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《高等數(shù)學》授課教案 第一講 高等數(shù)學學習介紹、函數(shù) 教學目的：了解新數(shù)學認識觀，掌握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復合函 數(shù)的分解。 重 難 點：數(shù)學新認識，基本初等函數(shù)，復合函數(shù) 教學程序：數(shù)學的新認識—>函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）—>基本初等函數(shù)—>復合函數(shù)—>初等函數(shù)—>例子（定義域、函數(shù)的分解與復合、分段函數(shù)的圖像） 授課提要： 前 言：本講首先是《高等數(shù)學》的學習介紹，其次是對中學學過的函數(shù)進行復習總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關系的數(shù)學模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映。高等數(shù)學主要以函數(shù)作為研究對象，因此必須對函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、為什么要重視數(shù)學學習 （1）文化基礎——數(shù)學是一種文化，它的準確性、嚴格性、應用廣泛性，是現(xiàn)代社會文明的重要思維特征，是促進社會物質(zhì)文明和精神文明的重要力量； （2）開發(fā)大腦——數(shù)學是思維訓練的體操，對于訓練和開發(fā)我們的大腦（左腦）有全面的作用； （3）知識技術——數(shù)學知識是學習自然科學和社會科學的基礎，是我們生活和工作的一種能力和技術； （4）智慧開發(fā)——數(shù)學學習的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)發(fā)展的動力。 2、對數(shù)學的新認識 （1）新數(shù)學觀——數(shù)學是一門特殊的科學，它為自然科學和社會科學提供思想和方法，是推動人類進步的重要力量； （2）新數(shù)學教育觀——數(shù)學教育（學習）的目的：數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，培養(yǎng)人的科學文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。 （3）新數(shù)學素質(zhì)教育觀——數(shù)學教育（學習）的意義：通過“數(shù)學素質(zhì)”而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。[見教材“序言”] 二、函數(shù)概念 1、函數(shù)定義：變量間的一種對應關系（單值對應）。 （用變化的觀點定義函數(shù)），記：（說明表達式的含義） (1)定義域：自變量的取值集合（D）。 (2)值 域：函數(shù)值的集合，即。 例1、求函數(shù)的定義域？ 2、函數(shù)的圖像：設函數(shù)的定義域為D，則點集 就構(gòu)成函數(shù)的圖像。 例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。 3、分段函數(shù)：對自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達式。 例如：符號函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。 分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。 例2、作函數(shù)的圖像？ 例3、求函數(shù) 三、基本初等函數(shù) 熟記：五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。 四、復合函數(shù)：設y=f(u),u=g(x)，且與x對應的u使y=f(u)有意義，則y=f[g(x)]是x的復合函數(shù)，u稱為中間變量。 說 明：(1)并非任意幾個函數(shù)都能構(gòu)成復合函數(shù)。 如：就不能構(gòu)成復合函數(shù)。 (2)復合函數(shù)的定義域：各個復合體定義域的交集。 (3)復合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進行；復合時，則直接代入消去中間變量即可。 例5、設 例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構(gòu)成？ (1) (2) (3) 五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復合、四則運算而成的函數(shù)，且用一個表達式所表示。 說 明：（1）一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但是初等函數(shù)； （2）初等函數(shù)的一般形成方式：復合運算、四則運算。 思考題： 1、 確定一個函數(shù)需要有哪幾個基本要素？ [定義域、對應法則] 2、 思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？ [奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性] 3、任意兩個函數(shù)是否都可以復合成一個復合函數(shù)？你是否可以用例子說明？[不能] 探究題： 圖1—5 時間 一位旅客住在旅館里，圖1—5描述了他的一次行動，請你根據(jù)圖形給縱坐標賦予某一個物理量后，再敘述他的這次行動.你能給圖1—5標上具體的數(shù)值，精確描述這位旅客的這次行動并用一個函數(shù)解析式表達出來嗎？ 小 結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關系的數(shù)學模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。 作 業(yè)：P4（A：2-3）；P7（A：2-3） 課堂練習（初等函數(shù)） 【A組】 1、求下列函數(shù)的定義域？ (1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定下列函數(shù)的奇偶性？ (1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？ (1) (2) (3) 4、分解下列復合函數(shù)？ (1) (2) (3) (4) 【B組】 1、證明函數(shù)為奇函數(shù)。 2、將函數(shù)改寫為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？ 3、設？ 4、設=，求，？ 數(shù)學認識實驗： 初等函數(shù)圖像認識 1、冪函數(shù)：（如） 2、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)：（如） 3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：（） 4、多項式函數(shù)：（） 5、分段函數(shù)：（） 第二講 導數(shù)的概念（一）、極限與導數(shù) 教學目的：復習極限的概念及求法；理解導數(shù)的概念，掌握用定義求導數(shù)方法。 