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2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上. 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效. 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【詳解】， ∴，則， 故選A． 【點睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題. 2.若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求解即可. 【詳解】．故選D． 【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題． 3.兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解. 【詳解】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D． 【點睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題． 4.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解. 【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70100=0.7．故選C． 【點睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題． 5.函數(shù)在的零點個數(shù)為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點. 【詳解】由， 得或，， ． 在的零點個數(shù)是3， 故選B． 【點睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點個數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題． 6.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出關(guān)于的方程組，求出，再利用通項公式即可求得的值． 【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則， 解得，，故選C． 【點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵。 7.已知曲線在點處的切線方程為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得． 【詳解】詳解： ， 將代入得，故選D． 【點睛】本題關(guān)鍵等到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系。 8.如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ） A. ，且直線是相交直線 B. ，且直線是相交直線 C. ，且直線是異面直線 D. ，且直線是異面直線 【答案】B 【解析】 【分析】 利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題． 【詳解】如圖所示， 作于，連接，過作于． 連，平面平面． 平面，平面，平面， 與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知， ．，故選B． 【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力， 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性。 9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進行運算，可得結(jié)果. 【詳解】輸入的為， 不滿足條件； 不滿足條件； 滿足條件 輸出，故選D． 【點睛】解答本題關(guān)鍵是利用循環(huán)運算，根據(jù)計算精確度確定數(shù)據(jù)分析． 10.已知是雙曲線的一個焦點，點在上，為坐標原點，若，則的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 設(shè)，因為再結(jié)合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結(jié)果. 【詳解】設(shè)點，則①． 又， ②． 由①②得， 即， ， 故選B． 【點睛】本題易錯在忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢。 11.記不等式組表示的平面區(qū)域為，命題；命題.給出了四個命題：①；②；③；④，這四個命題中，所有真命題的編號是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)題意可畫出平面區(qū)域再結(jié)合命題可判斷出真命題. 【詳解】如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由得 即A（2，4），直線與直線均過區(qū)域D， 則p真q假，有假真，所以①③真②④假．故選A． 【點睛】本題將線性規(guī)劃和不等式，命題判斷綜合到一起，截圖關(guān)鍵在于充分利用取值驗證的方法進行判斷。 12.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。? 【詳解】是R偶函數(shù)，． ， 又(0，+∞)單調(diào)遞減， ∴， ，故選C． 【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知向量，則___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果. 【詳解】． 【點睛】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵． 14.記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________. 【答案】100 【解析】 【分析】 根據(jù)題意可求出首項和公差，進而求得結(jié)果. 【詳解】得 【點睛】本題考點為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵。 15.設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標，結(jié)合三角形面積可求出的坐標. 【詳解】由已知可得， ．∴． 設(shè)點的坐標為，則， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐標為． 【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)． 16.學生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________. 【答案】118．8 【解析】 【分析】 根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量. 【詳解】由題意得， ， 四棱錐O?EFG的高3cm， ∴． 又長方體的體積為， 所以該模型體積為， 其質(zhì)量為． 【點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解． 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題： 17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為. （1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）. 【答案】(1) ，；(2) ，. 【解析】 【分析】 (1)由可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù). 詳解】(1)由題得，解得，由，解得. (2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為， 乙離子殘留百分比的平均值為 【點睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題. 18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知． （1）求； （2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計算的定義域，最后求解的值域. 【詳解】(1)根據(jù)題意由正弦定理得，因為，故，消去得。 ，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以. (2)因為是銳角三角形，又由前問，，得到，故又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有.又因,故，故. 故的取值范圍是 【點睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用?？疾榈暮苋?，是一道很好的考題. 19.圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2. （1）證明圖2中的四點共面，且平面平面； （2）求圖2中的四邊形的面積. 【答案】(1)見詳解；(2)4. 【解析】 【分析】 (1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內(nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2) 欲求四邊形的面積，需求出所對應(yīng)的高，然后乘以即可。 【詳解】(1)證：，，又因為和粘在一起. ，A，C，G，D四點共面. 又. 平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證. (2)取的中點，連結(jié).因為，平面BCGE，所以平面BCGE，故， 由已知，四邊形BCGE是菱形，且得，故平面DEM。 因此 在中，DE=1，，故。 所以四邊形ACGD的面積為4. 【點睛】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法。最后將求四邊形的面積考查考生的空間想象能力. 20.已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍. 【答案】(1)見詳解；(2) . 【解析】 【分析】 (1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2) 討論的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍. 【詳解】(1)對求導(dǎo)得.所以有 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增； 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增； 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增. (2) 若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為. 所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當時從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是. 若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為. 所以，而，所以.即的取值范圍是. 綜上得的取值范圍是. 【點睛】(1)這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算.思考量不大，由計算量補充. 21.已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為. （1）證明：直線過定點： （2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程. 【答案】(1)見詳解；(2) 或. 【解析】 【分析】 （1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點. （2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標和的值，最后求出圓的方程. 【詳解】(1)證明：設(shè),,則。又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當時等式恒成立。所以直線恒過定點. (2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得： 化簡得.于是,設(shè)為線段的中點，則 由于，而,與向量平行，所以， 解得或. 當時，，所求圓的方程為; 當時，或，所求圓的方程為. 所以圓的方程為或. 【點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以.思路較為清晰，但計算量不小. （二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題計分 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 22.如圖，在極坐標系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧. （1）分別寫出，，的極坐標方程； （2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標. 【答案】(1) ,, (2) ,,,. 【解析】 【分析】 (1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍. (2)根據(jù)條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標. 【詳解】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點. ， ,. (2)解方程得，此時P的極坐標為 解方程得或，此時P的極坐標為或 解方程得，此時P的極坐標為 故P的極坐標為,,,. 【點睛】此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題. 選修4-5：不等式選講 23.設(shè)，且. （1）求的最小值； （2）若成立，證明：或. 【答案】(1) ；(2)見詳解. 【解析】 【分析】 (1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達到等號成立的條件.(2)恒成立問題，柯西不等式等號成立時構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍. 【詳解】(1) 故等號成立當且僅當而又因，解得時等號成立 所以的最小值為. (2) 因為，所以. 根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當，即時有成立. 所以成立，所以有或. 另解：用反證法. 若或不成立，那么成立，則而左面等號成立當且僅當，又因為所以.故此時,即，與原命題矛盾放 【點睛】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型.