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河北孟村回民中學高一數學導學綱 編號 班級 姓名 年級 高一 作者 溫靜 時間 課題 2.4平面向量的數量積 課型 新授 【課程標準】1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義； 2.了解并掌握平面向量數量積的重要性質及運算律； 【重點】重點是數量積的定義、幾何意義及運算律，. 【難點】難點是夾角公式和求模公式的應用. 【導學流程】 一、了解感知： （一）知識鏈接：1、向量加法和減法運算的法則_________________________________. 2、向量數乘運算的定義是 . 3、兩個非零向量夾角的概念：_________________________________. 思考：通過前面的學習我們知道向量的運算有向量的加法、減法、數乘，那么向量與向量能否“相乘”呢？ （二）自主探究：（預習教材P103-P106） 探究1：如下圖，如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功= ，其中是 . 請完成下列填空： F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量； 結論：功是一個標量，功是力與位移兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積 啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個向量的一種運算的結果呢？ 新知1向量的數量積（或內積）的定義 已知兩個非零向量和，我們把數量叫做和的數量積（或內積），記作，即 注：①記法“”中間的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數量積為零，即。 探究2：向量的數量積運算與向量數乘運算的結果有什么不同？影響數量積大小因素有哪些？ 小組討論，完成下表： 的范圍 0≤<90 =90 0<≤180 的符號 新知2：向量的數量積（或內積）幾何意義 （1）向量投影的概念：如圖，我們把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 說明：如圖，. 向量投影也是一個數量，不是向量； 當為銳角時投影為_______值；當為鈍角時投影為_______值； 當當q = 0時投影為 ________；當q＝９０時投影為__________； 當q = 180時投影為__________. （2）向量的數量積的幾何意義：數量積等于的長度︱︱與在的方向上的投影 的乘積。 新知3：由定義得到的數量積的結論 設和都是非零向量，是與的夾角，則 (1)當與垂直時，，即 ；（向量垂直的條件） (2)當與同向時，，= ；當與反向時，，= ； 特別的當，即= ，則 ；（向量的求模公式） (3)（向量的夾角公式） (4）因為，所以 . 二、深入學習 1.已知，，和的夾角為，則=__________ 2.（2010江西） 已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是 ； 3.設，，，則與的夾角為（ ） A. B. C. D. 三、遷移運用 1.已知正方形的邊長為2，為的中點，則 變式練習（1）、在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，，則= . （2）、已知正方形的邊長為，點是邊上的動點，則的值為_______. 四、達標檢測 1.在平行四邊形中，，，，則為（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 已知，，，當時，為（ ） A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形 3.若四邊形滿足，且，則四邊形是（ ）. A.平行四邊形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 4. 已知，，且，則向量在向量的方向上的投影為 . ★5判斷下列命題的真假，并說明理由. （1）、為直角三角形，則. （2）、中，若，則是鈍角三角形；若，結論還成立嗎？ （3）、中，若，則是銳角三角形； ★7.已知 ★★8．（2013全國新課標）已知兩個單位向量 的夾角為， 河北孟村回民中學高一數學導學綱 編號 班級 姓名 年級 高一 作者 溫靜 時間 課題 2.4平面向量的數量積 課型 新授 【課程標準】1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義； 2.了解并掌握平面向量數量積的重要性質及運算律； 【重點】重點是數量積的定義、幾何意義及運算律，. 【難點】難點是夾角公式和求模公式的應用. 【導學流程】 一、了解感知： （一）知識鏈接： 1向量的數量積（或內積）的定義 2. 向量在方向上的投影 ； 3：向量的數量積（或內積）幾何意義 （二）自主探究： 新知4：數量積的運算律 (1)________; (2)___________=____________; (3) _______________. 二、深入學習 變式練習： 1、 2、 變式練習： （2011新課標）已知為兩個不共線的單位向量，為實數，若向量與向量垂直，則=___________. 三、遷移運用 1、在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，，則= . 2、已知正方形的邊長為，點是邊上的動點，則的值為_______. 四、達標檢測 1.在平行四邊形中，，，，則為（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 已知，，，當時，為（ ） A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形 3.若四邊形滿足，且，則四邊形是（ ）. A.平行四邊形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 4. 已知，，且，則向量在向量的方向上的投影為 . ★5判斷下列命題的真假，并說明理由. （1）、為直角三角形，則. （2）、中，若，則是鈍角三角形；若，結論還成立嗎？ （3）、中，若，則是銳角三角形； ★7.已知 ★★8．（2013全國新課標）已知兩個單位向量 的夾角為， 河北孟村回民中學高一數學導學綱 編號 班級 姓名 年級 高一 作者 溫靜 時間 課題 2.4平面向量的數量積 課型 新授 【課程標準】1. 熟練掌握向量垂直的兩種形式的等價條件； 2. 理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性. 【重點】1. 掌握平面向量數量積的坐標表示方法及其變式（夾角公式）； 2. 理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性. 【難點】1. 掌握平面向量數量積的坐標表示方法及其變式（夾角公式）； 2、熟練掌握向量垂直的兩種形式的等價條件； 【導學流程】 一、了解感知： （一）知識鏈接： 1、向量數量積的運算律： ⑴向量數量積的交換律：　　　　　　　　.　　　?、疲健　　　。健　　　? ⑶向量的數量積的分配律： 　　　　　　　　.　　　　　　　　　 ⑷＝　　　　　　　　　. 　　　　　　　. （二）自主探究： 探究1：平面向量數量積的坐標表示 已知兩個非零向量，怎樣用與的坐標表示呢？ 思考1：設、是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若兩個非零向量＝(), ＝()，則向量與用、分別如何表示？ 思考2：對于上述向量、，則 2 = ， 2 = ， = 根據數量積的運算性質， = 新知1：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即. 探究1：由平面向量數量積的坐標表示可以得到哪些結論呢？ 思考1：設向量＝()，利用數量積的坐標表示，︱︱= 思考2：如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(), ()，那么向量的坐標如何表示？︱︱= 思考3：設向量＝(), ＝()，若⊥，則，之間的關系如何？ 反之成立嗎？ 思考4：設、是兩個非零向量，其夾角為θ，若＝(), ＝()，那么 cosθ如何用坐標表示？ 新知2： ⑴若，則，或. ⑵若，，則，則. ⑶若，則. ⑷兩個非零向量是與的夾角， 則 二、深入學習 例1、（1）已知，求，及之間夾角余弦值. （2） 已知，求，，， 變式：在△ABC中，=(1, 1)，=(2, k)，且△ABC的一個內角為直角，求k值。 小結：向量的數量積是否為零，是判斷相應的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一. 例3、 已知，，若，試求的值. 三、遷移運用 1. 已知，，則等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，，則與夾角的余弦為（ ） A. B. C. D. 3. 若，，則等于（ ） A. B. C. D. 4. ，，則= . 5. 已知向量，，若，則 . 四、當堂檢測 1、若=(－3，4)，=(5，2)，則＝（ ） A.23 B.7 C. －23 D. －7 2、若=(－3，4)，=(5，12)，則與夾角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 1. 已知，，，且，，求⑴；⑵、的夾角. 4、已知平面向量＝(1，－3), ＝(4，－2)，若+與垂直，= ； 1. 已知點和，問能否在軸上找到一點，使，若不能，說 明理由；若能，求點坐標. 3、已知，，，按下列條件求實數的值 （1）； （2）； 4、已知四點，，，求證：四邊形是直角梯形. 5、已知，且與的夾角是鈍角，求的取值范圍。