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2012年中考數(shù)學(xué)卷精析版——長沙卷 （本試卷滿分120分，考試時間120分鐘） 一、選擇題（在下列各題的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)。本 題共10個小題，每小題3分，共30分）21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng) 1. （2012湖南長沙3分）﹣3相反數(shù)是【 】 A． B．﹣3 C．﹣ D．3 3．（2012湖南長沙3分）甲、乙兩學(xué)生在軍訓(xùn)打靶訓(xùn)練中，打靶的總次數(shù)相同，且所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)也相同，但甲的成績比乙的成績穩(wěn)定，那么兩者的方差的大小關(guān)系是【 】 A． B． C． D．不能確定 【答案】A。 【考點(diǎn)】方差 【分析】方差就是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定 。因此，由于甲的成績比乙的成績穩(wěn)定，所以。故選A。 4．（2012湖南長沙3分）一個不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來如圖所示，則下列符合條件的不等式組為【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集。 【分析】不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示。因此， 由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫出的折線且表示﹣1的點(diǎn)是實(shí)心圓，表示x≥﹣1；從2出發(fā)向左畫出的折線且表示2的點(diǎn)是空心圓，表示x＜2，所以這個不等式組的解集為﹣1≤x＜2，即：。 故選C。 5．（2012湖南長沙3分）下列四邊形中，兩條對角線一定不相等的是【 】 A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D。 【考點(diǎn)】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)正方形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，它們的兩條對角線一定相等，只有直角梯形的對角線一定不相等。故選D。 6．（2012湖南長沙3分）下列四個角中，最有可能與70角互補(bǔ)的是【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考點(diǎn)】補(bǔ)角。 【分析】根據(jù)互補(bǔ)的兩個角的和等于180求出70角的補(bǔ)角，然后結(jié)合各選項(xiàng)即可選擇： 70角的補(bǔ)角=180﹣70=110，是鈍角，結(jié)合各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)是鈍角，所以，最有可能與70角互補(bǔ)的是D選項(xiàng)的角。故選D。 7．（2012湖南長沙3分）小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途時，自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上課，他比修車前加快了速度繼續(xù)勻速行駛，下面是行駛路程s（m）關(guān)于時間t（min）的函數(shù)圖象，那么符合小明行駛情況的大致圖象是【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象。 【分析】根據(jù)勻速直線運(yùn)動的路程、時間圖象是一條過原點(diǎn)的斜線，修車時自行車沒有運(yùn)動，所以修車時的路程保持不變是一條直線，修車后為了趕時間，加大速度后再做勻速直線運(yùn)動，其速度比原來變大，斜線的傾角變大，即可得出答案： 小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，正常勻速行駛的路程、時間圖象是一條過原點(diǎn)O的斜線； 修車時自行車沒有運(yùn)動，所以修車時的路程保持不變是一條平行于橫坐標(biāo)的水平線； 修車后為了趕時間，他比修車前加快了速度繼續(xù)勻速行駛，此時的路程、時間圖象仍是一條斜線，只是斜線的傾角變大。 因此選項(xiàng)A、B、D都不符合要求。故選C。 8．（2012湖南長沙3分）已知：菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE∥DC交BC于點(diǎn)E，AD=6cm，則OE的長為【 】 A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C。 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理。 【分析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD，CD=AD=6cm， ∵OE∥DC，∴OE是△BCD的中位線?！郞E=CD=3cm。故選C。 9．（2012湖南長沙3分）某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例．圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考點(diǎn)】跨學(xué)科問題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】設(shè)，那么點(diǎn)（3，2）滿足這個函數(shù)解析式，∴k=32=6?！?。故選C。 10．（2012湖南長沙3分）現(xiàn)有3cm，4cm，7cm，9cm長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是【 】 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B。 【考點(diǎn)】構(gòu)成三角形的三邊的條件。 