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空間幾何體的表面積與體積專題 一、選擇題 1．棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是(　C　)． A. B．4 C．4 D．16 解析　每個(gè)面的面積為：22＝.∴正四面體的表面積為：4. 2．把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來(lái)的 (　B　　)． A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析　由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的倍，則體積V＝πR3，知體積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍． 3．如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　B　)． A. B. C. D. 解析　根據(jù)三視圖的知識(shí)及特點(diǎn)，可畫(huà)出多面體 的形狀，如圖所示．這個(gè)多面體是由長(zhǎng)方體截去 一個(gè)正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積 V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝446－2＝. 4．某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(　　A) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 解析 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－π2＝8－. 5．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(　A)A．24－π B．24－ C．24－π D．24－ 據(jù)三視圖可得幾何體為一長(zhǎng)方體內(nèi)挖去一個(gè)半圓柱，其中長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，故其體積V＝234－π123＝24－. 6．某品牌香水瓶的三視圖如圖 (單位：cm)，則該幾何體的表面積為(　　C　) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 解析 這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱．上面四棱柱的表面積為233＋121－＝30－；中間部分的表面積為2π1＝π，下面部分的表面積為244＋162－＝64－.故其表面積是94＋. 7．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30，則棱錐S-ABC的體積為(　　　C)． A．3 B．2 C. D．1 解析　由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過(guò)AB的小圓交直徑SC于D，設(shè)SD＝x，則DC＝4－x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝x，又因?yàn)镾C為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90，所以∠DCB＝∠DCA＝60，在△BDC中 ，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD為正三角形，所以V＝S△ABD4＝. 二、填空題 8．三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于________．解析　依題意有，三棱錐PABC的體積V＝S△ABC|PA|＝223＝. 9．一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為_(kāi) 3∶2_______． 解析 設(shè)圓柱的底面半徑是r，則該圓柱的母線長(zhǎng)是2r，圓柱的側(cè)面積是2πr2r＝4πr2，設(shè)球的半徑是R，則球的表面積是4πR2，根據(jù)已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圓柱的體積是πr22r＝2πr3，球的體積是πr3，所以圓柱的體積和球的體積的比是＝3∶2. 10．如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開(kāi)圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析　由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，斜高為，連接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V＝11＝. 11．如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是____2πR2____． 解析　由球的半徑為R，可知球的表面積為4πR2.設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為2h，則h2＋r2＝R2.而圓柱的側(cè)面積為2πr2h＝4πrh≤4π＝2πR2(當(dāng)且僅當(dāng)r＝h時(shí)等號(hào)成立)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為2πR2，此時(shí)球的表面積與內(nèi)接圓柱的側(cè)面積之差為2πR2. 12．如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_(kāi)__13_____cm. 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開(kāi)為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為＝13 (cm)． 三、解答題 13．某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長(zhǎng)方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖． (1)請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖； (2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積． 解析　(1)側(cè)視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為 V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝40260＋40220＝64 000(cm3)． 14 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S. 解析 (1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為，所以V＝11＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形， S＝2(11＋1＋12)＝6＋2. 15．已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解析　由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、 右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示． (1)幾何體的體積為：V＝S矩形h＝684＝64. (2)正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為：h1＝＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝＝4.故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2＝40＋24. 1.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）. . 解：設(shè)展開(kāi)圖的正方形邊長(zhǎng)為a，圓柱的底面半徑為r，則2πr=a，，底面圓的面積是，于是全面積與側(cè)面積的比是， 2．在棱長(zhǎng)為 1 的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去與8個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的8個(gè)三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）. 2．解：正方體的體積為1，過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是，于是8個(gè)三棱錐的體積是，剩余部分的體積是， 3．一個(gè)直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別是6cm和8cm，高是5cm，則這個(gè)直棱柱的全面積是 。 3．答案：148 cm2 解：底面菱形中，對(duì)角線長(zhǎng)分別是6cm 和8cm，所以底面邊長(zhǎng)是5cm， 側(cè)面面積是455=100cm2，兩個(gè)底面面積是48cm2， 所以棱柱的全面積是148cm2. 4．已知兩個(gè)母線長(zhǎng)相等的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，則它們的高之比為 。 4．答案：2： 解：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，所以它們的展開(kāi)圖即扇形的圓心角分別是和， 由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角的計(jì)算公式，得，， 所以它們的高的比是. 5．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為1cm，2cm，3cm，則此棱錐的體積_________ 5．答案：1cm3 解：轉(zhuǎn)換一個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)三棱錐，即把它的兩條側(cè)棱(如長(zhǎng)度為1cm，2cm的兩條)確定的側(cè)面看作底面，另一條側(cè)棱作為高，則此三棱錐的底面面積是1，高為3， 則它的體積是13=1cm3. 6．矩形兩鄰邊的長(zhǎng)為a、b，當(dāng)它分別繞邊a、b 旋轉(zhuǎn)一周時(shí), 所形成的幾何體的體積之比為 6．答案： 解：矩形繞a邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V1=πb2a，矩形繞b邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V2=πa2b，所以兩個(gè)幾何體的體積的比是 16．四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a. (1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積． 解析　(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點(diǎn)為P， BC的中點(diǎn)為E，連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC ＝S△BPCAP＋S△BPCPD＝S△BPCAD＝a x＝ ≤＝a3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)取等號(hào))．∴該四面體的體積的最大值為a3. (2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為a，∴S表＝2a2＋2a ＝a2＋a＝a2＋＝a2. 5