重 難 點：求極限，導數(shù)定義及由定義求導法 教學程序：極限的定義及求法（例）—>導數(shù)的引入（速度問題）—>導數(shù)的概念 —>導數(shù)與極限—>基本初等函數(shù)的導數(shù)（定義法）—>例子（簡單） 授課提要： 前 言：在前面的教學中，我們已討論了變量間的關系(函數(shù))，本節(jié)將復習函數(shù)的變化趨勢(極限)，在此基礎上討論函數(shù)的變化率問題（即函數(shù)的導數(shù)）。導數(shù)是高數(shù)的重點，它的本質(zhì)是極限（比值的極限），在現(xiàn)實中有極豐富的應用。 一、理論基礎——極 限（復習） 1、極限的概念（略講函數(shù)在某點的極限定義） 2、極限的四則運算法則（略） 3、求函數(shù)的極限（幾類函數(shù)的極限） （1）若為多項式，則 例1：求下列極限 (1) (2) (3) （2）若為有理分式且,則（代入法） 例2：求下列極限 (1) (2) (3) （3）若分式,當時，，則用約去零因子法求極限 例3：求下列極限 (1) (2) (3) （4）若分式,當時，分子分母都是無窮大，則適用無窮小分出法求極限。 例4：求下列極限 (1) (2) (3) 3、兩個重要極限 （1） （2） 說明：其中可以是的形式，且當時，。 例5：求下列極限 (1) (2) (3) (4) 二、導數(shù)定義（復習增量的概念） 引例1、速度問題（自由落體運動） 引例2、切線問題（曲線） 以上兩個事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關系來看，都是要求函數(shù)y關于自變量x在某一點處的變化率，即計算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導數(shù)。 解決問題的思路： 1、 自變量x作微小變化Dx，求出函數(shù)在自變量這個小段內(nèi)的平均變化率，作為點處變化率的近似值； 2、 對求Dx0的極限，若它存在，這個極限即為點處變化率的精確值。 定 義：設函數(shù)在點及附近有定義，當在點取得增量時，相應函數(shù)取得增量，若當時，比值的極限存在，則稱此極限值為在處的導數(shù)或微商。記，即 說明：(1)比值是函數(shù)在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數(shù)在點隨自變量變化的快慢程度； (2)若不存在（包括），則稱在點不可導； (3)若在（a,b)內(nèi)每點可導，則稱函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導，記，稱 為導函數(shù)，簡稱導數(shù)。 (4)f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個數(shù)值，f(x)在點處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值。 三、導數(shù)與極限的關系 導數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導數(shù)-有極限，反之不成立。 四、基本初等函數(shù)的導數(shù)（定義） 由定義知求函數(shù)導數(shù)的步驟：（三步驟） （1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。 例6、由定義求函數(shù)的導數(shù)？ 例7、由定義求函數(shù)的導數(shù)？（推導） 思考題： 1、 是否存在，為什么？[0] 2、若曲線= 在處切線斜率等于 3 ，求點的坐標。 3、 已知，利用導數(shù)定義求極限。[0] 探究題：從求變速直線運動物體的瞬間速度問題解決方法中，你對“極限法”有什么體會？ [近似轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學方法] 小 結(jié)：導數(shù)的本質(zhì)從微觀（局部）上研究非均勻量（如：速度、密度、電流、電壓等）的變化率問題，是處理非均勻量的“除法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點看，導數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形態(tài)，即可導函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線（切線），憑著切線的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)（導數(shù)應用中的單調(diào)性、極值等）。 作 業(yè)：P22（A：1-3；B：3-4） 課堂練習（導數(shù)的概念一） 【A組】 1、求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 2、求極限？ 3、求極限：？[] 4、已知，求a的值？ [2] 5、用導數(shù)定義，求函數(shù)在x=1處的導數(shù)？ 6、設物體的運動方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？ (2)求物體在t=2秒時的瞬時速度？ 【B組】 1、設？ [] 2、設函數(shù)？ [2] 3、證明導數(shù)公式： 4、一藥品進入人體t小時的效力，求t=2,3,4時的效力E的變化率？ 5、設 A 。 A、左右導數(shù)都存在 B、左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在 C、右導數(shù)存在，左導數(shù)不存在 D、都不存在 6. 若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。[全部] （1）在點 處可導； （2）在點 處連續(xù)； （3）= ； 數(shù)學認識實驗： 兩個重要極限的圖像認識 1、極限： 2、極限： 3、等價無窮小的直觀認識：（） 第三講 導數(shù)的概念（二） 教學目的：熟悉導數(shù)基本公式；理解導數(shù)的幾何意義，會求切線方程。 重 難 點：基本導數(shù)公式，導數(shù)的幾何意義（求切線方程） 教學程序：復習導數(shù)定義—>基本導數(shù)公式—>例子（求導數(shù)）—>導數(shù)的幾何意 義—>例子（切線方程）—>導數(shù)的物理意義（例子） 授課提要： 一、基本初等函數(shù)的導數(shù) 例1、求的導數(shù)？（由導數(shù)的定義推導） 于是我們有公式： 同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導數(shù)公式： 二、導數(shù)的運算法則（u,v為可導函數(shù)） 1、代數(shù)和： 2、數(shù) 乘： 例2、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 例3、求函數(shù)在給定點的導數(shù)值？ (1) (2) 三、導數(shù)的幾何意義（作圖說明） 結(jié)論：表示曲線y=f(x)在點（x0,f(x0)）的切線斜率。 例4、求曲線在點(1,0)處的切線方程？ 例5、設f(x)為可導函數(shù)，且，求曲線y=f(x)在點（1,f(1)）處的切線斜率？ [導數(shù)定義及幾何意義] 四、導數(shù)的物理意義 結(jié)論：設物體運動方程為，則表示物體在時刻t的瞬間速度。 例6、設物體的運動方程為，求物體在時刻t=1時的速度？ 例7、求曲線上一點，使過該點的切線平行于直線 。[] 例8、設某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關系：(x為產(chǎn)量)，求x=2時的邊際成本，并說明其經(jīng)濟意義。 思考題： 與有無區(qū)別？[，] 探究題：導數(shù)的值可不可以為負值？舉例說明。[可以] 小 結(jié)：導數(shù)的美學意義：局部線性之美（）。它將可導曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。 作 業(yè)：P25（A：1）；P28（A：1，3） 課堂練習（導數(shù)概念二） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 3、求函數(shù)在x=1處的導數(shù)值？ 4、設 5、設物體的運動方程為，求時刻t=3時的速度？ 6、 拋物線 = 在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程. 【B組】 1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為，問其初速度為多少？何時開始向下滾動？ 2、已知曲線與相交于點（1，1），證明兩曲線在該點處相切，并求出切線方程？ 數(shù)學認識實驗： 導數(shù)的幾何意義和美學價值 P Q 1、導數(shù)的定義（切線問題） 2、導數(shù)的幾何意義：（） 3、導數(shù)的美學意義：曲線的局部線性化。 （1）在x=0處比較：曲線與切線； （2）在x=1處比較：曲線與切線。 第四講 求導公式與求導法則（一） 教學目的：掌握基本導數(shù)公式與導數(shù)運算法則，會求簡單函數(shù)的導數(shù)。 重 難 點：基本導數(shù)公式與法則 教學程序：基本公式—>運算法則—>例子—>二階導數(shù)的定義及求法 授課提要： 一、基本導數(shù)公式 由導數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導數(shù)公式： 二、導數(shù)的四則運算法則 設u、v為可導函數(shù)，則 1、 2、 3、 4、 例1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 例2、求函數(shù)在給定點的導數(shù)值？ (1) (2) 例3、設 例4、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？ 三、二階導數(shù) 1、定義：若導函數(shù)再求導數(shù)，稱為的二階導數(shù)。記： 2、求法：由定義知，求二階導數(shù)的方法與求一階導數(shù)的方法一致。 例5、求下列二階導數(shù) (1) (2) (3) (4) 3、二階導數(shù)的物理意義 設物體的運動規(guī)律為：，則表示物體在時刻t的加速度。 例6、設物體的運動方程為：，求t=2時的速度和加速度？ 思考題： 1. 思考下列命題是否成立？ (1)若，在點處都不可導，則點處也一定不可導. 答：命題不成立. 如：= = ，在 = 0 處均不可導，但其和函數(shù)+= 在= 0 處可導. (2)若在點處可導,在點處不可導，則+在點處一定不可導. 答：命題成立. 原因：若+在處可導，由在處點可導知=[+]在點處也可導，矛盾. 探究題： 某產(chǎn)品的需求方程和總成本函數(shù)分別為，，其中為銷售量，為價格。求邊際利潤，并計算和時的邊際利潤，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。[導數(shù)的經(jīng)濟意義] 小 結(jié)：導數(shù)的物理意義更深層次反映了導數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運動的變化率。指路程對時間的變化率，指速度對時間的變化率。二階導數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向。 作 業(yè)：P30（A：1-2） 小知識：數(shù)學的三次危機 第一次數(shù)學危機：無理數(shù)的產(chǎn)生。（單位正方形的對角線長） 第二次數(shù)學危機：微積分的產(chǎn)生和完善。（極限和無窮小的定義） 第三次數(shù)學危機：集合論的產(chǎn)生。（羅素悖論） 課堂練習（導數(shù)公式與法則一） 【A組】 1、求下列導數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、曲線在何處有水平切線？ [x=-2/3] 3、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？[e] 4、求下列二階導數(shù) (1) (2) (3) 【B組】 1、設曲線在點(1,1)處的切線與x軸的交點為(xn,0)，求極限？ 2、若？ [1] 3、設，求？ [-2] 4、已知，二階連續(xù)可導，求？ [] 5、設某種汽車剎車后運動規(guī)律為，假設汽車作直線運動，求汽車在秒時的速度和加速度。 數(shù)學認識實驗： 函數(shù)與導函數(shù)的圖像比較（） 第五講 求導法則（二）、連續(xù)與導數(shù) 教學目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導數(shù)的關系。 重 難 點：基本導數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導的關系 教學程序：復習基本導數(shù)公式、法則—>連續(xù)概念（極限定義）—>連續(xù)的條件 —>初等函數(shù)的連續(xù)性—>可導與連續(xù)（例）—>連續(xù)函數(shù)的極限（例子） 授課提要： 一、復習基本導數(shù)公式和法則 舉 例：（略） 二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解） 1、定 義：設函數(shù)在x0點及附近有定義，當時,有 ，則稱f(x)在x0點連續(xù)。 說明：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)有極限，反之不成立。 例1、試證在x=0處連續(xù)？ 三、函數(shù)連續(xù)的條件 （１）f(x)在x0點及附近有定義 （２）f(x)在x0點的極限存在 （３）極限值等于函數(shù)值。 例2、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性？ 四、初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。 五、可導與連續(xù) 1、可導與連續(xù)的圖象特征 （1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖示例） （2）可導函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無尖點、折點） 2、可導與連續(xù)的關系 定理：若函數(shù)f(x)在x0點可導，則f(x)在點x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。 