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備 課 教 案
第 一 周 星期五
課 題
函數(shù)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的幾何特性,為研究微分做好準(zhǔn)備。掌握基本初等函數(shù)的各種狀態(tài),為研究更深一步的函數(shù)作準(zhǔn)備。
重 點(diǎn)
函數(shù)的概念,函數(shù)的幾何特性,各種基本初等函數(shù)的性態(tài)。
難 點(diǎn)
反函數(shù)的理解,分段函數(shù)的理解,復(fù)合函數(shù)的理解。
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
同學(xué)們就以前學(xué)過的函數(shù)的知識(shí)談?wù)勛约簩?duì)函數(shù)的理解。
三、講授新課
一、 函數(shù)的概念:
1、 函數(shù)的定義:
1) Def:設(shè)x和y是兩個(gè)變量,D是給定的非空數(shù)集。若對(duì)于每一個(gè)數(shù)xD,按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則f,變量y總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記作y=f(x), xD。
Note:(1)x稱為自變量, y稱為因變量或函數(shù);
(2)D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D;
(3)f稱為函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則;
(4)集合{ y|y=f(x), xD}稱為值域。
當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)取定某確定值x0時(shí),因變量y按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對(duì)應(yīng)值y0叫做當(dāng)x= x0時(shí)的函數(shù)值,記作或f (x0)
例1:已知,求
解:
例2:求下列函數(shù)的定義域
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:(1)在分式中,分母不能為零,所以,解得,且
即定義域?yàn)椤?
(2)在偶次方根中,被開方式必須大于等于零,所以,解得即定義域?yàn)?
(3)在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)必須大于零,所以,解得,即定義域?yàn)?
(4)反正弦或反余弦中的式子的絕對(duì)值必須小于等于1,所以有,解得,即定義域?yàn)閇0,1]
(5)該函數(shù)為(3)(4)兩例中函數(shù)的代數(shù)和,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?)(4)兩例中定義域的交集,即
小結(jié):定義域的求解原則:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)同時(shí)含有上述四種情況的人以兩種或兩種以上時(shí),要求各部分都成立的交集。
2)鄰域:
設(shè)為兩個(gè)實(shí)數(shù),,則稱滿足不等式即以為中心的開區(qū)間為點(diǎn)的鄰域。
點(diǎn)為該鄰域的中心,為該鄰域的半徑。
四、練習(xí):
求下列函數(shù)的定義域:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)主要復(fù)習(xí)了函數(shù)的定義及函數(shù)定義域值域的求法。這部分內(nèi)容的掌握將為我們以后的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。
課后作業(yè):
1、求函數(shù)的定義域;2、作函數(shù)的圖像
反 思 錄:
備 課 教 案
第 二 周 星期三
課 題
函數(shù)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
(1)理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念。
(2)掌握函數(shù)的特性。
重 點(diǎn)
函數(shù)特性的理解。
難 點(diǎn)
函數(shù)特性的理解。
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
1、什么叫做函數(shù)?
2、求下列函數(shù)的定義域及值域。
(1)
(2)
三、講授新課
分段函數(shù)
對(duì)于自變量的不同取值范圍,又不完全相同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù),稱為分段函數(shù)。
例3:函數(shù).
這是一個(gè)分段函數(shù), 其定義域?yàn)镈=[0, 1](0, +)= [0, +).
當(dāng)0x1時(shí), ; 當(dāng)x>1時(shí), y=1+x.
; ; f(3)=1+3=4.
Note:(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù);
(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。
3、顯函數(shù)和隱函數(shù)
若函數(shù)中的因變量y用自變量x的表達(dá)式直接表示出來(lái),這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)。
一般地,若兩個(gè)變量x,y的函數(shù)關(guān)系用方程F(x,y)=0的形式表示,即x,y的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程里,這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。
例如:
有的隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù),由隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)的過程叫做隱函數(shù)的顯化。
二、函數(shù)的幾種特性:
1、函數(shù)的有界性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一xX, 有f(x)K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方.
如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一xX, 有f(x) K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方.
如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一xX, 有| f(x) |M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間.
函數(shù)f(x)無(wú)界, 就是說(shuō)對(duì)任何M, 總存在x1X, 使| f(x) | > M.
例如
(1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.
(2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無(wú)上界的. 或者說(shuō)它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無(wú)上界.
這是因?yàn)? 對(duì)于任一M>1, 總有x1: , 使
,
所以函數(shù)無(wú)上界.
函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的.
2、函數(shù)的單調(diào)性
設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I D. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1
f(x2),
則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.
單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
函數(shù)單調(diào)性舉例:
函數(shù)y = x2在區(qū)間(-, 0]上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間[0, +)上是單調(diào)減少的, 在(-, +)上不是單調(diào)的.
3、函數(shù)的奇偶性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若xD, 則-xD).
如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù).
如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù).
偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
奇偶函數(shù)舉例:
y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù).
例4: 判斷函數(shù)的奇偶性.
解 函數(shù)的定義域?yàn)镈=,又因?yàn)?
所以函數(shù)是奇函數(shù).
