1、1第三章 一元函數(shù)積分學(xué) (不定積分)一. 求下列不定積分:1. dxx1ln2解. l2 cxxd21ln4l1ln22. cxdxx 22 art2arctarct1arctn3. osi)os(i2解. cxxddxx 22 os1incos1insic1in)c1(i4. )(8d解. 方法一: 令 , tx1 cttdtxd )1ln(81)1( 887828= cx8ln方法二: dxxdxd)1()1()1( 87878= =cx)ln(|l88 cx81ln5 dxdxcosi12i2)sin(2cosin1dxin1cosi12xxx 2cos2sin)(22tan1t2|cosin1|l2 xdxxc|l|i|l二. 求下列不定積分:1. 2)1(2xxd解. 1)()1()( 222 xdxx txan令 tdseco2=ccttdsinsico2。

2、,1,5.2 求不定積分的幾種基本方法,一、 第一類換元法（湊微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,設(shè),則,.,2,一般地，如果,是,的一個(gè)原函數(shù)，則,而如果,又是另一個(gè)變量,的函數(shù),且,可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有,由此得,.,3,是具有原函數(shù),于是有如下定理：,定理1 設(shè),可導(dǎo)，則,有換元公式,（5-2）,由此可見，一般地，如果積分,不能直接,利用利用基本積分公式計(jì)算，而其被積表達(dá)式,能表示為,的形式，且,較易計(jì)算，那么可令,.,4,代入后有,這樣就得到了,的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.,由于在積分過程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個(gè)積分,。

3、微 積 分 (下),微積分,微分,積分,1,刻畫函數(shù) 的變化率,計(jì)算： 求導(dǎo)數(shù)、求微分,關(guān)于本門課程的學(xué)習(xí)方法:,1）課前預(yù)習(xí)（前一天通讀下次要講的內(nèi)容）.,2）認(rèn)真聽講（提倡超前的動(dòng)腦思維）.,3）課后復(fù)習(xí)（弄懂每一個(gè)細(xì)節(jié),并適當(dāng)看一些參考書,幫助并加深理解該講的內(nèi)容）.,“成功就是簡(jiǎn)單的事情反復(fù)做”,李開復(fù),花時(shí)間學(xué)習(xí)！,最好的學(xué)習(xí)方法,奧巴馬的同學(xué)，曾任微軟中國(guó)研究院院長(zhǎng)、Google全球副總裁兼中國(guó)區(qū)總裁,4）完成作業(yè)（要獨(dú)立完成,可以討論或詢問,但切忌抄襲）.,吳巧梅老師,5）小結(jié)（總結(jié)所學(xué)內(nèi)容、歸納方法、寫出體會(huì)).,3,一道有意義。

4、第四章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,1,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質(zhì),第四章,2,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,3,問題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

5、第四章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,1,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質(zhì),第四章,2,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,3,問題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

6、______________________________________________________________________________________________________________第四章 不定積分一、 基本要求：1、 理解原函數(shù)與不定積分的概念；2、 掌握不定積分的性質(zhì)和了解不定積分的幾何意義。二、 授課內(nèi)容：4-1 原函數(shù)與不定積分一、 原函數(shù)定義1 如果對(duì)任一，都有或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：，即是的原函數(shù)。，即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)，使得對(duì)任一，有。注1：如果有一個(gè)原函數(shù)，則就有無窮多個(gè)。

7、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對(duì)不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測(cè)，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設(shè)f()具有原函數(shù)F()。則其中可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要。

8、第5章 不定積分,5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 一、原函數(shù)與不定積分 通過對(duì)求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個(gè)函數(shù) yf(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f(x) 那么，我們能不能從一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)出發(fā)， 反過來去求它是哪一個(gè)函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢? 定義 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點(diǎn)x處都有F(x)f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。,例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)： f(x)2x f(x)cosx 解：(x2)2x x2是函數(shù)2x的一個(gè)原函數(shù) (sinx)cosx sinx是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù) 這里為什么要強(qiáng)。

9、習(xí)題課,一、 求不定積分的基本方法,二、幾種特殊類型的積分,不定積分的計(jì)算方法,第四章,一、 求不定積分的基本方法,1. 直接積分法,通過簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 .,2. 換元積分法,注意常見的換元積分類型, 如掌握 P205P206 公式(16) (24)的推導(dǎo)方法,(代換: ),3. 分部積分法,使用原則:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u ,排后者取為,計(jì)算格式: 列表計(jì)算,多次分部積分的 規(guī) 律,快速計(jì)算表格:,特別: 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時(shí),計(jì)算大為簡(jiǎn)便 .,例1. 求,解:,。

10、一、不定積分的基本公式,第四章 不定積分,第二節(jié) 不定積分的基本公式和運(yùn) 算法則 直接積分法,二、不定積分的基本運(yùn)算法則,三、直接積分法,不定積分基本公式表,當(dāng) x 0 時(shí)，,所以,當(dāng) x 0 時(shí)，,所以,綜合以上兩種情況，當(dāng) x 0 時(shí)，得,例 1 求不定積分,解,例 2 求不定積分.,解 先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)的形式，再利用基本積分公式，,(1),(2),得,例 3 求不定積分,解,法則 1 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，,即,二、不定積分的基本運(yùn)算法則,法則1 可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，,即,根據(jù)不定積分定義，只須驗(yàn)證。

11、二、第二類換元法,第二節(jié),一、第一類換元法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,換元積分法,第四章,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),可導(dǎo),則有,一、第一類換元法 （P221）,定理1.,則有換元,公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當(dāng),時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. （P222）求,解:,令,則,想到公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. （P223） 求,想到,解:,(直接配元),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. （P225）求,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 。

12、第二節(jié) 不定積分的基本公式和直 接積分法,一、不定積分的基本公式 二、直接積分法,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,一、基本積分公式,1 常量函數(shù)：,2 冪函數(shù)：,3 指數(shù)函數(shù),4 三角函數(shù)：,5 反三角函數(shù),基本積分表 ,是常數(shù));,說明：,簡(jiǎn)寫為,依據(jù)微積分的互逆性以及導(dǎo)數(shù)計(jì)算基本公式，有上面的積分計(jì)算基本公式，它們是積分計(jì)算的基礎(chǔ)，所有積分的計(jì)算都必需依據(jù)其中的某一個(gè)才能得出結(jié)論，因此這些公式必須象求導(dǎo)基本公式一樣要熟記。,例1 求下列不定積。

13、第五章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,微分的逆運(yùn)算,二、 基本積分公式,三、不定積分的性質(zhì) (運(yùn)算法則),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),原函數(shù)與不定積分(直接積分法）,第五章,一、 原函數(shù)與不定積分的。

14、第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分,一、主要定理和定義,二、典型例題,三、小結(jié)與思考,2,一、主要定理和定義,定理一,由定理一可知:,解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁圖),1. 兩個(gè)主要定理:,3,4。

15、2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修本(理科)不定積分的概念 教學(xué)目的 使學(xué)生理解不定積分的概念，符號(hào)及它的兩個(gè)性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 不定積分的概念及符號(hào) 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)提問 問題1 若f(x)有一個(gè)原函數(shù)。