例3、試證函數(shù)在x=0點連續(xù)但不可導。 例4、試證函數(shù)在x=0點連續(xù)但不可導,但切線存在。 3、極限、連續(xù)、可導之間的關系 x y O y=|x| 可導連續(xù)有極限；反之不一定成立。如在x=0處。 1 x y O y= -1 -1 1 六、連續(xù)函數(shù)的極限 若f(x)在x0點連續(xù)，則 例5、求下列極限 （1） (2) （3） (4) 例6、討論在x=0處的連續(xù)性？ 思考題： 1．如果在處連續(xù)，問||在處是否連續(xù)？ [連續(xù)] 2． 如果在處可導，問||在處是否可導？ [不一定] 3．求函數(shù)的間斷點，并判斷其類型。 探究題：作圖說明函數(shù)不可導點的類型。[不連續(xù)點、尖點、折點] 小 結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社會發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩和社會發(fā)展中的跳躍性。 作 業(yè)：P34（A：1-2）；復習題（2-5） 課堂練習（求導公式與法則二） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、求函數(shù)在x=1處的導數(shù)值？ 3、求曲線在點（-1，0）處的切線方程？ [] 4、試定義f(0)的值，使函數(shù)在x=0處連續(xù)？[] 5、設，問a為何值時，函數(shù)在x=0處連續(xù)？[2] 【B組】 1、作函數(shù)的圖像？ 2、設函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且，求？ [2] 3、設f(x)有連續(xù)導數(shù)，？ [12] 4、設，問a,b為何值時，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導？ 5、x=1是函數(shù)的（ B ） （A）連續(xù)點 （B）可去間斷點 （C）跳躍間斷點 （D）無窮間斷點 *6、若f(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(0)=f(a)，試證：方程在 （0，a）內(nèi)至少有一個實根。 [提示：作新函數(shù)，在[]上使用零點存在定理] 數(shù)學認識實驗： 不可導點的類型 1、連續(xù)而不可導的點（尖、折點）（如：） 2、不連續(xù)點為不可導點： 第六講 定積分的概念 教學目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。 重 難 點：作為面積的定積分概念 教學程序：提出問題—>解決問題（思想）—>定積分定義—>定積分的幾何意義（例子）—>定積分的性質(zhì)（簡單） 授課提要： 前 言：在自然科學、工程技術和經(jīng)濟學的許多問題中，經(jīng)常會遇到各種平面圖形的面積計算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學的方法計算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會計算。下面討論由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計算方法。 一、問題引入 1、曲邊梯形的定義 所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如圖所示） 2、引 例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形) （1）分析問題 若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。 設想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當分割越細，所得的近似值越接近準確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。 y （2）解決問題（思路） y=x2 第一步：分割 第二步：近似代替 第三步：求和 0 1 x 第四步：取極限 二、定積分的定義 現(xiàn)實中許多實例，盡管實際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“分割取近似，求和取極限”的方法，將所求的量歸結(jié)為一個和式極限。我們稱這種“和式極限”為函數(shù)的定積分。 定 義： （說明定積分中各符號的稱謂） 由定積分的定義知，以上實例可以表示成定積分：面積 說 明：定積分是一個特殊的和式極限，因此，它是一個常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關，而與積分變量用何字母表示無關。 三、定積分的幾何意義（作 圖） 當函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)時，定積分可分成三種形式： 1、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即 2、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即 3、若在[a,b]上，f(x)可正可負，則定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即 結(jié)論：定積分的幾何意義：“有號面積”， 即。 例1、用定積分幾何意義判定下列積分的正負： （1） （2） 例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？ 四、定積分的性質(zhì)（簡略） （1） （2） （3） （4）積分中值定理： 設函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個x（中值），使 =f(x)(b－a) y=f(x) x y O a b x f(x) 積分中值定理有以下的幾何解釋：若f(x)在[a，b]上連 續(xù)且非負，定理表明在[a，b]上至少存在一點x，使得以 [a，b]為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同 底、高為f(x)的矩形的面積相等，如圖所示．因此從幾何角 度看，f(x)可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值 角度上看，f(x)理所當然地應該是f(x)在[a，b]上的平均值． 因此積分中值定理這里解決了如何求一個連續(xù)變化量的平均值問題． 思考題： 1、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數(shù)。[矩形的面積] 2、 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求下列積分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 探究題：用定積分的符號、定義、結(jié)果、方法等說明“什么是定積分”？ 小 結(jié)：定積分的本質(zhì)：從宏觀（整體）研究非均勻量的“改變量”問題。