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畢業(yè)論文 題 目 黎曼積分與勒貝格積分的比較 學(xué) 院 **************** 姓 名 **** 專業(yè)班級(jí) ******** 學(xué) 號(hào) ********* 指導(dǎo)教師 提交日期 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果. 本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān). 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 黎曼積分與勒貝格積分的比較 摘 要 本文介紹了黎曼積分和勒貝格積分的概念，通過(guò)對(duì)兩類積分的基本性質(zhì)，可積條件,結(jié)合相關(guān)定理，分析了勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處，并結(jié)合具體實(shí)例，具體說(shuō)明了黎曼積分和勒貝格積分之間的聯(lián)系與區(qū)別. 關(guān)鍵字 黎曼積分； 勒貝格積分；比較；可測(cè)函數(shù)；可積函數(shù). 目錄 引言 1 1 定義 1 1.1黎曼積分的定義 1 1.2 勒貝格積分的定義 2 2 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì) 2 2.1黎曼積分的基本性質(zhì) 2 2.2勒貝格積分的基本性質(zhì) 3 3 黎曼可積與勒貝格可積的條件 4 3.1黎曼可積的條件 4 3.2勒貝格可積的條件 5 4 相關(guān)定理 5 4.1與勒貝格積分有關(guān)的定理 5 4.2與黎曼積分有關(guān)的定理 6 5 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系 6 6 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別 8 7 實(shí)例 10 總結(jié) 11 參考文獻(xiàn) 12 致謝 13 16 黎曼積分與勒貝格積分的比較 引言 勒貝格積分相對(duì)于黎曼積分要遲發(fā)展了半個(gè)世紀(jì).我們知道，黎曼積分在求積、物體質(zhì)心、矩量等問(wèn)題中起著重要作用.黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù)，就從數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序，牛頓-萊布尼茨公式等來(lái)看，在黎曼積分情形所加條件，沒(méi)有勒貝格積分情形那樣方便.而用勒貝格積分處理這一類問(wèn)題是相當(dāng)靈活的.事實(shí)上，如果不用勒貝格測(cè)度概念，數(shù)學(xué)分析中的一些道理很難講清楚.下面就具體比較一下勒貝格積分和黎曼積分的不同處理方法. 1 定義 1.1黎曼積分的定義 設(shè)在上有定義 1） 作劃分.在上添加個(gè)分點(diǎn)得到，將分成個(gè)小區(qū)間，記小區(qū)間的長(zhǎng)度為. 2） 取近似.任取點(diǎn)，用底為 ，高為的矩形面積近似代替小的曲邊梯形的面積. 3） 求和.這些小矩形面積之和為. 4） 取極限.令，當(dāng)時(shí)，極限 存在. 則稱在上黎曼可積，且有 1.2 勒貝格積分的定義 設(shè)是有界可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù) 1） (簡(jiǎn)單函數(shù)的積分) 設(shè)上簡(jiǎn)單函數(shù)，其中等為互不相交的可測(cè)集，等互異，表示的特征函數(shù).和為簡(jiǎn)單函數(shù)在上的積分，并記為 2） (非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分) 取簡(jiǎn)單函數(shù)滿足，另變動(dòng)，定義在上積分為 如果此量為有限，則稱在上可積，否則只說(shuō)在上積分為（這時(shí)在上有積分但不可積）. 3) （一般可測(cè)函數(shù)的積分）對(duì)于一般可測(cè)函數(shù)，當(dāng)與不同時(shí)為時(shí)，定義 在上的積分為 當(dāng)此式右端兩項(xiàng)均為有限項(xiàng)時(shí)，的積分是有限的，稱在上可積. 2 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì) 2.1黎曼積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 若在上黎曼可積，為常數(shù)，則在上黎曼可積，且 . 性質(zhì)2 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 . 性質(zhì)3 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積. 性質(zhì)4 在上黎曼可積的充要條件是:任給，在與 都黎曼可積，且有等式 . 性質(zhì)5 設(shè)為上的黎曼可積函數(shù).若，，則 . 性質(zhì)6 若在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 . 2.2勒貝格積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，，等均可測(cè)且兩兩不相交，則有 . 