4、函數(shù)的周期性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)l , 使得對(duì)于任一xD有(xl)D, 且
f(x+l) = f(x)
則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期.
周期函數(shù)的圖形特點(diǎn): 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個(gè)長(zhǎng)度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀.
例如,的周期,的周期,正弦型曲線函數(shù)的周期為.
四、練習(xí)
已知函數(shù),求f(0.04)和f(9)。
五、歸納小結(jié)
本節(jié)主要總結(jié)了函數(shù)的幾種特性,適當(dāng)時(shí)候可以結(jié)合圖像來(lái)分析理解。
課后作業(yè):
求函數(shù)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 三 周 星期五
課 題
基本初等函數(shù)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
(1)理解反函數(shù),會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。
(2)掌握五類基本初等函數(shù)。
重 點(diǎn)
掌握五類基本初等函數(shù)。
難 點(diǎn)
理解反函數(shù),會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
1、計(jì)算: ;;;;;;
2、怎樣畫函數(shù)的圖像?
三、講授新課
一、初等函數(shù)
1、反函數(shù)
定義1.1 設(shè)函數(shù).若對(duì)于任意一個(gè),D中都有惟一的一個(gè),使得成立,這時(shí)是以Z為定義域的的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作.
在函數(shù)中, 是自變量,表示函數(shù).但按照習(xí)慣,我們需對(duì)調(diào)函數(shù)中的字母,,把它改寫成 .
今后凡不特別說(shuō)明,函數(shù)的反函數(shù)都是這種改寫過的形式.
函數(shù)與互為反函數(shù),它們的定義域與值域互換.
在同一直角坐標(biāo)系下, 與互為反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱。
例如,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),其圖形如圖1.1所示,關(guān)于直線對(duì)稱.
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖形在同一坐標(biāo)系中是關(guān)于直線對(duì)稱的.如圖1.2所示.
1
-2 0 1 0 1
-2
圖 1.1 圖 1.2
定理1.1(反函數(shù)存在定理) 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的.
求反函數(shù)可以按以下步驟進(jìn)行:
(1) 從方程中解出惟一的,并寫成;
(2) 將中的字母對(duì)調(diào),得到函數(shù),這就是所求的函數(shù)的反函數(shù).
2 . 復(fù)合函數(shù)
定義1.2 假設(shè)有兩個(gè)函數(shù),與對(duì)應(yīng)的值能使有定義,將代入,得到函數(shù).這個(gè)新函數(shù)就叫做是由和經(jīng)過復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),稱為中間變量.
例如,由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù).
復(fù)合函數(shù)不僅可用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,也可以有多個(gè)函數(shù)相繼進(jìn)行復(fù)合而成.如由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù).
需要指出,不是任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).由定義易知,只有當(dāng)?shù)闹涤蚺c的定義域的交集非空時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).例如函數(shù)和就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).因?yàn)?的值域?yàn)?而的定義域?yàn)椋@然無(wú)意義.
3 . 基本初等函數(shù)
我們學(xué)過的五類函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).
為了便于應(yīng)用,下面就其圖像和性質(zhì)作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí).參看表1-1 .
表1-1 基本初等函數(shù)及圖像性質(zhì)
序號(hào)
函數(shù)
圖像
性質(zhì)
1
冪函數(shù)
(1,1)
0
在第一象限,時(shí)函數(shù)單增;時(shí)函數(shù)單減.都過點(diǎn)(1,1)
2
指數(shù)函數(shù)
1
0
時(shí)函數(shù)單增;時(shí)函數(shù)單減.
共性:過(0,1)點(diǎn),以軸為漸近線
3
對(duì)數(shù)函數(shù)
0 1
時(shí)函數(shù)單增;時(shí)函數(shù)單減.
共性:過(1,0)點(diǎn),以軸為漸近線
4
三角函數(shù)
正弦函數(shù)
1
- 0
-1
奇函數(shù),周期T=2,有界
余弦函數(shù)
1
- 0
-1
偶函數(shù),周期T=2,有界
正切函數(shù)
- 0
奇函數(shù),周期T=,無(wú)界
余切函數(shù)
- - 0
奇函數(shù),周期T=,無(wú)界
5
反三角函數(shù)
反正弦函數(shù)
-1 0 1
-
奇函數(shù),單調(diào)增加,有界
反余弦函數(shù)
-1 0 1
,單調(diào)減少,有界
反正切函數(shù)
0
奇函數(shù),單調(diào)增加,有界,為兩條水平漸近線
反余切函數(shù)
0
單調(diào)減少,有界,為兩條水平漸近線
四、練習(xí)
1、基本初等函數(shù)有哪幾類?
2、是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)?
五、歸納小結(jié)
這一節(jié)課我們復(fù)習(xí)了五類基本初等函數(shù),它們的性質(zhì)可以結(jié)合圖像來(lái)理解和記憶。
課后作業(yè):
指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)(或簡(jiǎn)單函數(shù))構(gòu)成?
