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絕密★啟用前 2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.已知集合，則（ ） A. B. C. D. 2.若，則（ ） A. B. C. D. 3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ） A. B. C. D. 4.（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲線在點處的切線方程為，則（ ） A. B. C. D. 7.函數(shù)在圖像大致為 A. B. C. D. 8.如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ） A. ，且直線是相交直線 B. ，且直線是相交直線 C. ，且直線異面直線 D. ，且直線是異面直線 9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 10.雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為 A. B. C. D. 11.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 12.設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論： ①在（）有且僅有3個極大值點 ②在（）有且僅有2個極小值點 ③在（）單調(diào)遞增 ④的取值范圍是[) 其中所有正確結(jié)論編號是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.已知a，b為單位向量，且ab=0，若，則___________. 14.記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和，，則___________. 15.設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為___________. 16.學生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為. （1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）. 18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知． （1）求； （2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍． 19.圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2. （1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小. 20.已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由. 21.已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. （1）證明：直線AB過定點： （2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22.如圖，在極坐標系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧. （1）分別寫出，，的極坐標方程； （2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求極坐標. 23.設(shè)，且. （1）求的最小值； （2）若成立，證明：或.