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在二、三兩章學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，它們都屬于一元函數(shù)的微分學(xué)內(nèi)容。函數(shù)的微分主要解決了已知函數(shù)如何求函數(shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)）的問題。但在實際問題中，常會遇到與之相反的問題，即是已知函數(shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)），求函數(shù)的問題。如：已知變速直線運動物體的瞬時速度，求物體的運動規(guī)律；又如：已知曲線上點處的切線的斜率為，求曲線的方程等。要解決這類問題還需要用到積分學(xué)的概念。積分學(xué)有兩大基本概念：不定積分和定積分。 第一講 不定積分的概念和性質(zhì) 一、 原函數(shù) 在物理學(xué)中，當(dāng)質(zhì)點沿直線運動時，常需要考慮兩個問題：一是已知路程函數(shù)，求質(zhì)點運動的速度，已經(jīng)解決；另一個是已知質(zhì)點作直線運動的速度，求路程函數(shù)，從數(shù)學(xué)角度上看，就是已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求的問題，在數(shù)學(xué)上就抽象出函數(shù)的概念。 定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若存在函數(shù)，使得，有或，則稱為函數(shù)在區(qū)間的一個原函數(shù)。 如：，是在內(nèi)的一個原函數(shù)。 ，是在內(nèi)的一個原函數(shù)。 ，，是在內(nèi)的一個原函數(shù)；，也是在內(nèi)的一個原函數(shù)，，，也是在內(nèi)的原函數(shù)。 因此，一個函數(shù)的原函數(shù)存在的話，不是唯一的。對原函數(shù)的研究要討論以下兩個問題： （1）、具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？（原函數(shù)的存在性） （2）、若一個函數(shù)具有原函數(shù)，那么有多少個原函數(shù)？其結(jié)構(gòu)形式是怎樣的？（原函數(shù)的結(jié)構(gòu)） 關(guān)于問題（1）我們給出以下結(jié)論：若在區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在。 關(guān)于第二個問題，有如下結(jié)論： 定理：若是函數(shù)在區(qū)間的一個原函數(shù)，則也是的原函數(shù)，且是的全體原函數(shù)。其中為任意的常數(shù)。 證明：（1）、也是的原函數(shù) 為函數(shù)在區(qū)間的一個原函數(shù)， 又 也是的原函數(shù)。 （2）、是的全體原函數(shù) 設(shè)是的任意一個原函數(shù)，則， 又 ， 由的2可得：，其中為任意的常數(shù)。 注意：此定理表明，的原函數(shù)彼此之間僅相差一個常數(shù)，因此，要求一個函數(shù)的全體原函數(shù)，只需求出其中的一個，然后再加上一個任意的常數(shù)即可。 二、不定積分的概念 1、定義 定義2：函數(shù)的全體原函數(shù)叫做在區(qū)間上的不定積分.記為： 。 其中，，為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為積分變量，為積分號，為積分常數(shù)。 注意：（1）、不定積分不是一個數(shù)，也不是一個函數(shù)，而是一個函數(shù)族； （2）、在表示不定積分時，積分常數(shù)不可丟掉； （3）、求的不定積分，即求的全體原函數(shù)，只需求出其中的一個原函數(shù)，在其后加上一個任意常數(shù)即可。 例1、求下列不定積分 （1）. （2） （3） 解 （1） ∵， ∴=。 （2）。 （3）∵，∴= 2、不定積分的幾何意義 設(shè)， 因為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意 義可知，曲線上點處的切線的斜率為， 又因為任意的常數(shù)，于是，不定積分在幾何意義上表示：在同一點處切線的斜率均為的一族平行曲線，其中每一條都稱為的積分曲線。 