(1)
(2)
(3)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 三 周 星期三
課 題
初等函數(shù)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
理解初等函數(shù)的定義,并能把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù);也能把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。
重 點(diǎn)
把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。
難 點(diǎn)
把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
填空:
1、糾正作業(yè)。
2、畫出五種基本初等函數(shù)的草圖。
三、講授新課
定義1.3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所構(gòu)成的,并能用一個(gè)式子表示的函數(shù),統(tǒng)稱為初等函數(shù).
【例1.4】 下列函數(shù)是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的.
(1) (2) (3)
解 (1)令,則.
于是 是由,復(fù)合而成的.
(2) 令,,則.
所以 是由,,復(fù)合而成的.
(3) 令,,則.
所以 是由 ,,復(fù)合而成的.
本課程研究的函數(shù),主要是初等函數(shù).凡不是初等函數(shù)的函數(shù),皆稱為非初等函數(shù).
【例1.5】將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。
(1) .
(2)
(3),,
四、練習(xí)
將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。
(1) .
(2)
(3),
五、歸納小結(jié)
初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。
注意:要掌握好將一個(gè)初等函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單函數(shù),其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解,切忌漏層。
課后作業(yè):
2、判定下列函數(shù)的奇偶性?
(1) (2) (3)
3、作下列函數(shù)的圖像?
(1) (2) (3)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 三 周 星期五
課 題
常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1、理解幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)
2、會(huì)用函數(shù)的知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問題
重 點(diǎn)
理解經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義及應(yīng)用
難 點(diǎn)
運(yùn)用經(jīng)濟(jì)函數(shù)解決經(jīng)濟(jì)問題
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
函數(shù)是由 , 這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。
三、講授新課
經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括:
1、需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格)
2、成本函數(shù)C(q)
3、收入函數(shù)R(q)
4、利潤(rùn)函數(shù)L(q)
1 需求函數(shù)與價(jià)格函數(shù)
1.1 線性需求函數(shù)
1.2 二次曲線需求函數(shù)
1.3 指數(shù)需求函數(shù)
注:一般地,需求量隨價(jià)格上漲而減少。因此,通常需求函數(shù)是價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)。
價(jià)格函數(shù)反映商品需求和價(jià)格的關(guān)系。
2 供給函數(shù)
一般地,商品供給量隨商品價(jià)格的上漲而增加。因此,商品供給函數(shù)是商品價(jià)格的單調(diào)增加函數(shù)。
3 總成本函數(shù)(單調(diào)增加函數(shù))
注:生產(chǎn)成本包括固定成本和可變成本。
4 收入函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)
總收入和平均收入,其中是商品的價(jià)格函數(shù),它們均是出售商品數(shù)量的函數(shù)。
總利潤(rùn)和平均利潤(rùn),均是產(chǎn)量的函數(shù)
注:利潤(rùn)函數(shù)出現(xiàn)的三種情況:
(1) 有盈余生產(chǎn)
(2) 虧損生產(chǎn)
(3) 無(wú)盈虧生產(chǎn),此時(shí)的產(chǎn)量稱為無(wú)盈虧點(diǎn)(保本點(diǎn))。
經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用
例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元,每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元,若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元,試求:
(1) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本;
(2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入;
(3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出,則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少?
解:(1)生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本為:
平均成本為
(2)售出x件該種產(chǎn)品的總收入為
(3)生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為
四、練習(xí)
生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為3萬(wàn)元,每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為10元,若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為50元,試求:
1、生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本;
2、售出x件該種產(chǎn)品的總收入;
3、若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出,則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少?
五、歸納小結(jié)
本次課的重要性在于引導(dǎo)學(xué)生,在經(jīng)濟(jì)分析中使用數(shù)學(xué)方法往往能夠簡(jiǎn)化實(shí)際問題,能夠更方便快捷的解決實(shí)際問題。
課后作業(yè):
1、生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為5萬(wàn)元,每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為10元,若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元,試求:
(4) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本;
(5) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入;
若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出,則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少?
2、預(yù)習(xí)第二章“極限”
反 思 錄:
備 課 教 案
第 四 周 星期三
課 題
極限的概念
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.理解極限的概念,函數(shù)左極限與右極限的概念。
2.熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件
3.理解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念,
4.掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的概念及性質(zhì),會(huì)用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限
重 點(diǎn)
函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念;無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念及性質(zhì).
難 點(diǎn)
1.函數(shù)極限的定義
2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
一、導(dǎo)入新課
1.寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程
(1) (2)
思考:若,當(dāng)無(wú)限的靠近1時(shí),值怎樣變化?
二、講授新課
(一)函數(shù)的極限
(1)定義 函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x無(wú)限接近于某個(gè)目標(biāo)時(shí)(一個(gè)數(shù)x,或+或—),因變量y無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)以A為極限。
規(guī)定: x從x的左右兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x
x從x的左兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x
x從x的右兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x
x無(wú)限增大時(shí),用記號(hào)x +
x無(wú)限減小時(shí),用記號(hào)x —
無(wú)限增大時(shí),用記號(hào)x
(2)點(diǎn)x的鄰域
N(x,)=(x—,x+),其中很小的正數(shù),
X的去心鄰域N(,)=.
