。 簡(jiǎn)單方程 　　代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。 　　方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。 　　列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來。 　　列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。 　　等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)（除0），等式不變。 　　移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊移到另一邊； 　　移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。 　　加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變；括號(hào)里面的數(shù)前沒有“+”或“－”的，都按有“+”處理。 　　移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。 　　乘法分配率：a(b+c)=ab+ac 　　解方程步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤求解； 　　方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。 　　解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。 　　消元的方法：①加減消元；②代入消元。 循環(huán)小數(shù) 　　一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則 　?、偌冄h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。 　　②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。 　　二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法： 　　①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。 　?、谝粋€(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。 經(jīng)濟(jì)問題 　　利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）成本100%； 　　賣價(jià)=成本（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 　　成本=賣價(jià)（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 　　商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來確定； 　　定價(jià)=成本（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 　　本金：儲(chǔ)蓄的金額； 　　利率：利息和本金的比； 　　利息=本金利率期數(shù)； 　　含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格（1+增值稅稅率）； 濃度與配比 　　經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 　　溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。 　　溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。 　　溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。 　　基本公式：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量； 　　溶質(zhì)重量=溶液重量濃度； 　　濃度= 100%= 100% 　　理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。 　　經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 時(shí)鐘問題—鐘面追及 　　基本思路：封閉曲線上的追及問題。 　　關(guān)鍵問題：①確定分針與時(shí)針的初始位置； 　?、诖_定分針與時(shí)針的路程差； 　　基本方法： 　?、俜指穹椒ǎ? 　　時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。 　?、诙葦?shù)方法： 　　從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即1/2 度 時(shí)鐘問題—快慢表問題 　　基本思路： 　　1、 按照行程問題中的思維方法解題； 　　2、 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體； 　　3、 路程的單位是分格（表一周為60分格）； 　　4、 時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間； 　　5、 合理利用行程問題中的比例關(guān)系。 幾何面積 　　基本思路： 　　在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。 　　常用方法： 　　1. 連輔助線方法 　　2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 　　3. 大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。 　　4. 利用特殊規(guī)律 　?、俚妊苯侨切危阎我庖粭l邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積） 　　②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。 　?、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。 邏輯推理 　　基本方法簡(jiǎn)介： 　?、贄l件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。 　?、跅l件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。 　?、蹢l件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。 　　④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。 　?、莺?jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。 綜合行程 　　基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系. 　　基本公式：路程=速度時(shí)間；路程時(shí)間=速度；路程速度=時(shí)間 　　關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。 　　相遇問題：速度和相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式） 　　追及問題：追及時(shí)間＝路程差速度差（寫出其他公式） 　　流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）順?biāo)畷r(shí)間 　　逆水行程=（船速-水速）逆水時(shí)間 　　順?biāo)俣?船速+水速 　　逆水速度=船速-水速 　　靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）2 　　水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）2 　　流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 　　過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 　　主要方法：畫線段圖法 　　基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。 比和比例 　　比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 　　比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。 　　比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。 　　比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 　　比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。 　　正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。 　　反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。 　　比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。 　　按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 完全平方數(shù) 　　完全平方數(shù)特征： 　　1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 　　2. 除以3余0或余1；反之不成立。 　　3. 除以4余0或余1；反之不成立。 　　4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。 　　5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。 　　6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。 　　7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 　　平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 　　完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 　　完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 基本概念與性質(zhì)： 　　分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。 　　分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。 　　分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。 　　百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。 　　常用方法： 　?、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。 　?、趯?duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 　?、坜D(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 　　④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 　?、萘坎蛔兯季S方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。 　?、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 　?、咄堵史ǎ嚎偭亢头至恐g按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。 　?、酀舛扰浔确ǎ阂话銘?yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。 余數(shù)、同余與周期 　　一、同余的定義： 　?、偃魞蓚€(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。 　　②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。 　　二、同余的性質(zhì)： 　?、僮陨硇裕篴≡a(mod m)； 　?、趯?duì)稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)； 　　③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)； 　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； 　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡ bd(mod m)； 　?、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)； 　?、咄缎?若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則ac≡ bc(mod mc)； 　　三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)： 　　①若A=ab，則MA=Mab=（Ma）b 　　②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd 　　四、被3、9、11除后的余數(shù)特征： 　?、僖粋€(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）； 　?、谝粋€(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 　　五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。