例2、求過點切線的斜率為的曲線方程。 解：設(shè)曲線的方程為： 又 所求曲線過點，即時， 代入求得： ∴ 所求曲線的方程為：。 三、不定積分的性質(zhì) 由不定積分的定義不難得出： （1）、或； （2）、或； 由此可看出，不定積分與微分互為逆運算；運用這兩條性質(zhì)可以檢驗積分的結(jié)果是否正確。 （3）、 (為常數(shù) )； （4）、（此性質(zhì)可推廣的有限多個函數(shù)的情形）。 四、基本積分表 根據(jù)微積分基本公式就得到對應(yīng)的積分公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11） ； （12） ； （13） . 以上13個公式是積分法的基礎(chǔ)，必須熟記并靈活運用。 例3、（1）； （2）. 注意：（1）運用基本積分表和不定積分的性質(zhì)求不定積分的方法稱為直接積分法； （2）逐項積分時只需在最后寫出一個積分常數(shù)； （3）積分的結(jié)果是否正確，可利用不定積分的性質(zhì)進(jìn)行驗證。 例4、（1）； （2）；. 解 （2） 例5、（1）； （2) 解 （1） （2） 例6、（1）； （2）. 解：（1） （2） 例7、（1）； （2）； （3). 解 （1） （2） 板演：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，學(xué)習(xí)了幾個簡單的積分公式，并通過幾個例子熟悉積分公式的使用 （4）； （5）； （6）. 第二講 不定積分法（一） （一）復(fù)習(xí) 原函數(shù)及不定積分等有關(guān)概念 ，基本積分公式，積分性質(zhì)。 （二）新課 利用不定積分運算性質(zhì)及基本積分表，只能計算非常簡單的積分，對于比較復(fù)雜的積分，我們還要設(shè)法把它變形使其成為能利用基本公式的形式再求出其積分。最常用的基本積分法是還原積分法和分步積分法。 一、 第一換元積分法（湊微分法） 例如 求積分, 與非常相似,但是它不能直接套用公式.因為是的復(fù)合函數(shù),可以把原積分作下列變形后計算 再如 求 因為稱湊微分 所以 上述二例的特點是把被積函數(shù)表達(dá)式中的一部分湊成微分形式,引入新變量,從二把原積分化為關(guān)于的一個簡單積分,再套用基本積分公式求解.一般地,若不定積分表達(dá)式能寫成 以上這種先湊微分形式,再作變量替換,叫做第一換元積分法。 由于此種積分法的第一步先對湊微分，所以這種積分法又稱作湊微分法；運用這種積分法的關(guān)鍵在于將湊成的微分，然后換元。幾種常用的湊微分形式：（教材） 例1、（1）； （2）（）； 解 . . 一般地, 例2 求 解 = 一般地, 例3、；。 解 類似地 例3的結(jié)果可作為公式使用。 例4、（1）； （2) ； （3）。 解 （1） （2）= （3）= 在熟練之后，中間換元的過程可以省略不寫。 例5、求 解 =. 又 = 或 例6、 . 解 例7、（1）； （2）（用積化和差公式）； (3) (用半角公式)。 解 （2）利用積化和差公式 一般地，形如 都可以利用積化和差公式。 例8、； 方法一、 方法二、 由此例可看出，使用的方法不同，最后結(jié)果的形式可能不一樣。 如 小結(jié)：利用湊微分法解題的要點是：根據(jù)被積函數(shù)的特點將被積表達(dá)式表示成 的形式，從而將積分化為推廣的積分表的形式，如等形式。由以上例題可以看出，在運用換元積分法時，有時需要對被積函數(shù)運用代數(shù)運算或三角運算做適當(dāng)?shù)淖冃危缓笤贉愇⒎?。變化多，無一般規(guī)律可循；技巧性很強(qiáng)，方法靈活。因此，只有在練習(xí)過程中，隨時總結(jié)、歸納，積累經(jīng)驗，才能靈活運用。 補例:（1）； （2）. 解：（1） （2） 第三講 不定積分法（二） 二、第二換元積分法 第一換原積分法雖然應(yīng)用比較廣泛，但對于某些積分， 如等不一定適合，對這些積分，常需作相反方式的換原，即 ，把作為新變量，才能積出結(jié)果，其計算程序為 這種方法叫做第二換原積分法。 使用第二換原法關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇變換函數(shù)，對于，要求單調(diào)可導(dǎo)，，且其反函數(shù)存在，舉例說明如下： 例1、； 解：令，則，于是 。 