【分析】四條木棒的所有組合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的構(gòu)成條件，只有3，7，9和4，7，9能組成三角形。故選B。 二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng) 11．（2012湖南長沙3分）已知函數(shù)關(guān)系式：，則自變量x的取值范圍是　 ▲ 　． 【答案】 【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件。 【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須。 12．（2012湖南長沙3分）如圖，在△ABC中，∠A=45，∠B=60，則外角∠ACD=　 ▲ 　度． 【答案】105。 【考點(diǎn)】三角形外角性質(zhì)。 【分析】由∠A=45，∠B=60，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和的性質(zhì)，得 ∠ACD=∠A+∠B=45+60=105。 13．（2012湖南長沙3分）若實(shí)數(shù)a、b滿足|3a﹣1|+b2=0，則ab的值為　 ▲ 　． 【答案】1。 【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，偶次方，絕對值，零指數(shù)冪。 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后根據(jù)任何非0數(shù)的0次冪等于1進(jìn)行計(jì)算即可得解： 根據(jù)題意得，3a﹣1=0，b=0，解得a=，b=0。 ∴ab==1。 14．（2012湖南長沙3分）如果一次函數(shù)y=mx+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是 　 ▲ ?。? 【答案】m＜0。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。 【分析】一次函數(shù)的圖象有四種情況： ①當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大； ②當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大； ③當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減??； ④當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小。 ∵一次函數(shù)y=mx+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴m＜0。 15．（2012湖南長沙3分）任意拋擲一枚硬幣，則“正面朝上”是　 ▲ 　事件． 【答案】隨機(jī)。 【考點(diǎn)】隨機(jī)事件。 【分析】拋擲1枚均勻硬幣可能正面朝上，也可能反面朝上，故拋擲1枚均勻硬幣正面朝上是隨機(jī)事件。 16．（2012湖南長沙3分）在半徑為1cm的圓中，圓心角為120的扇形的弧長是　 ▲ 　cm． 【答案】。 【考點(diǎn)】扇形弧長的計(jì)算。 【分析】知道半徑，圓心角，直接代入弧長公式即可求得扇形的弧長：。 17．（2012湖南長沙3分）如圖，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　 ▲ 　度． 【答案】360。 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)。 【分析】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180…①。 ∵CD∥EF，∴∠CEF+∠ECD=180…②。 ①+②得，∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180+180=360，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360。 18．（2012湖南長沙3分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60，則BC的長為 　 ▲ 　． 【答案】4。 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】過點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E， ∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形。 ∴AE=CD=2，AD=EC=2。 ∵∠B=60，∴△ABE是等邊三角形?！郆E=AB=AE=2。 ∴BC=BE+CE=2+2=4。 三、解答題: （本題共2個小題，每小題6分，共12分） 19．（2012湖南長沙6分）計(jì)算：． 【答案】解：原式=2+2﹣3=0。 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根。 【分析】針對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根3個考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果。 20．（2012湖南長沙6分）先化簡，再求值：-，其中a=﹣2，b=1． 【答案】解：原式= 當(dāng)a=﹣2，b=1時, 原式= . 【考點(diǎn)】分式化簡求值。 【分析】先約分、通分化簡。然后代a=﹣2，b=1求值。 四．解答題: （本題共2個小題，每小題8分，共16分） 21．（2012湖南長沙8分）某班數(shù)學(xué)科代表小華對本班上期期末考試數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計(jì)分析，繪制成如下頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)表和頻數(shù)分布直方圖，請你根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題： 分組 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 合計(jì) 頻數(shù) 2 a 20 16 4 50 頻率 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1 （1）頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)表中，a=　 ??