1、 x x時(shí)函數(shù)的極限
舉例說(shuō)明:x 1時(shí),函數(shù)無(wú)限接近于多少?
觀察:當(dāng):x 1時(shí),f(x)=x+1,無(wú)限接近2
當(dāng):x 1時(shí),g(x)=,無(wú)限接近2
f(x)在x=1有定義,g(x)在x=1處無(wú)定義
定義1 如果當(dāng)x x時(shí),函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù), 則稱為函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限,記作f(x)=A或 (當(dāng) x x時(shí)).此時(shí)也稱存在。如果當(dāng)x x時(shí), 函數(shù)不趨近于任何一個(gè)確定的常數(shù),則稱不存在。
如 : ,又如= 2
注意 : f(x)=在 處無(wú)定義, 但當(dāng) 時(shí),函數(shù)f(x)=無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)2,所以=2。
結(jié)論:函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限是否存在,與在點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān).
如上舉例f(x)=在 處無(wú)定義, 但 = 2.
定義2 右極限 當(dāng)x x,有
定義3 左極限 當(dāng)x x,有
函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。
定理1 [極限存在的充分必要條件]
函數(shù) 當(dāng)時(shí)的極限存在的充分必要條件是,當(dāng)時(shí)的左右極限都存在并且相等.即
注:求分段函數(shù)的極限的方法就是計(jì)算它在指定點(diǎn)的左極限和右極限是否存在并且是否相等。
例如:判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限
⑴ (當(dāng)時(shí)) ⑵ (當(dāng)時(shí))
解:⑴ ∵ ,
∴ 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。
⑵ ∵,
∴ 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限=0
定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A
(二)數(shù)列的極限
定義4 對(duì)于數(shù)列{},如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),通項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為數(shù)列的極限,或稱數(shù)列{}收斂于A,記為=A或A(n)
定理3 [單調(diào)數(shù)列極限存在定理]
單調(diào)增加(上升)數(shù)列:
單調(diào)減少(下降)數(shù)列:
單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。
[單調(diào)有界原理]:?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。
(三)極限的性質(zhì)
1、唯一性 若,,則
2、有界性 若,則存在的某一去心鄰域 N(,),在N(,)內(nèi)函數(shù)有界.
3、保號(hào)性 若且,則存在某個(gè)去心鄰域 N(,),在N(,)內(nèi)
4、夾逼準(zhǔn)則
這個(gè)定理稱為夾逼定理,它同樣適用于的情況
在這個(gè)公式里x趨近于哪個(gè)數(shù)是非常重要的,x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。
(四)關(guān)于極限的幾點(diǎn)說(shuō)明
1. 一個(gè)變量前加上記號(hào)“l(fā)im”后,是個(gè)確定值。
例:正n邊形面積,= 圓面積
2. 關(guān)于“x”的理解:只要求在的充分小鄰域有定義。與在點(diǎn)和遠(yuǎn)離點(diǎn)有無(wú)意義無(wú)關(guān)。
例:在求分段函數(shù)的極限時(shí)尤為重要。
3. 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即:C=C
(五)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量
1、無(wú)窮小量概念
定義5 極限為0的量稱為無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小;
注:1、無(wú)窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。
2、數(shù)零是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。
3、無(wú)窮小指量的變化狀態(tài),而不是量的大小。
2、 一個(gè)量無(wú)論多么小,都不能是無(wú)窮小,零唯一例外。
當(dāng)x→a(或∞)時(shí),如果函數(shù)f(x)的極限為0,則稱當(dāng)x→a(或∞)時(shí),f(x)是無(wú)窮小量。
若數(shù)列{}的極限為0,則{}是無(wú)窮小量。
例如:,所以,當(dāng)x→0時(shí),sin x 是無(wú)窮小量。
同樣,當(dāng)x→0時(shí) (>0),1-cosx,arcsinx 等都是無(wú)窮小量。
當(dāng)x→+∞時(shí), ,所以{}是無(wú)窮小量.
定理4 極限與無(wú)窮小之間的關(guān)系:
無(wú)窮小量的性質(zhì)
定理5 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量。
例如,當(dāng)x→0時(shí),x+sinx也是無(wú)窮小量
定理6 無(wú)窮小量與有界量之積是無(wú)窮小量。
例如,當(dāng)x→0時(shí),xsinx也是無(wú)窮小量。
推論1:任一常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。
例如,當(dāng)x→0時(shí),3sinx也是無(wú)窮小量。
推論2:有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。(注:兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮?。?
2、無(wú)窮大量
當(dāng)x→(或∞)時(shí),如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大,則稱當(dāng)x→(或∞)時(shí),f(x)是無(wú)窮大量。記作 f(x)=∞,或f(x)→∞。
定義6 若(或),則稱為當(dāng)(或 )時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。
如=,表示當(dāng) 時(shí), 為無(wú)窮大.
關(guān)于無(wú)窮大量幾點(diǎn)說(shuō)明:
1.無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它是極限的概念;
2.無(wú)窮大量的實(shí)質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 .