是處理非均勻量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。 作 業(yè)：P40（A：1-3） 課堂練習（定積分的概念） 【A組】 一、判定正誤： 1、定積分表示曲邊梯形的面積。（ F ） 2、定積分的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]及積分變量x有關。F 3、 （ T ） 4、 （ F ） 二、用定積分表示面積： (1)曲線 (2)由方程所確定的圓的面積？ 三、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數(shù)。 【B組】 一、由定積分的幾何意義計算：？ [] 二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖 形的面積？ 三、用定積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的 面積？ 數(shù)學認識實驗： 定積分思想的幾何直觀 1、函數(shù)在[0,1]上所圍成的面積分析： （1）步長為0.1的分割。（n=10） （2）步長為0.05的分割。（n=20） （3）步長為0.01的分割。（n=100） 第七講 定積分與導數(shù) 教學目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。 重 難 點：作為路程的定積分、微積分基本定理 教學程序：復習定積分概念（和式極限）—>原函數(shù)—>N-L公式（求路程） 推導—>N—L公式（計算方法）—>定積分的計算（簡單） 授課提要： 前 言：定積分是一個重要的概念，如果用定義來計算，計算復雜且不易，所以必須尋找新的計算方法。下面將研究定積分與導數(shù)的關系。 一、原函數(shù)的概念 定 義：若在某一區(qū)間上有，則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。 如：已知，所以是2x的一個原函數(shù)，同理，也是它的原函數(shù)。（說明：原函數(shù)不唯一） *二、變上限函數(shù) 設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且，則稱函數(shù)為變上限函數(shù)。記。它有如下性質(zhì)： (1)； (2)若在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上可導，且有。 由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個原函數(shù)。 定 理（原函數(shù)存在定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原函數(shù)可表示為 例1、求 ？ 例2、求 ？ 三、N－L公式（直觀推導） 設一輛汽車作變速直線運動（如圖），從時刻a到b，求其經(jīng)過的路程？ （1）若已知路程函數(shù)，則； （2）若已知速度函數(shù)，則由定積分有； （3）s(t)與v(t)有如下關系：，即s(t)是v(t)的一個原函數(shù)。 一般地，有如下定理： 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則 說 明：(1)N－L公式揭示了定積分與原函數(shù)（不定積分）間的聯(lián)系，給 定積分的計算提供了有效而簡便的方法。 (2)由定義知求定積分的步驟：①求原函數(shù) ②求原函數(shù)的增量 例3、求下列定積分： （1） （2） （3） 例4、求由曲線，直線x=0，x=π，y=0所圍成的圖形面積？ 例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？ 例6、設物體的速度，求時段的距離？ 思考題： 1、 ? 答：因為是以為自變量的函數(shù)，故=0. 2、 答：因為是常數(shù)，故. 3、 ？ 答：因為的結(jié)果中不含，故0. 4、 ？ 答：由變上限定積分求導公式，知. 小 結(jié)：N—L公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學中的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學價值：宏觀上的統(tǒng)一之美。 作 業(yè)：P46（A：1）；（B：1） 課堂練習（定積分與導數(shù)） 【A組】 1、計算下列定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2、求曲線所圍成的圖形的面積？ 3、設，求k的值？ [2] 4、設 [兩邊求導數(shù)] 【B組】 1、設，求a的值？ [3] 2、求導數(shù)：？ [] 3、用定積分求極限：（） *4、利用定積分的性質(zhì)求極限：？（估值定理、夾值定理） *5、證明方程在(0,1)內(nèi)有唯一實根。 *6、設f(x)在[0，4]上連續(xù)，且，則f(2)= 1/4 。 數(shù)學認識實驗： 定積分：的幾何直觀 第八講 習題課（導數(shù)與定積分） 教學目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，掌握基本概念與方法。 一、基本概念及方法： 1、極限的概念，求極限的方法； 2、導數(shù)的概念，導數(shù)公式及運算法則 3、導數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟意義 4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義（經(jīng)濟意義） 5、用N-L公式求定積分 二、基本題型： 1、求下列極限 （1） （2） （3） （4） 2、求下列導數(shù) （1） （2） （3） 3、求下列導數(shù) （1） （2） （3） 4、求下列積分 （1） （2） （3） 5、求曲線在點（1，2）處的切線方程？ 6、求在t=2時的速度？ 7、設某產(chǎn)品的成本函數(shù)，求其邊際成本？ 8、求曲線所圍成的圖形的面積？ 9、已知物體的速度為，求時段經(jīng)過的路程？ 10、設 [可加性] 11、設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為 。[] 三、提示與提高： 1、無窮小的定義與性質(zhì) 定 義：若,則稱時為無窮小。 性 質(zhì)：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。 例1、求極限，？ 2、無窮小的比較：（略） 當時，有等價； 當時，； 例2、當時，比較的階？ 3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （1）有界定理；（2）最值定理；（3）零點定理；（4）介值定理 例3、設f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在[0，1]上至少有一實根。 4、函數(shù)間斷點的分類（略） 5、定積分的性質(zhì) （1）； （2）若在[a,b]上有，則 特別地，若在[a,b]上有，則 （3）對任意實數(shù)C有 （4）設函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大、最小值分別為M、m，則有 （5）設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其在[a,b]上的平均值 例3、比較大?。