柴俊-丁大公-陳咸平--等-編-科學出版社-華東師范大學-高等數學作業(yè)集-答案Ch-11-Infinite-series
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第11章 無窮級數 參考解答 1、根據級數收斂與發(fā)散的定義判別下列級數的斂散性: (1) 解:,故原級數收斂。 (2) 解:,故原級數發(fā)散。 2、用比較審斂法判別下列級數的斂散性: (1) 解:,而級數收斂,故原級數收斂。 (2) 解:,而級數發(fā)散,故原級數發(fā)散。 (3) 解:,而級數收斂,故原級數收斂。 (4) 解:,而級數收斂,故原級數收斂。 (利用極限,或) (5) 解:,而級數發(fā)散,故原級數發(fā)散。 3、用比值審斂法判別下列級數的斂散性: (1) 解:,故原級數收斂。 (2) 解:,故原級數發(fā)散。 (3) 解:,故原級數收斂。 (4) 解:,故原級數收斂。(利用極限) 4、用根值審斂法判別下列級數的斂散性: (1) 解:,故原級數收斂。 (2) 解:,故原級數收斂。 (3) 解:,故原級數收斂。 5、判別下列級數是否收斂,若收斂,是絕對收斂還是條件收斂: (1) 解:,且,故原級數為Leibniz型交錯級數。但因,而發(fā)散,故發(fā)散。因此,原級數條件收斂。 (2) 解:,,且,故原級數為Leibniz型交錯級數。但因,而收斂,故收斂。因此,原級數絕對收斂。 (3)(即) 解:,且,故原級數為Leibniz型交錯級數。但因發(fā)散,故原級數條件收斂。 (4) 解:考察函數,因時, ,故函數在上單調下降。由此可知,當時,,且易知,故原級數為Leibniz型交錯級數。但因,而發(fā)散,故發(fā)散。因此,原級數條件收斂。 6、求下列冪級數的收斂區(qū)間: (1) 解:,故得。時,級數為;時,級數為,上述級數均收斂,故原冪級數的收斂區(qū)間為。 (2) 解:,故得。時,級數為,此系Leibniz型交錯級數;時,級數為,此系調和級數。故原冪級數的收斂區(qū)間為。 (3) 解:原冪級數即為,此為缺項冪級數。因 , 故由,得。時,級數均成為,發(fā)散。故原冪級數的收斂區(qū)間為。 (4) 解:,故得。時,級數為,發(fā)散;時,級數為,系Leibniz型交錯級數。故原冪級數的收斂區(qū)間為。 (5) 解:,故得,原冪級數的收斂區(qū)間為。 7、利用逐項求導或逐項積分求下列冪級數的和函數: (1) 解:,故得。時,相應的級數均發(fā)散(一般項不趨于零)。故冪級數的收斂區(qū)間為。設,則 , 故得,。 (2) 解:,故得。時,相應的級數均發(fā)散。故冪級數的收斂區(qū)間為。 設,則當時,有。當時, , 但,故得,于是得 ,。 因此,所求冪級數之和函數為 (3) 解:,故得。時,相應的級數為,因,而發(fā)散,故發(fā)散。時,相應的級數為,為Leibniz型交錯級數。故冪級數的收斂區(qū)間為。 設,則當時,有。當時, 其中,。因 , 故得 , 于是 因此,所求冪級數之和函數為 8、將下列函數展開成x的冪級數,并求展開式成立的區(qū)間: (1) () (2) () (3) () (4) () (5) () (6) 解:設,則 () () () (7) 解:, (8) 解:, 9、將下列函數展開成的冪級數,并求展開式成立的區(qū)間: (1) (2) () 10、求級數的和。 解:先求冪級數的和函數。易知其收斂區(qū)間為。設 則 當時, 其中,。因 , 故得 , 于是 所求級數的和即為。 11、設,試將展成x的冪級數,并求級數之和。 解:當時, 因,故得。 12-13、略。 14、設,,其中(),求 解:因為所給Fourier級數為余弦級數,故先將偶延拓到上,即 然后將延拓成這個實數軸上的以2為周期的函數。于是,根據Dirichlet收斂條件,得 注:周期的大小可從公式看出。 15-16、略。(第15題課上已介紹) 17、判別下列級數之斂散性: (1) 解: 因(Taylor公式) ,故所求極限為1,故原級數收斂。 (2) 解:1 ,但級數收斂,故原級數收斂。 2 ,但級數發(fā)散,故原級數發(fā)散。 18、設收斂,且,證明收斂。 證明: 因收斂,故部分和數列收斂,即存在;又,故 因此,極限存在,從而知收斂。 19、設在點的某一鄰域內具有二階連續(xù)導數,且,證明級數絕對收斂。 證明:因,在點連續(xù),故知。于是 故由Taylor公式, (其中), 從而得。于是, , 但級數收斂,故原級數絕對收斂。 20、設冪級數的收斂半徑為3,求冪級數的收斂區(qū)間。 解: 故所求收斂區(qū)間為。 21、將函數展成x的冪級數,并指明收斂域,利用展開式求級數的和。 解:, 另一方面,,故得 令,得,從而得 。 22、設,試將它展開成以2為周期的Fourier級數,并用它來求。 解:, , , 故所求Fourier級數為 令,得,即,故得。 如有錯誤,敬請指正;如有疑問,歡迎討論! 15- 配套講稿:
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