3.若數(shù)列{}當(dāng)n→+∞時(shí),它項(xiàng)的絕對(duì)值無(wú)限增大,則{}是無(wú)窮大量。
4.如果當(dāng)x→(或∞)時(shí),函數(shù)f(x)是無(wú)窮大量,那么就是當(dāng)x→(或∞)時(shí)的無(wú)窮小量,反過來(lái),如果當(dāng)x→(或∞)時(shí),函數(shù)f(x)是非零無(wú)窮小量,那么就是當(dāng)x→(或∞)時(shí)的無(wú)窮大量。 即⑴無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。⑵無(wú)窮小量(非零)的倒數(shù)是無(wú)窮大量。(3)無(wú)窮大必?zé)o界,但反之不真。
因此,證明一個(gè)變量是無(wú)窮小量的方法就是證明它的極限為0,
證明一個(gè)變量是無(wú)窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無(wú)窮小量。
四、練習(xí)
判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限
⑴ (當(dāng)時(shí)) ⑵ (當(dāng)時(shí))
五、歸納小結(jié)
理解極限的概念,函數(shù)左極限與右極限的概念,以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系;熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件,理解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念,掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的概念及性質(zhì),會(huì)用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限.
課后作業(yè):
反 思 錄:
備 課 教 案
第 四 周 星期五
課 題
極限的運(yùn)算(一)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論,能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限
重 點(diǎn)
函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論
難 點(diǎn)
函數(shù)極限的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
一、導(dǎo)入新課
1、函數(shù)極限是怎樣定義的?函數(shù)極限存在的充要條件是什么?
2、無(wú)窮小的性質(zhì)有哪些?
二、講授新課
(一)極限的運(yùn)算法則
設(shè)在同一變化過程中(此處省略了自變量的變化趨勢(shì),下同)及都存在,則有下列運(yùn)算法則:
法則1、[f(x)g(x)]= f(x) g(x)
法則2、[f(x) g(x)]= f(x) g(x)
法則3、=(g(x)0)
提示:法則的證明不作要求.
(1)直接代入求值
例1 求(3x-4x+1)
解:(3x-4x+1)=32-42+1=5
例2 求
解:== -
例3 求
解:===
小結(jié):時(shí),可直接代入(若代入后令分母為零??上燃s分后再代入)
舉例:1、6x 2、(6x+5) 3、 4、
5、 6、
(2)型
例4 求
解:==
小結(jié):時(shí),型的極限,可用分子分母中x的最高次冪除之
課堂練習(xí)1、計(jì)算
(3)-型,型,
例5 求下列函數(shù)極限
1、(-) 2、 3、
解:1、(-)=
===1
2、=
===
3、==0
小結(jié):1題可看成直接代值的特殊情況
2題是“型”經(jīng)??赏ㄟ^分母、分子有理化解決
3題是無(wú)窮小與有界量的積為無(wú)窮小
四、練習(xí)
求下列極限
1、 2、 3、
五、歸納小結(jié)
掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論,能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限。特別情形:時(shí),型的極限,可用分子分母中x的最高次冪除之;型經(jīng)??赏ㄟ^分母、分子有理化解決;無(wú)窮小與有界量的積為無(wú)窮小.
課后作業(yè):
求下列極限
(1) (2) (3)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 五 周 星期三
課 題
極限的運(yùn)算(二)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.掌握兩個(gè)重要極限,會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限
2.理解高階、低階、同階及等價(jià)無(wú)窮小量的定義
3.掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量
4.會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限
重 點(diǎn)
1.兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用
2.高階、低階、同階和等價(jià)無(wú)窮小的定義與判定及其應(yīng)用
難 點(diǎn)
1.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用
2.等價(jià)無(wú)窮小量的判定及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
考察極限
觀察:當(dāng)x0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...
0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
當(dāng)x取正值趨近于0時(shí),1,即=1;
當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí),-x0, -x>0, sin(-x)>0.于是
.
三、講授新課
(二)兩個(gè)重要極限
1 =1
特點(diǎn):①它是“”型 ② (三角形代表同一變量)
思考:?jiǎn)幔?
例1 求
解: ==2
注:1
==0
例2 求
解: ==1
例3 求
解: =[]=
(復(fù)習(xí)二倍角)
==2=1-2
= =
例4 求
解:原式==[]=[]=
注:1、乘積的極限寫成極限的乘積時(shí),必須每個(gè)乘積的極限存在。
2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)
課堂練習(xí)(一)求下列極限
1、 2、 3、
4、 5、 6、
考察極限(1+)
觀察:當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...
2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí),是逐漸增大的,但是不論x如何大,的值總不會(huì)超過3.實(shí)際上如果繼續(xù)增大x.即當(dāng)x+時(shí),可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)e=2.718281828....
當(dāng)x-時(shí),函數(shù)有類似的變化趨勢(shì),只是它是逐漸減小而趨向于e.