号c 例4、求定積分：，其中 例5、求在區(qū)間[1,3]上的平均值？ 第九講 求導法則（三）、復合函數(shù)求導（一） 教學目的：掌握基本導數(shù)公式和四則運算法則，會求一般函數(shù)的導數(shù)。 重 難 點：四則運算法則、復合函數(shù)的連鎖法則 教學程序：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（復習）—>導數(shù)四則運算法則—>例子 授課提要： 前面我們學習了導數(shù)的概念及簡單函數(shù)求導，本節(jié)將系統(tǒng)學習函數(shù)求導方法。 一、復習基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（重點） （板書略） 二、復習導數(shù)四則運算法則（重點） 設u(x),v(x)為可導函數(shù)，則 (1) (2) (3) 例1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 例2、求的導數(shù)？（由商的導數(shù)公式推導） 于是有 同理： 例3、求函數(shù)處的導數(shù)值？ 例4、求過點（1，2）且與曲線相切的直線方程？ 三、復習復合函數(shù)的概念及分解 說明：復合函數(shù)分解一般從外向內(nèi)分解，分解至基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)即可 例5、分解下列函數(shù) （1） （2） （3） 四、復合函數(shù)的求導法則 設是關于x的復合函數(shù)，則 說明：（1）求復合函數(shù)的導數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)，求出每一層次簡單函數(shù)的導數(shù)，再使用連鎖法則，就得到復合函數(shù)的導數(shù)； （2）復合函數(shù)的分解一般按由外向內(nèi)的順序進行。 例6、求下列導數(shù)（先分解后求導） (1) (2) (3) (4) 例7、設在可導，且，記，其中a為 常數(shù)，求？ 例8、設？ [5e] 思考題： 1、設，求？[利用指數(shù)恒等式：] 2、 設求？[ ] 小 結(jié)：掌握復合函數(shù)求導的連鎖法則；對復合函數(shù)求導明確：（1）熟練基本導數(shù)公式；（2）恰當分解復合函數(shù)；（3）正確使用“連鎖法則”。 作 業(yè)：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1） 思考題： 1. 給定一個初等函數(shù)，只用求導法一定能求出其導函數(shù)嗎？為什么？ 答：一定能求出其導函數(shù)。 因為任何一個基本初等函數(shù)我們都可以求其導函數(shù)，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復合運算形成，據(jù)復合函數(shù)的求導法則、導數(shù)的四則運算法則知給定一個初等函數(shù),只用求導法一定能求出其導函數(shù)。 課堂練習（求導法則三、復合函數(shù)一） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、設 3、在曲線上取兩點x1=1,x2=3，過這兩點引割線，問曲線上哪點的切線平行于所引割線？ 4、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 5、求函數(shù)在x=1處的導數(shù)值？ 6、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？ 【B組】 1、證明可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)。 2、設？ [1/3] 3、設，問a,b為何值時，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導？ 4、設？ [] 5、設f(x)有連續(xù)導數(shù)，？[12] 數(shù)學認識實驗： 函數(shù)與導函數(shù)的圖像 第十講 復合函數(shù)（二）、高階導數(shù) 教學目的：熟練掌握復合函數(shù)求導，會求函數(shù)的二階導數(shù)。 重 難 點：復合函數(shù)求導、二階導數(shù) 教學程序：復合函數(shù)的求導法則（復習）—>例子—>高階導數(shù)定義—>例子 —>二階導數(shù)的物理意義—>求高階導數(shù) 授課提要： 一、復習復合函數(shù)求導（） 例1、求下列函數(shù)的導數(shù) （1） （2） （3） 例2、設，求？ [] 例3、設 [略] 例4、設？[] 二、高階導數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x)的n-1階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的n階導數(shù)。 說明：求高階導數(shù)就是反復利用求一階導數(shù)的方法即可。 例5、求下列函數(shù)的二階導數(shù)？ (1) (2) (3) 例6、設？ 例7、求和的n階導數(shù)？ 例8、求的n階導數(shù)？ [] 例9、求的n階導數(shù)？[] 三、二階導數(shù)的物理意義（復習） 設物體的運動方程為s(t)，則表示物體在時刻t的加速度。 例10、設物體的運動規(guī)律為：時的速度和加速度？ 探究題：（股票走勢）設代表某日某公司在時刻的股票價格，試根據(jù)以下情形判定的一階、二階導數(shù)的正、負號： （1）股票價格上升得越來越快；[] （2）股票價格接近最低點。 [] 思考題：某公司的一次廣告促銷活動中，銷量提高了，但銷量關于時間的曲線是凹的，這表明該公司的經(jīng)營情況如何？為什么？若曲線是凸的呢？[表明銷量增長速度很快] 小 結(jié)：理解高階導數(shù)的“遞歸定義法”（即，高一階導數(shù)是通過低一階導數(shù)求導而來）；一階導數(shù)的符號可以反映事物是增長還是減少；二階導數(shù)的符號則說明增長或減少的快慢。 作 業(yè)：P59（A：2-3；B：1） 課堂練習（復合函數(shù)求導二） 【A組】 1、求下列導數(shù) （1） （2） （3） 2、求下列函數(shù)的二階導數(shù) (1) (2) (3) 3、驗證函數(shù) 4、設物體的運動規(guī)律為，求物體在t=0時的速度和加速度？ 5、設函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，求？ 6、設周期函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導，周期為4，又，則曲線y=f(x)在點（5,f(5)）的切線斜率為 2 。 【B組】 1、設？ [1] 2、若，求？ [6] 3、求的n階導數(shù)？[變形] 第十一講 隱函數(shù)求導、對數(shù)求導法 教學目的：掌握隱函數(shù)的求導方法，了解對數(shù)求導法。 重 難 點：隱函數(shù)的求導法 教學程序：隱函數(shù)的概念—>隱函數(shù)的求導方法（舉例說明）—>對數(shù)求導法 （例子）—>參數(shù)方程的導數(shù)—>例子 授課提要： 一、隱函數(shù)概念 自變量與因變量的函數(shù)關系由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。 