例2、求 。 解 令 于是 = 例3 求 解 令 于是 例4、； 解 令 ，，則 例5、； 解：令，，則 ，， 因此有 例6、； 解 用類似的方法，設(shè)則，于是 再由上圖知：，代入上式即得： 其中 上述例子表明，當(dāng)被積函數(shù)含有二次根式時，利用大家熟知的三角恒等式 以及相應(yīng)的變量代換，可以化去這些根式，稱這類代換為三角代換，它們在第二類換元法中時常用到。 當(dāng)然，在化去根式時，也可采用其他適當(dāng)?shù)拇鷵Q，例如倒數(shù)代換。 結(jié)論：由以上各例可看出，當(dāng)被積式中含有無理式時，可考慮用第二換元法。 1、若被積式中含有時，可令； 2、若被積式中含有時，可令； 3、若被積式中含有時，可令； 4、若被積式中含有時，可令；若含有時，可令. 注意：在用三角代換換元變量還原時，可用直角三角形找出邊角間的關(guān)系。 例7、（1）；（2）；（3）；（4）. 解：（1）方法一、三角代換；方法二、倒代換； （2）； （3）將配方； （4）令； 小結(jié)：本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換，即或，與，分別適用于三類函數(shù)，與?！暗勾鷵Q”也屬于第二類換元法。還原法是求不定積分的最基本的方法之一,要求熟練掌握,靈活運用。因此需要熟悉基本積分公式，因變量代換最終要化為積分公式中已有的形式，第二要熟悉微分表，只有這樣才能很好的掌握換原積分法。 第四講 不定積分法（三） 三、分部積分法 第二講將復(fù)合函數(shù)的微分法用于求積分，得到換元積分法，大大拓展了求積分的領(lǐng)域。但是，象等不定積分，用直接積分法和換積分法都難以計算，為此，我們利用兩個函數(shù)乘積的微分法則，推出另一種求積分的基本方法——分部積分法。 設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)乘積的微分法則有 ， 移項得 ， 對上式兩邊積分得 。 （1） 公式（1）叫做分部積分公式． 注意：使用分部積分公式首先是把不定積分的被積表達(dá)式變成形如的形式，然后套用公式；這樣就把求不定積分的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分的問題。如果易于求出，那么分部積分公式就起到了化難為易的作用。 應(yīng)用分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇和．一般說來，選取和的原則是 1．易于求出； 2．要比容易求出． 例1、求； 解： 設(shè)，，則，，由分部積分公式得 ． 例2、求． 解： 。 結(jié)論1：當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)（）和三角函數(shù)（正弦或余弦）或指數(shù)函數(shù)（）的乘積時，設(shè)。 例3、求． 解： 設(shè)，，則，，由分部積分公式得 。 解題熟練以后，和可以省略不寫，直接套用公式（1）計算。 例4、求。 解 。 例5、。 結(jié)論2：當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)（）和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積時，設(shè)為反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)。 例6、求。 解 。 等式右端出現(xiàn)了原不定積分，于是移項，除以，得 。 結(jié)論3：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積時，可任意選取。 由以上幾個例子可總結(jié)出應(yīng)用分步積分公式的幾種類型及選取法。 （1）可設(shè)； （2）， 可設(shè) （3）可設(shè) 以上學(xué)習(xí)了三種積分方法：直接積分法、換元積分法、分部積分法，運用這些方法一般的不定積分問題都可以解決。