2 (1+) = e
特點(diǎn):(1) (1+無(wú)窮小) ,即1型;
(2)“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù),
推廣:① ②
例5 (1+)
解:原式=[]=
例6 (1+)
解:原式=[(1+)(1+)]=(1+)(1+)=
例7 (1+)
解:原式=(1+)=
例8 (1)
解:原式=[1+()]= [1+]=
例9 ()
解:原式=()=(1)=(1+)
=(1+)(1+)= e
課堂練習(xí)(二)
習(xí)作題1(4)—(8)
(三)無(wú)窮小的比較
例:當(dāng)x0時(shí),=3x,=x, =
但=0 = =
為了比較無(wú)窮小趨于零的快慢,引入無(wú)窮小階
定義:設(shè)某一極限過程中,與都是無(wú)窮小,且 = C
(1)若C=0,則稱是比高階的無(wú)窮小,記成=0() 也稱是比低階的無(wú)窮小。(2)若C0,則稱與是同階無(wú)窮小。
特別:若C=1,則稱與是等價(jià)無(wú)窮小,記為~
等價(jià)無(wú)窮小在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)有重要作用。
常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小代換:
當(dāng)時(shí),有~ x tanx~x arcsinx~x arctanx~x cosx~ ln(1+x) ~x ~x ~
例10 求
解:==
例11 求
解:==
例12 求
解:==
例13
解:===
注:1用等價(jià)代換時(shí),必須對(duì)分子或分母的整體替換(或?qū)Ψ肿印⒎帜傅囊蚴竭M(jìn)行替換)
2分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。
四、練習(xí)
求下列式子的極限:
(1+) (1+)
五、歸納小結(jié)
掌握兩個(gè)重要極限,會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限,理解高階、低階、同階及等價(jià)無(wú)窮小量的定義,掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量,會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限。特別地,用等價(jià)代換時(shí),必須對(duì)分子或分母的整體替換(或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換),分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。
課后作業(yè):
求下列極限
(1) (2) (3) (4)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 五 周 星期五
課 題
函數(shù)的連續(xù)性
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,
3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
重 點(diǎn)
1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用
2.間斷點(diǎn)及其分類
難 點(diǎn)
1.點(diǎn)連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用
2.函數(shù)的連續(xù)性的判定
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
微積分學(xué)中研究種種不同性質(zhì)的函數(shù),其中有一類重要的函數(shù),就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象,如氣溫的變化,河水的流動(dòng)等等。
三、講授新課
(一)函數(shù)連續(xù)性的定義
1、點(diǎn)連續(xù)
定義1 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域上有定義,如果自變量的增量趨于零時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零,即
則稱f(x)在點(diǎn)是連續(xù)的。
易知:0
即,于是有
定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù),f(x)在點(diǎn)連續(xù),必須滿足三個(gè)條件:
(1) f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義
(2) 存在
(3) 上述極限值等于函數(shù)值
只有一個(gè)條件不滿足,則點(diǎn)就是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。
2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念
在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn),那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是左連續(xù),在左端點(diǎn)連續(xù)是右連續(xù)。
定義3(間斷點(diǎn)的分類):設(shè)是的一個(gè)間斷點(diǎn),如果:
(1)的左右極限都存在,稱為第一類間斷點(diǎn),當(dāng)
,則稱為的跳躍間斷點(diǎn)
(2)的左右極限都存在,稱為第一類間斷點(diǎn),當(dāng)存在,但不等于,則稱為的可去間斷點(diǎn)
(3)除(1)(2)以外的,稱為的第二類間斷點(diǎn),當(dāng)=,稱為的無(wú)窮間斷點(diǎn)。
例1 設(shè),討論f(x)在x=1處的連續(xù)性
解:f(1)=1 f(x)= =1
f(x)= (x+1)=2
即f(x)不存在
x=1是第一類間斷點(diǎn),且為跳躍間斷點(diǎn)。
例2 設(shè),討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。
解:f(0)=1 x=0是第一類間斷點(diǎn),且為可去間斷點(diǎn)。
例3 在x=1是什么間斷點(diǎn)。
解:函數(shù)在x=1處沒有定義,且=
則x=1為f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。
注:連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。
(二)初等函數(shù)的連續(xù)性
1、初等函數(shù)的連續(xù)性
1)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的,一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。
2)分段函數(shù),討論分段點(diǎn)
2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限
若f(x)在點(diǎn)連續(xù),則
即求連續(xù)函數(shù)的極限,可歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)值.