如：等所確定的y是x的隱函數(shù)。 說明：有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，但更多的不能化成顯函數(shù)；同時應明確并非任意一個方程都能確定一個隱函數(shù)。 二、隱函數(shù)的求導 隱函數(shù)求導方法：在方程的兩邊各項分別對x求導，視y為x的函數(shù)，按復合函數(shù)的求導法則求導，最后解出y即可。 例1、求隱函數(shù)的導數(shù)？ 例2、求隱函數(shù)的導數(shù)？ 例3、求隱函數(shù)在點（0，1）的導數(shù)值？ [1/e] 說明：隱函數(shù)的導數(shù)一般是含x和y的表達式。 例4、求曲線在點（1，1）處的切線方程？ 三、對數(shù)求導法 對于冪指函數(shù)(其中u,v是x的函數(shù)），或由多項式乘除運算和乘方、開方所得函數(shù)的求導，其方法：應先對方程兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導法求導數(shù)。（即先取對數(shù)，后求導數(shù)） 例5、求函數(shù)的導數(shù)？ 例6、求函數(shù)的導數(shù)? 例7、求導數(shù)： *四、參數(shù)方程的導數(shù) 設函數(shù)，且函數(shù)的反函數(shù)存在，由復合函數(shù)求導公式得： 說明：參數(shù)方程的導數(shù)一般是含參變量t的表達式。 例8、求函數(shù)的導數(shù)？ 思考題： 1、如何求的導數(shù)？ [兩次取對數(shù)后再求導數(shù)] 2、求的導數(shù)？ [先區(qū)對數(shù)再求導數(shù)] 3、一球形細胞以/天增長體積，當3的半徑為時，其半徑增長速度是多少？ [] 小 結(jié)：隱函數(shù)求導的關鍵：（1）明確方程中是的函數(shù)，即；（2）方程中各項最終是關于求導；（3）解出（一般是含的表達式）。 參數(shù)方程的導數(shù)：其公式是由復合函數(shù)求導法則推導得來。 作 業(yè)：P62（A：2-3；B：1-2） 課堂練習（隱函數(shù)求導） 【A組】 1、求下列隱函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) 2、求由方程所確定的函數(shù)y在點（0，1）處的導數(shù)？ 3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)？[] 4、設物體的運動方程為：，求(1)物體任意時刻的速度和加速度？(2)何時速度為0？(3)何時加速度為0？ *5、求下列導數(shù) （1） （2） 【B組】 1、設函數(shù)y=y(x)由方程所確定，求？ 2、求隱函數(shù)的二階導數(shù)？ 3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處 相交，并具有相同的一、二階導數(shù)。 4、設 5、設 。 *6、證明：曲線上任一點的切線所截二坐標軸的截距之和等于1。 *7、已知，求。 歸納總結(jié)： 初等函數(shù)的導數(shù) 1、根據(jù)導數(shù)的定義求導數(shù) 設函數(shù)在點及附近有定義，求函數(shù)在的導數(shù)步驟： （1）求函數(shù)增量：； （2）求比值：； （3）求極限：或。 2、基本導數(shù)公式（常用） 3、四則運算法則（可導） ； ； 4、復合函數(shù)的導數(shù) 設函數(shù)復合成函數(shù)，則 或 5、隱函數(shù)的導數(shù) 設函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 6、參數(shù)方程的導數(shù) 設函數(shù)是由參數(shù)方程確定，則 第十二講 習題課（函數(shù)求導的方法） 教學目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，系統(tǒng)掌握函數(shù)的求導方法。 一、函數(shù)求導的基本方法： 1、由定義求導（三步驟）； 2、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與法則； 3、復合函數(shù)的求導方法（連鎖法則）； 4、隱函數(shù)的求導方法、對數(shù)求導法、*參數(shù)方程的導數(shù) 5、求函數(shù)的高階導數(shù)。 二、基本題型： 1、求下列導數(shù) （1） （2） （3） 2、求下列導數(shù) （1） （2） （3） 3、求下列函數(shù)的二階導數(shù) (1) (2) (3) 4、設物體的運動規(guī)律為，求物體在t=0時的速度和加速度？ 5、設，求？ 6、設？ 7、設為可導的偶函數(shù)，且，求曲線在點處 的切線方程？ 8、求下列隱函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) 9、求由方程所確定的函數(shù)y在點（0，1）處的導數(shù)？ 10、求函數(shù)的導數(shù)？ 11、已知，求？ 三、微積分的發(fā)展史（1615—1883年） 我絕對相信歷史事實是一種出色的教育指南—— M.Kline 1615年，德國的開卜勒發(fā)表《酒桶的立體幾何學》，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。 1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表《不可分連續(xù)量的幾何學》，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。 1637年，法國的笛卡爾出版《幾何學》，提出了解析幾何，把變量引進數(shù)學，成為“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點”。 1638年，法國的費馬開始用微分法求極大、極小問題。 1638年，意大利的伽利略發(fā)表《關于兩種新科學的數(shù)學證明的論說》，研究距離、速度、加速度之間的關系，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽利略重要的科學成就。 1665-1676年，牛頓（1665-1666年）先于萊布尼茨（1673-1676年）制定了微積分，萊布尼茨（1684-1686年）早于牛頓（1704-1736年）發(fā)表了有關微積分的著作。 1684年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關于微分法的著作《關于極大極小以及切線的新方法》。 1686年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關于積分法的著作。 1691年，瑞士的約.貝努利出版《微分學初步》，這促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究。 1696年，法國的洛比達發(fā)明求不定式極限的“洛比達法則”。 1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測地線。 