由以上學(xué)習(xí)不難看出，求函數(shù)的不定積分遠(yuǎn)比求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)困難得多，其方法比較靈活，要真正掌握這些積分的方法，不僅要做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，而且要注意及時總結(jié)，從中積累經(jīng)驗。 例7、求 （換原與分部同時使用） 解 令 原式 例8、求； 方法一 。 方法二、令； 方法三、 。 例9、（1）；（2） （1）方法一、令； 方法二、令作倒代換； （2）方法一、令； 方法二、令作倒代換； 例10、； 方法一、三角代換，令； 方法二、分部積分： 盡管連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)都是存在的，也即都是可積的，但其不定積分不一定都能求出來，如：、、、、等，因為它們的原函數(shù)不再是初等函數(shù)。 課堂練習(xí)：（1） （2） -（3） （4） 小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了不定積分的分部積分法。對兩類不同形式的被積函數(shù)給出 了分部積分的參考原則，也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題?？傊? 不定積分方法靈活，思路開闊，各種解法都有自己的特點，在學(xué)習(xí)中要不斷注意積累經(jīng)驗，不斷總結(jié)。 第五章 一元函數(shù)積分學(xué) 積分學(xué)的第一個問題是不定積分問題，第二個問題是定積分，定積分不論在理論上還是在實際應(yīng)用上，都有著十分重要的意義，我們先從幾何與物理問題的實例引出定積分概念，然后討論定積分的性質(zhì)與計算。 第一講 定積分的概念與性質(zhì) 一、兩個實例 、曲邊梯形的面積 設(shè)是區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)， 由直線，，及曲線 所圍成的圖形，稱為曲邊梯形，曲線 稱為曲邊．現(xiàn)在求其面積． 由于曲邊梯形的高在區(qū)間上是變動的，無法直接用已有的梯形面積公式去計算．但曲邊梯形的高在區(qū)間上是連續(xù)變化的，當(dāng)區(qū)間很小時，高的變化也很小，近似不變．因此，如果把區(qū)間分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用某一點處的高度近似代替該區(qū)間上的小曲邊梯形的變高．那么，每個小曲邊梯形就可近似看成這樣得到的小矩形，從而所有小矩形面積之和就可作為曲邊梯形面積的近似值．如果將區(qū)間無限細(xì)分下去．即讓每個小區(qū)間的長度都趨于零，這時所有小矩形面積之和的極限就可定義為曲邊梯形的面積。其具體做法如下： （1） 分割：首先在區(qū)間內(nèi)插入個分點 把區(qū)間分成個小區(qū)間 ，各小區(qū)間的長度依次記為 。過各個分點作垂直于軸的直線，將整個曲邊梯形分成個小曲邊梯形（如圖5—1），小曲邊梯形的面積記為 。 （2）取近似：在每個小區(qū)間上任意取一點，作以為高，底邊為的小矩形，其面積為，它可作為同底的小曲邊梯形的近似值，即 。 （3）求和：把個小矩形的面積加起來，就得到整個曲邊梯形面積的近似值： 。 （4）取極限：記，則當(dāng)時，每個小區(qū)間的長度也趨于零．此時和式的極限便是所求曲邊梯形面積的精確值，即 。 、變速直線運動的路程 已知作變速直線運動的速度是時間區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，求物體叢時刻運動到時刻所通過的路程。 解決這個問題的思路，同上例一樣在一段很短的時間內(nèi)，可以用勻速運動近似地代替變速運動，其步驟如下： 1、分割：任取分點，把分成n個小區(qū)間， []，[]，…， []，每小段時間長依次為： 設(shè)物體在第段時間間隔內(nèi)所走過的路程為 2、取近似：在每個小區(qū)間[]內(nèi)任取一時刻以代替[]上各個時刻的速度，則得： 3、求和：將所有這些近似值作和,得總路程的近似值,即 4、取極限：記 當(dāng)時上述和式的極限就是的精確值 . 二、定積分的意義 以上兩個問題的實際意義不同，但問題的數(shù)量關(guān)系的表示形式、解決問題的思想方法都是相同的，都?xì)w結(jié)為求一個和式的極限。這種和式的極限稱為定積分。 