例4 求極限]
解:在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0
注:基本初等函數(shù)均連續(xù)
3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法
定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù),若=a,而函數(shù)f(u)在u=點(diǎn)連續(xù),則=
例5 求極限
解:=,復(fù)合函數(shù)是由lnu和u=組成,又=e,在u=e點(diǎn)lnu連續(xù)。
=
=-2 , x=1為可去間斷點(diǎn)。
=(不存在) x=2為無(wú)窮間斷點(diǎn)。
(2),x=0
不存在,為第二類間斷點(diǎn)
(3),x=1
=2
為第一類間斷點(diǎn),為跳躍間斷點(diǎn)。
2、復(fù)合函數(shù)求極限(利用函數(shù)的連續(xù)性求極限)
1) 2) 3)
3、根存在
1)證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。
設(shè)f(x)= ,在()連續(xù)
又f(1)=1-3-1=-3<0
f(2)=2
根據(jù)介值定理,至少存在一點(diǎn),使得)=0
顯然即為方程的根。
四、練習(xí)
1.設(shè),討論f(x)在x=1處的連續(xù)性
2.設(shè),討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。
五、歸納小結(jié)
理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型,了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
課后作業(yè):
求下列極限
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 六 周 星期三
課 題
導(dǎo)數(shù)的概念(一)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.理解導(dǎo)數(shù)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義。
2.理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
3.了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:存在
重 點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
難 點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
(一)兩個(gè)實(shí)例
1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng),所經(jīng)過的路程是時(shí)間的函數(shù).
如果質(zhì)點(diǎn)是作勻速直線運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度等于路程與時(shí)間之比,即
如果質(zhì)點(diǎn)是作變速直線運(yùn)動(dòng),它的速度隨時(shí)間變化而變化.現(xiàn)討論質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻時(shí)的速度,即瞬時(shí)速度.
質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到這段時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從位置移動(dòng)到,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為:
質(zhì)點(diǎn)的平均速度為: .
當(dāng)較小時(shí),平均速度可近似地表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度.且越小,這種近似程度也越好.
令,如果存在,則稱平均速度的極限為質(zhì)點(diǎn)在
時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即.
2. 切線問題
切線的一般定義:設(shè)有曲線:及上的一點(diǎn)(圖3-1),在點(diǎn)
外另取上一點(diǎn),作割線,當(dāng)點(diǎn)沿曲線逐漸趨于點(diǎn)時(shí),割線繞
點(diǎn)旋轉(zhuǎn),而逐漸趨于極限位置,直線就稱為曲線在點(diǎn)處的切線.這
里極限位置的含義:只要弦長(zhǎng)趨于零,也趨于零.
圖3-1
圖3-2
設(shè)是曲線上的一點(diǎn)(圖3-2),則.在點(diǎn)外另取上
一點(diǎn),割線的斜率為: 其中為割線的傾角,當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí),,如果存在,則此極限就是切線的斜率,其中是切線的傾角.
上面兩個(gè)實(shí)際問題,雖然其實(shí)際意義不同,但解決問題的方法相同.都?xì)w結(jié)為求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限:
或 ,
其中 ,稱為自變量增量,
,稱為相應(yīng)于自變量增量的函數(shù)增量.
在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中,還有許多實(shí)際問題,如線密度、
電流、反應(yīng)速度等,都可歸結(jié)為函數(shù)對(duì)于自變量的變化率即函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
三、講授新課
1、導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù) 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量X在點(diǎn)處有增量,仍在該鄰域內(nèi)時(shí),相應(yīng)地,函數(shù)有增量,
若 極限 存在,則稱在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù),記為,也可記為,,即
若極限不存在,則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。
(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I上的每一點(diǎn)都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上可導(dǎo),這時(shí),都對(duì)應(yīng)f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值,這樣就成了一個(gè)新的函數(shù)成為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù),記作 ,,, 或.顯然,y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,即=
2、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)
(2)函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)
定理 y=在點(diǎn)可導(dǎo)
例1 求函數(shù)在任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù),并求
解:在x處給自變量一個(gè)增量,相應(yīng)函數(shù)增量為,
于是 ,
;即;
則
一般地,(為任意實(shí)數(shù))
注:求得先求,再將x用代替。
3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)(,)處切線的斜率。
(1)若存在,則曲線在點(diǎn)(,)切線方程為
當(dāng)時(shí),則過()的法線方程為:
當(dāng) 時(shí),法線方程
(2)若,則切線垂直于 軸,切線方程:
例2 求拋物線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程。
解:
切線斜率
切線方程:即
法線方程:即
4、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系:可導(dǎo)連續(xù)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),有
又
即
故
所以。
即 在可導(dǎo),那么在處必連續(xù),但反過來(lái)不一定成立,即在處
連續(xù)的函數(shù)未必在可導(dǎo)。
例3 ,雖然在=0處連續(xù),但在該點(diǎn)不可導(dǎo)。
例4 討論 在點(diǎn)=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。
解:
即
又
當(dāng)
四、練習(xí)
討論 在點(diǎn)=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。
五、歸納小結(jié)
理解導(dǎo)數(shù)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義,理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件,了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:存在
課后作業(yè):
1、設(shè) A 。
A、左右導(dǎo)數(shù)都存在 B、左導(dǎo)數(shù)存在,右導(dǎo)數(shù)不存在
C、右導(dǎo)數(shù)存在,左導(dǎo)數(shù)不存在 D、都不存在
2、若(為常數(shù)),試判斷下列命題是否正確。[全部]
(1)在點(diǎn) 處可導(dǎo); (2)在點(diǎn) 處連續(xù);
(3)= ;
反 思 錄:
備 課 教 案
第 六 周 星期五
課 題
導(dǎo)數(shù)的概念(二)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲,會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念,會(huì)用導(dǎo)數(shù)(變化率)描述一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題
3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的觀念
重 點(diǎn)
用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
難 點(diǎn)
用導(dǎo)數(shù)(變化率)描述一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
1.如何定義函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)?