；b=　 ??； （2）請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整； （3）小華在班上任選一名同學(xué)，該同學(xué)成績不低于80分的概率是多少？ 【答案】解：（1）8；0.08。 （2）補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖如圖所示： （3）該同學(xué)成績不低于80分的概率是：0.32+0.08=0.40=40%。 【考點(diǎn)】頻數(shù)（率）統(tǒng)計(jì)表，頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系，概率。 【分析】（1）a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8，b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08。 （2）由（1）a=8補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖。 （3）用不低于80分的頻率相加即可。 22．（2012湖南長沙8分）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠APC=60， （1）求證：△ABC是等邊三角形； （2）求圓心O到BC的距離OD． 【答案】解：（1）證明：∵∠APC和∠ABC是同弧所對的圓周角，∴∠APC=∠ABC。 又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60，∴∠ABC=60。 ∴∠ACB=180﹣∠BAC﹣∠ABC=180﹣60﹣60=60。 ∴△ABC是等邊三角形。 （2）連接OB， ∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓， ∴O為△ABC的外心。 ∴BO平分∠ABC。∴∠OBD=30.∴OD=8=4。 【考點(diǎn)】圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)和已知∠BAC=∠APC=60可得△ABC的每一個內(nèi)角都等于600，從而得證。 （2）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，得含30度角直角三角形OBD，從而根據(jù)30度角所對邊是斜邊一半的性質(zhì)，得OD=8=4。 五、解答題（本題共2個小題，每小題9分，共18分）21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng) 23．（2012湖南長沙9分）以“開放崛起，綠色發(fā)展”為主題的第七屆“中博會”已于2012年5月20日在湖南長沙圓滿落幕，作為東道主的湖南省一共簽訂了境外與省外境內(nèi)投資合作項(xiàng)目共348個，其中境外投資合作項(xiàng)目個數(shù)的2倍比省內(nèi)境外投資合作項(xiàng)目多51個． （1）求湖南省簽訂的境外，省外境內(nèi)的投資合作項(xiàng)目分別有多少個？ （2）若境外、省內(nèi)境外投資合作項(xiàng)目平均每個項(xiàng)目引進(jìn)資金分別為6億元，7.5億元，求在這次“中博會”中，東道湖南省共引進(jìn)資金多少億元？ 【答案】解：（1）設(shè)境外投資合作項(xiàng)目個數(shù)為x個，則省外境內(nèi)投資合作項(xiàng)目為348﹣x個。 根據(jù)題意得出：2x﹣（348﹣x）=51， 解得：x=133， ∴省外境內(nèi)投資合作項(xiàng)目為：348﹣133=215個。 答：境外投資合作項(xiàng)目為133個，省外境內(nèi)投資合作項(xiàng)目為215個. （2）∵境外、省內(nèi)境外投資合作項(xiàng)目平均每個項(xiàng)目引進(jìn)資金分別為6億元，7.5億元， ∴湖南省共引進(jìn)資金：1336+2157.5=2410.5億元。 答：東道湖南省共引進(jìn)資金2410.5億元。 【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用，用樣本估計(jì)總體。 【分析】（1）方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程求解。本題等量關(guān)系為： 境外投資合作項(xiàng)目個數(shù)的2倍－省內(nèi)境外投資合作項(xiàng)目=51個 2x － （348﹣x） =51。 （2）根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，用境外、省內(nèi)境外投資合作項(xiàng)目數(shù)與投資數(shù)的乘積相加即可。 24．（2012湖南長沙9分）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長BE交DF于點(diǎn)G． （1）求證：△BDG∽△DEG； （2）若EG?BG=4，求BE的長． 【答案】（1）證明：∵將△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF?！唷螰DC=∠EBC。 ∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC?！唷螰DC=∠EBE。 又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG。 （2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC。 ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=90，∠DBC=∠BDC=45。 ∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5=∠FDC。 ∴∠BDF=45+22.5=67.5，∠F=90﹣22.5=67.5=∠BDF?！郆D=BF， ∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5=∠DEG。 ∴∠DGB=180﹣22.5﹣67.5=90，即BG⊥DF。 ∵BD=BF，∴DF=2DG。 ∵△BDG∽△DEG，BGEG=4，∴。 ∴BGEG=DGDG=4?！郉G=2 ∴BE=DF=2DG=4。 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根據(jù)相似三角形的判定推出即可。 （2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根據(jù)相似求出DG的長，即可求出答案。 五、解答題（本題共2個小題，每小題10分，共20分） 25．（2012湖南長沙10分）在長株潭建設(shè)兩型社會的過程中，為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬元購得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬元購買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價為每件20元．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價定在25元到30元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：. （年獲利=年銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣投資成本） （1）當(dāng)銷售單價定為28元時，該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件？ （2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？ （3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項(xiàng)捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產(chǎn)品，就抽出一元錢作為捐款．若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的范圍。 【考點(diǎn)】一、二次函數(shù)的應(yīng)用。 【分析】（1）因?yàn)?5≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件。 （2）由（1）中y于x的函數(shù)關(guān)系式和根據(jù)年獲利=年銷售收入－生產(chǎn)成本－投資成本，得到w和x的二次函數(shù)關(guān)系，再由x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損。 （3）由條件得到w和x在自變量x的不同取值范圍的函數(shù)關(guān)系式，再分別令w=67.5，求出對應(yīng)x的值，結(jié)合y于x的關(guān)系中的x取值范圍即可確定此時銷售單價的范圍。 26．（2012湖南長沙10分）如圖半徑分別為m，n（0＜m＜n）的兩圓⊙O1和⊙O2相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，1），兩圓同時與兩坐標(biāo)軸相切，⊙O1與x軸，y軸分別切于點(diǎn)M，點(diǎn)N，⊙O2與x軸，y軸分別切于點(diǎn)R，點(diǎn)H． （1）求兩圓的圓心O1，O2所在直線的解析式； （2）求兩圓的圓心O1，O2之間的距離d； （3）令四邊形PO1QO2的面積為S1，四邊形RMO1O2的面積為S2． 試探究：是否存在一條經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)、開口向下，且在x軸上截得的線段長為的拋物線？若存在，請求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由． 【答案】解：（1）由題意可知O1（m，m），O2（n，n）， 設(shè)過點(diǎn)O1，O2的直線解析式為y=kx+b，則有： （0＜m＜n），解得。 ∴兩圓的圓心O1，O2所在直線的解析式為：y=x。 （2）由相交兩圓的性質(zhì)，可知P、Q點(diǎn)關(guān)于O1O2對稱． ∵P（4，1），直線O1O2解析式為y=x，∴Q（1，4）。 如圖1，連接O1Q， O2Q。 ∵Q（1，4），O1（m，m）， ∴根據(jù)勾股定理得到：。 又∵O1Q為小圓半徑，即QO1=m， ∴=m，化簡得：m2﹣10m+17=0 ① 同理可得：n2﹣10n+17=0 ② 由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的兩個根， 解③得：。 ∵0＜m＜n，∴m=5－，n=5+。 ∵O1（m，m），O2（n，n）， ∴d=O1O2=。 （3）不存在。理由如下： 假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx+c， ∵開口向下，∴a＜0。 如圖2，連接PQ。 由相交兩圓性質(zhì)可知，PQ⊥O1O2。 ∵P（4，1），Q（1，4）， ∴。 又∵O1O2=8，∴。 又∵O2R=5+，O1M=5－，MR=， ∴ ∴，即拋物線在x軸上截得的線段長為1。 ∵拋物線過點(diǎn)P（4，1），Q（1，4）， ∴，解得。 ∴拋物線解析式為：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a， 令y=0，則有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0， 設(shè)兩根為x1，x2，則有：x1+x2=，x1x2=。 ∵在x軸上截得的線段長為1，即|x1﹣x2|=1， ∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，即（）2﹣4（）=1， 化簡得：8a2﹣10a+1=0，解得a=。 可見a的兩個根均大于0，這與拋物線開口向下（即a＜0）矛盾。 ∴不存在這樣的拋物線。