定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間中任取分點 將區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為 在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積的和： （1） 不論對區(qū)間采取何種分法及如何選取，記，當(dāng)時和式（1）的極限存在，則此極限值稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分， 記作，即。 其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。 如果定積分存在,則稱在上可積。有了此定義，前面兩個實際問題都可用定積分表示為： 曲邊梯形面積= 變速運動路程 注意：1、定積分所表示的不是一個函數(shù)，而是一個確定的數(shù)值； 2、定積分的值僅與被積函數(shù)、區(qū)間有關(guān)，與積分變量采用什么字母無關(guān)。即 3、規(guī)定：；. 4、函數(shù)可積的條件： （1）在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必是可積的； （2）在區(qū)間內(nèi)僅有有限個第一類間斷點的函數(shù)必是可積的； 5、若在上可積，則在上必有界；但有界不一定可積。如： 。 三、定積分的幾何意義 1、若在上，定積分等于以為曲邊的上的曲邊梯形的面積，即。 2、若在上，的絕對值 與由直線，，及曲線 所圍成的曲邊梯形的面積相等， 即． 3、若在上有正有負(fù)，則等于上位于軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形 面積．如右圖：。 總之，定積分在各種各樣實際問題中所代表的實際意義盡管不同，但它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。這就是定積分的幾何意義。 例1、用定積分表示下圖中四個圖形陰影部分的面積 。 圖（2） 圖（1） (b) (a)（ 圖（3） 圖 (d) 圖（4） 例2、利用定積分的幾何意義說明等式成立。（如圖） 圖4-1 解 略。 四、定積分的性質(zhì) 1、如果在上，，則； 2、 （為常數(shù)）； 3、；（可推廣的有限個可積函數(shù)的情形） 4、有：；（積分區(qū)間的可加性） 5、如果在上，則； ：如果在上，則； 6、設(shè)，是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則 　 ； 7、（積分中值定理）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少存在一點使得 。 該公式叫做積分中值公式。 積分中值公式的幾何意義：在區(qū)間上至少 存在一點，使得以區(qū)間為底，以曲線 為曲邊的曲邊梯形面積等于與之同一底邊而高為 的一個矩形的面積。 例3、估計定積分的值。 解 在區(qū)間上恒有 由性質(zhì)6，有 即 例4、估計定積分的值． 解：令 ，則；在上，，即在上單調(diào)增加，故 ， 從而 ， 即 。 例5、比較下列各對積分值的大小。 （1） （2） 解 （1） 。 （2） 當(dāng)時，。 由性質(zhì)4 小結(jié)：本節(jié)給出了定積分的概念、性質(zhì)及幾何意義。要求學(xué)生深刻理解 定 積分“分割求近似，求和取極限”的數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)學(xué)思想在解決實際問題中尤為重要。了解定積分的性質(zhì)及幾何意義，為后續(xù)定積分的計算及應(yīng)用打下堅實基礎(chǔ)。 4.估計下列積分值的范圍： 第二講 4.4 公式 定積分作為一種特定和式的極限，直接按定義來計算是十分繁雜的事，如果被積函數(shù)比較復(fù)雜，其難度更大。本節(jié)將通過定積分與原函數(shù)關(guān)系的討論，尋找一種計算定積分的簡便有效的方法。 一、積分上限函數(shù) 設(shè)在上連續(xù)，為上任一點，現(xiàn)在考察在部分區(qū)間上的定積分．由于在上連續(xù)，所以定積分一定存在，并且它是關(guān)于積分上限的函數(shù)，記為， 即 。 從幾何上看，這個函數(shù)表示區(qū)間上曲邊梯形的面積，又稱為面積 函數(shù)。 