2.函數(shù)可導(dǎo)的幾何意義是什么?
三、講授新課
1、變化率模型
科學(xué)技術(shù)中常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率。
因此,對(duì)于一個(gè)未賦予具體含義的一般函來(lái)說(shuō),通常把
稱 在上平均變化率。
平均變化率當(dāng)時(shí)的極限 或 稱在處的變化率。它反映了函數(shù)隨著自變量的變化而變化的快慢程度。
切線的斜率是曲線上的縱坐標(biāo)對(duì)橫坐標(biāo)的變化率。
例1(電流模型)設(shè)在[ 0,]這段時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電荷為,求 時(shí)刻的電流.
解:(1)若電流恒定
(2)若電流不恒定,平均電流
故 時(shí)刻電流
例2(細(xì)桿的線密度模型)設(shè)一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿放在上,在[0,] 上的質(zhì)量是的函數(shù) ,求桿上的線密度。
解:如果細(xì)桿質(zhì)量分布是均勻的,則長(zhǎng)度為的一段的質(zhì)量為,那么它的線密度為 反之,不能直接用此公式.
利用導(dǎo)數(shù)定義的思想來(lái)求細(xì)桿的平均線密度,則
平均線密度
故 細(xì)桿在處的線密度,即
例3(邊際成本模型)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本。
解:設(shè)一產(chǎn)品產(chǎn)量為單位時(shí),總成本為C=C(x),稱C(x)為總成本函數(shù),簡(jiǎn)稱為總成本函數(shù)。當(dāng)產(chǎn)量由x變?yōu)?時(shí),總成本函數(shù)改變量為 這時(shí),總成本的平均變化率為
它表示產(chǎn)量由x變到時(shí),在平均意義下的邊際成本。
當(dāng)總成本函數(shù)C(x)可導(dǎo)時(shí),其變化率
表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本,即邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。
例4(化學(xué)反應(yīng)速度模型)在化學(xué)反應(yīng)中一物質(zhì)的濃度N和時(shí)間t的關(guān)系為N=N(t),
求:在t時(shí)刻物質(zhì)的瞬時(shí)反應(yīng)速度。
解:當(dāng)時(shí)間以 變到時(shí),濃度的平均變化率為
令時(shí),該物質(zhì)在時(shí)刻的瞬時(shí)反應(yīng)速度為:
2、求導(dǎo)舉例
求導(dǎo)三步曲:(1)求增量
(2)算比值
(3)定極限:
例5 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(c為常數(shù))
解:(1)
(2)
(3)
即
即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。
例6 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
解:(1)
(2)
(3)
即
類似可得
例7 求函數(shù)
解:(1)
(3)
=
即
特別
四、練習(xí)
1.
五、歸納小結(jié)
掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲,會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念,會(huì)用導(dǎo)數(shù)(變化率)描述一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
課后作業(yè):
1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) (2) (3) (4) (5)
2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) (2) (3) (4)
反 思 錄:
備 課 教 案
第 七 周 星期三
課 題
求導(dǎo)法則(一)
所需課時(shí)
2
教學(xué)目的
1.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式
2.掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
重 點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
難 點(diǎn)
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
教學(xué)過程:
一、組織教學(xué)
點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律
二、復(fù)習(xí)引入
1.函數(shù)可導(dǎo)是怎樣定義的?
2.極限的四則運(yùn)算法則是什么?
思考:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有相同的運(yùn)算法則呢?
三、講授新課
1、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)的法則
定理1 設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則u(x)v(x),u(x)v(x),也在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有以下法則:
(1)=
(2) =+u(x),特別= (c為常數(shù))
(3) 特別,當(dāng)u(x)=c (c為常數(shù))時(shí),
有
例1 設(shè)y=求
解:
=
=
例2 求y=tanx的導(dǎo)數(shù)。
小結(jié):非弦函數(shù)先化弦
類似可得:
例3 已知y=sec x,求.
解:(非弦函數(shù)化成弦函數(shù))
類似可得:
例4 設(shè)f(x)=,求 .
解:
2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:
思考:設(shè)y=,如何求?
①
y=可看成由復(fù)合而成。
又 ②
綜上所述,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).
定理 如果在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)也在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有或
證 設(shè)自變量x有增量,則相應(yīng)的中間變量有增量,從而有增量() 在x處可導(dǎo)
在x處連續(xù),可知時(shí),必有又已知, 則有
即 或
以上法則也可用于多次復(fù)合的情形。
例如:設(shè)都可導(dǎo),則或記為
例5 的導(dǎo)數(shù)。
分析:可看作復(fù)合而成
解:
例6 求的導(dǎo)數(shù)。
分析:此函數(shù)可看作由與復(fù)合而成
解:
四、練習(xí)
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) (2)y= (3)
(4) (5)
五、歸納小結(jié)
掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。求復(fù)合函數(shù)求
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