1704年，英國的牛頓發(fā)表《三次曲線枚舉》、《利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度》、《流數(shù)法》。 1711年，英國的牛頓發(fā)表《使用級數(shù)、流數(shù)等的分析》。 1715年，英國的布.泰勒發(fā)表《增量方法及其他》。 1731年，法國的克雷洛出版《關于雙重曲率的曲線的研究》，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。 第十三講 函數(shù)的單調(diào)性 教學目的：掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 重 難 點：單調(diào)性判別法 教學程序：簡介微分中值定理—>復習單調(diào)性的定義—>單調(diào)性的判定（導數(shù)） —>求單調(diào)區(qū)間（例子）——>歸納總結(jié)解題步驟 授課提要： 一、拉格郎日中值定理 x x y a b P O A B 若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使。（作圖說明） 說明：(1)此定理是微積分學的重要定理，它準確地表達了函數(shù)在一個閉區(qū)間上的平均變化率和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點的導數(shù)間的關系，它是用函數(shù)的局部性來研究函數(shù)的整體性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。 例1、驗證：函數(shù)是否滿足拉格郎日的條件，若滿足，求出？ [任取閉區(qū)間] 例2、證明： [用Lagrange定理] 二、羅比達法則（敘述） 1、使用條件：（1）屬于的不定式；（2）導數(shù)的極限存在； 2、使用方法：先求導數(shù)，后求極限；滿足條件時可連續(xù)使用。 例2、求下列極限 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 三、函數(shù)的單調(diào)性及判定（一階導數(shù)） 1、復習單調(diào)性的概念：（略） 2、作圖說明函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負有關：（作圖演示） 3、單調(diào)性判定定理： 設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導 (1)若,則f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)增加； (2)若,則f(x) 在（a,b）內(nèi)單調(diào)減少； (3)若,則在（a,b）內(nèi)，f(x)=C。 例3、判定的單調(diào)性？ 例4、判定函數(shù)的單調(diào)性？ 四、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 1、駐點的概念（一階導數(shù)為0的點） 2、求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求出的點和不存在的點，并以這些點為分界點將定義域 區(qū)間分成若干部分區(qū)間； (3)列表討論函數(shù)在各部分區(qū)間上的單調(diào)性。 例5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 例6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 例7、證明：當（作輔助函數(shù)） 思考題： 1、用洛必達法則求極限時應注意什么？[注意使用條件] 2、試用Lagrange中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理。 小 結(jié)：微分中值定理是連接函數(shù)“局部性質(zhì)與整體性質(zhì)”的橋梁。體現(xiàn)了局部與整體本質(zhì)上的內(nèi)部聯(lián)系。 作 業(yè)：P72（A：1） 課堂練習（函數(shù)的單調(diào)性） 【A組】 1、證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增？ 2、求函數(shù)的駐點？ 3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 4、證明不等式： 5、判定正誤： (1)若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則-f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞減。（ T ） (2)若，則x0必為駐點。 （ T ） (3)若x0為函數(shù)f(x)的駐點，則曲線f(x)在點（x0，f(x0)）處的切線方程為 （ T ） 【B組】 1、證明函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增。 2、設函數(shù)間的關系？ 3、證明：函數(shù)在內(nèi)有唯一實根。 4、設f(x)具有二階導數(shù)，且 單調(diào)增加。 5、設函數(shù)有連續(xù)的二階導數(shù)，且， 求極限：？ [-1] *6、求證：方程 提示：作新函數(shù)，用根存在定理和單調(diào)性證明。 數(shù)學認識實驗： 微分中值定理的幾何直觀 1、比較羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義 當函數(shù)以參數(shù)方程給定，曲線上點的切線斜率為，端點連線的斜率為，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。 y T B P A x g(a) g(b) O x 2、單調(diào)性與導數(shù)正負的幾何直觀 第十四講 函數(shù)的極值 教學目的：理解極值的定義，掌握函數(shù)極值的求法。 重 難 點：極值概念及求法 教學程序：極值的概念—>極值存在的必要條件—>極值存在的充分條件（第一、 第二充分條件）—>求函數(shù)的極值（例子）——>歸納總結(jié)解題步驟 授課提要： 一、函數(shù)的極值 1、定 義：（略）（作圖直觀理解） 說明：(1)極值是一個局部概念； (2)極值點是函數(shù)增減或減增的分界點。 2、極值存在的必要條件 若函數(shù)f(x)在點取極值，則不存在。 說明：(1)若, 不一定是極值點。如：在x=0處。 (2)若不存在，也可能是極值點。如：在x=0處。 二、極值存在的第一充分條件（一階導數(shù)法：略） 例1、求函數(shù)的極值點和極值？ 例2、求的單調(diào)區(qū)間和極值？ 三、極值存在的第二充分條件（二階導數(shù)法） 設f(x)在點有一、二階導數(shù)，且，則 (1)若,則f(x0)為極小值； (2)若,則f(x0)為極大值。 例3、求函數(shù)的極值？ 例4、求函數(shù)的極值？ 四、求函數(shù)極值的一般步驟 (1)確定函數(shù)定義域； (2)求函數(shù)導數(shù)，確定駐點和導數(shù)不存在的點； (3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點； (4)把極值點代入原函數(shù)f(x)，求出極值并指明是極大還是極小。 說