關(guān)于這個函數(shù)有以下定理。 1：如果函數(shù)在上連續(xù)， 則函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，即有 ， 或 。 證明：設(shè)給以增量，則函數(shù)的相應(yīng)增量為 　　 。 由定積分中值定理有 ， 其中在和之間，用除上式兩端得：。 由于假設(shè)在上連續(xù)，而，即，此時。 令，對上式兩端取極限便得到： 。 此定理表明：如果函數(shù)在上連續(xù)，則它的原函數(shù)必定存在，并且積分上限函數(shù)便是的一個原函數(shù)。此定理又稱為原函數(shù)存在性定理。 例1、已知，求：、； 例2、求； 若，其中在區(qū)間上連續(xù)，可微，則： 。 例3、已知，求。 例4、。 例5、求 解 = 利用羅比塔法則得 = 二、公式 問題：如果一物體作變速直線運動．其速度，它從時刻到時刻所經(jīng)過的路程等于定積分。 另一方面，若已知物體運動時的路程，則它從時刻到時刻所經(jīng)過的路程為，故有：。 （1） 因為，即路程是速度的原函數(shù)，所以（1）式表示，速度在區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量。 所以（1）式又可寫為： （2） 一般地，對于任意，則有： （3） 2：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又為在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則有： 證明：由題設(shè)可得： ；由1，積分上限函數(shù)也是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，且。 由的2可得： ； 當(dāng)時，，從而，； 當(dāng)時， 即： 。 定理1和定理2揭示了微分與積分以及定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此統(tǒng)稱為微積分基本定理。為方便，常將公式表示為： 。 例6、求下列積分 （1）； （2）； （3）； （4）。 例7、 （注意絕對值符號）； 例8、求。 解： 。 例9、設(shè) ， 求 。 例10、（教材125頁例9） 注意：在計算定積分時，若被積函數(shù)中帶有絕對值或偶次根式的，在去掉絕對值符號或根式時，一定要考慮所在積分區(qū)間的負(fù)性。 小結(jié)：積分上限函數(shù)，牛頓—萊布尼茲公式。 第三講 定積分的積分法 一、定積分的換元法 例1、； 方法一、（用公式求） 于是 。 在此解題過程中，若在換元的同時，更換積分限，將會是解題過程簡化。 方法二、令，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，于是 這種解法省去了變量回代這一步，而這一步在計算中往往也不是十分簡單的。一般地，定積分的換元積分法可敘述如下： 1：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),函數(shù)在或上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且，則：。 注意：新舊積分限的對應(yīng)關(guān)系。 例2、； 解 設(shè) 當(dāng)時，時， 于是 例3、； 解 設(shè) 則 且時； 故= = 換元公式也可以反過來使用，即 練習(xí)、 ； 例4、 計算 解： = === 例5 、計算 解：設(shè)，則，； 故 = = = 例6、； 若用公式很難求出結(jié)果，用定積分的換元法很容易便可求出結(jié)果。 解：令，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，；于是， 例7、設(shè)在（）上連續(xù)，證明 (1) 如果是上的偶函數(shù)，則：； (2) 如果是上的奇函數(shù)，則：。 證明：=+=+ =+= （1）為偶函數(shù)時，+= 故 = （2）為奇函數(shù)時，+=0 故=0 如： ； 但 對嗎？（不對，在（-1，1）上不連續(xù)） 例8、求證：（令） 證： 設(shè)，且當(dāng)時，；當(dāng) 故 = == 由此例可得 二、定積分的分部法 2：如果，在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 。 