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材料非線性問題有限元方法 教學(xué)要求和內(nèi)容 1. 掌握彈塑性本構(gòu)關(guān)系和塑性力學(xué)的基本法則； 2. ?? 掌握彈塑性增量分析的有限元格式； 3. ?? 學(xué)習(xí)常用非線性方程組的求解方法： （1） 直接迭代法； （2） Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法； （3） 增量法等。 請(qǐng)大家預(yù)習(xí)，爭取對(duì)相關(guān)內(nèi)容有大概的了解和把握。 彈塑性增量有限元分析 一．材料彈塑性行為的描述 彈塑性材料進(jìn)入塑性的特點(diǎn)：存在不可恢復(fù)的塑性變形； 卸載時(shí)：非線性彈性材料按原路徑卸載； 彈塑性材料按不同的路徑卸載，并且有殘余應(yīng)變，稱為塑性應(yīng)變。 1． 單向加載 1） 彈性階段: 卸載時(shí)不留下殘余變形; 2） 初始屈服： 3） 強(qiáng)化階段：超過初始屈服之后,按彈性規(guī)律卸載，再加載彈性范圍擴(kuò)大：，為相繼屈服應(yīng)力。 4） 鮑氏現(xiàn)象（Bauschinger）： 二．塑性力學(xué)的基本法則 1．初始屈服準(zhǔn)則： 已經(jīng)建立了多種屈服準(zhǔn)則： （1） V. Mises 準(zhǔn)則： （2） Tresca準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則）： 2．流動(dòng)法則 V. Mises 流動(dòng)法則： ， 待定有限量 塑性應(yīng)變?cè)隽? 沿屈服面當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)的法線方向增加。 因此，稱為法向流動(dòng)法則。 3．硬化法則： （1）各向同性硬化： 等效塑性應(yīng)變，可由單拉試驗(yàn)確定。 （2）運(yùn)動(dòng)硬化法則： * Prager運(yùn)動(dòng)硬化準(zhǔn)則；Zeigler修正的運(yùn)動(dòng)硬化準(zhǔn)則。 （3）混合硬化法則： 4．加載卸載準(zhǔn)則： （1）若，且，則繼續(xù)塑性加載 （2）若，且，則按彈性卸載 （3）若，且， 1）對(duì)理想塑性材料，則繼續(xù)塑性流動(dòng)；2）對(duì)硬化材料，則繼續(xù)塑性加載，但塑性應(yīng)變?cè)隽繛榱恪? 三．彈塑性增量的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 1．建立彈塑性增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的原則 （1）一致性條件：塑性加載時(shí)，應(yīng)力仍在屈服面上 （2）流動(dòng)法則：新的塑性應(yīng)變?cè)隽?，，在屈服面上的原?yīng)力點(diǎn)的外法線方向。 （3）彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)變?cè)隽康膹椥詰?yīng)變部分與應(yīng)力關(guān)系仍服從胡克定律。 2．各向同性硬化材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （1）一致性條件 ， 具體形式： ， 單向拉伸試驗(yàn)測(cè)得。 （2）流動(dòng)法則： ， （3）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： 注意：屈服條件是已知的，我們應(yīng)該將塑性應(yīng)變通過已知量表示出來。根據(jù)流動(dòng)規(guī)則，，需要確定。 ， 彈性張量： 塑性張量： ， 彈塑性張量： 寫成矩陣形式： 四．彈塑性增量有限元格式 1 彈塑性問題的增量方程 將物體的作用荷載分成很多階段，以模擬加載歷史。假設(shè)在t時(shí)刻作用的荷載：（體積力），（表面力），（已知位移）,以及所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)（應(yīng)力，應(yīng)變，位移）已知。求時(shí)刻對(duì)應(yīng)的響應(yīng)： ， ， ， ， 由虛功方程（虛位移原理）描述的控制方程為： 寫成矩陣形式 將物體離散成有限單元，單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移增量通過形函數(shù)用單元節(jié)點(diǎn)位移增量表示： 位移： 應(yīng)變： 帶入虛功原理： 采用純?cè)隽糠ㄗ鲝椝苄杂邢拊治龅牟襟E 以下僅限于簡單加載過程（無反復(fù)加卸載過程）和Mises各向同性強(qiáng)化材料: 1. 開始，輸入初始參數(shù)（幾何；材料性質(zhì)，，；邊界條件；外載荷） 2. 將外載荷一次加上作線彈性分析 （Mi.條件） 如果 不存在塑性區(qū)則為彈性問題直接輸出結(jié)果 結(jié)束！ 否則 作彈塑性分析 3. 計(jì)算彈性極限 設(shè) ， 則 并可輸出彈性極限載荷下的結(jié)果。 4. 對(duì)剩余載荷作彈塑性分析 如果采用等增量步格式，則將等分為N個(gè)增量步，即每一增量步載荷為：。下面5.中是對(duì)N個(gè)增量步循環(huán)。 5. 在i步上施加一個(gè)增量載荷。已知當(dāng)前狀態(tài)下（i-1步終），各單元的（or高斯點(diǎn)），，。判斷三種類型的單元：1）彈性 2）塑性 3）過渡單元。對(duì)本增量步內(nèi)所有過渡單元經(jīng)過2~3次迭代得到合適的，計(jì)算各單元的，并集合所有單元，形成總剛，求解得 得到第i步的解。 和 ； 同時(shí)記錄下各單元的當(dāng)前狀態(tài)。 如果，荷載步為卸載，則采用彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 6. 直至全部載荷施加完畢，輸出結(jié)果，結(jié)束