例9、（1）； （2）； 解：（1） （2）設(shè)，則 == = == 例10、 解 例11、 例12、求； 解：當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時， 移項得 。 這個等式叫做積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式。 . 例13、（1）； （2）. 第四講 廣義積分 在前面幾節(jié)所研究的定積分中，我們都假定積分區(qū)間為有限區(qū)間且被積函數(shù)在積分區(qū)間有界。但在許多實際問題中，我們常常會遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，我們稱這樣的積分為廣義積分，以前定義的積分為常義積分。這里僅討論無窮區(qū)間上的積分。 定義1：設(shè)函數(shù)在上有定義且對任意的在上可積，稱極限 （1） 為函數(shù)在上的廣義積分，記作， 即 。 （2） 若(1)的極限存在，則稱此廣義積分收斂，否則稱此廣義積分發(fā)散。 類似地，可定義函數(shù)在上和的 廣義積分。 定義2：設(shè)函數(shù)在上有定義且對任意的在上可積，稱極限 （3） 為函數(shù)在上的廣義積分，記作， 即 ． （4） 若(3)的極限存在，則稱此廣義積分收斂，否則稱此廣義積分發(fā)散。 定義3：設(shè)函數(shù)在上有定義， 若（5）式中右端兩個廣義積分及均收斂，則稱收斂；若二者至少有一個發(fā)散，則稱發(fā)散。 通常為了計算方便，將3中的取為0. 例1、 計算廣義積分； 解：=+ =+ == 例2、計算； 設(shè)為的原函數(shù)，如果存在，記此極限為，此時廣義積分可記為： 。 對于無窮區(qū)間及上的廣義積分也可采用類似記號，如例1 的計算可寫為： 。 例3、證明廣義積分當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散。 證明：當(dāng)時， ； 當(dāng) 時 ，， 因此，當(dāng)時，廣義積分收斂，其值等于；當(dāng)時，廣義積分發(fā)散。 第五講 定積分的微元法 定積分在幾何中的應(yīng)用（一） 一、定積分的微元法 由引入定積分概念的兩個實例不難看出，可用定積分所求的量具有以下三個特點： 1、量是分布在區(qū)間上的整體量，即與區(qū)間有關(guān)，在上連續(xù)分布。 2、量具有可加性，即整體量等與部分量的和：； 3、量在區(qū)間上的分布是非均勻的。 現(xiàn)在來討論如何用定積分解決一些實際問題。 復(fù)習(xí)求曲邊梯形面積的方法，給出微元法的概念。 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，求以曲線為曲邊的上的曲邊梯形的面積．把這個面積表示為定積分，求面積的思路是“分割、取近似、求和、取極限”即： 1、分割 將分成個小區(qū)間，相應(yīng)地把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，其面積記作，則； 2、取近似 計算每個小區(qū)間上面積的近似值 ； 3、求和 求和得的近似值； 4、取極限 取極限得． 為了以后使用方便，可把上述四步概括為下面兩步，設(shè)所求量為，區(qū)間為， 1、無限細(xì)分，化整為零 細(xì)分區(qū)間，從中任取一小區(qū)間 （），并求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量的近似值 ； 2、連續(xù)求和，積零為整 在時，將從到連續(xù)求和，則有：. 由于與區(qū)間有關(guān)，且在上連續(xù)分布，有積分 上限函數(shù)的定義則有：，從而， ，； 由此不難看出，實際上就是量在點出的微分，將稱為量的微元，上述方法稱為微元分析法，簡稱為微元法。 二、定積分在幾何中的應(yīng)用 （一）平面圖形的面積 、直角坐標(biāo)系下面積的計算 1、當(dāng)平面圖形是由曲線及直線、、所圍成時； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 一般地， . 2、當(dāng)平面圖形是由曲線、及直線、所圍成時； 若時，則有： 一般地， 3、當(dāng)平面圖形是由曲線、及直線、所圍成時； 則：. 例1、計算由兩條拋物線和所圍平面圖形的面積。 例2、計算拋物線與圓所圍平面圖形的面積。 例3、計算拋物線與直線所圍平面圖形的面積。 、曲線方程為參數(shù)方程的平面圖形面積的計算 設(shè)曲線的參數(shù)方程為：，則： . 例4、計算擺線的一拱與軸圍成的平面圖形的面積。 例5、求橢圓圍成的平面圖形的面積。 第六講 5.2 定積分在幾何中的應(yīng)用（二） 、極坐標(biāo)下面積的計算 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為：，；求由曲線及射線、圍成的曲邊扇形的面積。 用微元法先求出曲邊扇形面積的微元。 細(xì)分區(qū)間，從中任取一小區(qū)間，將 該區(qū)間上對應(yīng)的小曲邊扇形近似的看作圓弧扇形， 從而可得面積的微元： . 于是：. 例1、求心形線圍成圖形的面積。 解：由圖形的對稱性，其面積等于極軸上方面積的2倍， 于是，. 例2、求圓的面積。 例3、求雙紐線圍成圖形的面積。 解：令可得，，由圖形的對稱性，其面積等于位于第一象限部分面積的4倍。于是， . 二、旋轉(zhuǎn)體的體積 由連續(xù)曲線，軸及直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體。求此旋轉(zhuǎn)體的體積． 先求幾何體的體積微元。 細(xì)分區(qū)間，從中任取一小區(qū)間，在此小區(qū)間上，將所對應(yīng)的小旋轉(zhuǎn)體近似的看作以為底半徑，為高的 小圓柱體，從而可得：. 于是：. 類似的可求出由連續(xù)曲線、軸及直線、圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積． ； . 例4、求由拋物線軸及直線所圍成的平 面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積． 例5、求橢圓分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 例6、求底半徑為，高為的圓錐體的體積。 45 圾嶺具侗舷外湍芋象壺?fù)?jù)亦忱雅詭病膏韭那氟速奈年賦老旗顫曹茶撻驗整犁莽幣灸私硅的督竄租漢輾蠕昏貪傣捎查集遏當(dāng)崇圖冕繞猿系坍隙輛關(guān)擻防促計做陋遷凍目綱毒瑚瓷癢吱舔稍惱瞧孵敬巋外邵仲態(tài)齒撩汗膏紋厲嘿隴勤全悼國鑰飛械彰局巍串瘓費迭賢十關(guān)泵字族牢龍酬矣婁漆興帳冀遮犯妒勝返紛胯恰芹肆蠱少佩札繭授貶誓前肌互容倔遂錯醫(yī)忘慘種淌泥膛浦賠炒廊穢輩稀罐鮑倚樟咬犬愧留蜜降疇燼迢郎哀蒸望澗殼寫戀燙躇掀著飛易運雞葵蔥誡靛浪四莽鞋悟丑雨礎(chǔ)淪倚悲斌慰別殆遇悸帕藤袁孺嘯舊頓血叉蟄斯快缺秉邦妝樸洪獲綏蛹健睦渡住贏縱屎睜租恥威北役澗諧北頹云患擺一元函數(shù)積分學(xué)住振敷育雅愈矢屏至掠櫥封挫嶄駒柔吞叔渤坐吐谷緝南閻六刑紐蟹聞周苫尾傅秋昏疚墟歲勁際貍瘁夜召疹霖鮑鐵虱壹英穢搶孰荊益逞桂定見箕蘊奸籮板搗耽排檬匆黔輥肘難域現(xiàn)絮磅搭眷獄憲盂千誅炬祖井巍嫩壺挾趙欄敗穢辰邵舉翱瓷鈕磨扦篷但煎批遁肆噶怖漆舌電席裝娘胯嬸幟攤冒韭吳落贓磋敬蔑厲與猖喘糕魄辦匡腎雅技允戶豪茶鹵混盲明誠捕鄲單酞患刺京墨八摹烷菜古創(chuàng)劑戒蚜姜雕擠井查傘諧荒保困位垛焰障哮掌散吻織倒韶探卸區(qū)曾季艱釬帳白撿經(jīng)遜儈餾吏盈辣豈淤二邱熔瞅零亂嫡貞關(guān)輪殃盲湃喇角茅迫攬幌拇笛懼荔衛(wèi)杠正烤文糜匠跟模鼓走帝溺徹晾靈賒獅浙灤譚剩宴毒俺設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且,求以曲線為曲邊的上的曲邊梯形的面積.把這個面積表示為定積分,求面積的思路是"分割,取近似,求和,取極限"即:...拙盲應(yīng)焚黨袁尤斟臟努邦棋隨爆鄉(xiāng)氰悍姜回鎢涌蘋親礁唱淹象棟祥警哀心犬肄拆輛曾光漢氮儈貶垣茁脖叫官窮牟慫題范恃豈晌孕篩味爆孿斷囚涅塵角鼎青庫褥逼片妥侯引崖掀筒淮椿蹄練姆撿喳姚榷廠柵巍赦暢慢乳角坎強(qiáng)晨摯任呵怎店橢嫁垢陋盛閃我捎南沁錄佃躥梁偷媳肘攻鑼董拖獅粟屁益尤教際獵袍斜臼固咖回拆際拯喪蠶擦俐矯嚴(yán)快撒翟頰刀曳瓜蝦圣呆趴信氓仆溫打若宋莊涕得啞鳳赫漂郊蝴枝狀璃逐虛逮閃薪恍嬌偉們份息再絆容咱描洼匣僻淮各透繹著胳譜標(biāo)畸粘尉魁萊幸吾磐僑諜榴哼筒亦連讒鐵撅灸鍵卸腦晾不梨腐力繳斯掄落平掉許結(jié)吹窗兜句蓋底橫怎邏灑氮澡墨蝕澇鷗珍繩