性質(zhì)2 設(shè)在有界可測(cè)集上可積，則對(duì)任意正數(shù)，有正數(shù)，使當(dāng)時(shí)就有 . 性質(zhì) 3 設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，，等均可測(cè)且兩兩不相交，則 . 性質(zhì) 4 設(shè)在上可積，則對(duì)任何實(shí)數(shù)，也可積，且 . 性質(zhì) 5 設(shè)在，上均可積,則也可積，且 . 性質(zhì) 6 設(shè)在，上均可積,且，則 . 3 黎曼可積與勒貝格可積的條件 3.1黎曼可積的條件 充分條件： 1、若為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則在上黎曼可積. 2、若為定義在上的只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上黎曼可積. 3、若為定義在上的單調(diào)函數(shù)，則在上黎曼可積. 4、若為定義在上的有界函數(shù)，是的間斷點(diǎn)，且，則在上黎曼可積. 充要條件： 設(shè)在上有界 1、在上黎曼可積的充要條件是：在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即 設(shè)為對(duì)的任意分割.由在上有界，它在每個(gè)上存在上、下確界： ， 作和 ，， 則有 . 2、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的一個(gè)分割，使得 . 3、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的某一分割，使得 （其中，稱為在上的振幅）. 必要條件：若函數(shù)在上黎曼可積，則在上必定有界. 3.2勒貝格可積的條件 充分條件： 1、 若是有界可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則在上勒貝格可積. 2、若可測(cè)函數(shù)，在可測(cè)集上幾乎處處滿足，則當(dāng)可積時(shí)，也可積. 3、設(shè)為定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，若黎曼可積，則必然勒貝格可積. 充要條件： 1、設(shè)是可測(cè)集上的有界函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測(cè). 2、設(shè)是可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測(cè). 4 相關(guān)定理 4.1與勒貝格積分有關(guān)的定理 1、（唯一性定理）設(shè)在可測(cè)集上勒貝格可積，則的 充要條件是. 2、（勒維定理）設(shè)可測(cè)集上可測(cè)函數(shù)列滿足下面的條件： ， 則的積分序列收斂于的積分： . 3、（法杜定理）設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則 . 4、（控制收斂定理）設(shè)可測(cè)集上可測(cè)函數(shù)列滿足下面的條件：的極限存在，，且有可積函數(shù)使 ， 則可積，且有 . 4.2與黎曼積分有關(guān)的定理 1（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其極限函數(shù)在上也連續(xù). 2（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 . 3（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若為的收斂點(diǎn)，的每一項(xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則 . 5 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系 1、對(duì)于定義在上的函數(shù)，若它是黎曼可積的，則必然是勒貝格可積的，且 由此可知，通常在計(jì)算勒貝格積分時(shí)，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解.下面先看一個(gè)例子. 例1 計(jì)算在上的積分. 解 用截?cái)嗪瘮?shù)求解 是上的非負(fù)函數(shù)，作截?cái)嗪瘮?shù) 顯然，對(duì)每個(gè)均黎曼可積，故也勒貝格可積，且有 于是 ， 注：上述結(jié)論只對(duì)上的有界函數(shù)成立，對(duì)于無(wú)界函數(shù)的廣義積分，結(jié)論不再成立. 例2 在上定義函數(shù) 其反常積分的值為，但，不是勒貝格可積的.但對(duì)于非負(fù)有界函數(shù)的黎曼反常積分，若在上黎曼反常積分存在，則必勒貝格可積的，且積分值相等. 2、 勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積 例3 在上定義狄利克雷函數(shù)： 就不是黎曼可積的.事實(shí)上，對(duì)區(qū)間的任意分劃，一切積分大和等于，一切積分小和等于.因而不可能是黎曼可積的.但是，注意到，就知道的勒貝格積分存在且等于. 3、 勒貝格積分是一定意義下黎曼積分的推廣（測(cè)度是長(zhǎng)度的推廣，可測(cè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣） 注：勒貝格積分并不是單純的對(duì)黎曼積分的推廣 例4 設(shè)函數(shù)定義在上，由于在廣義積分理論有，從而是黎曼可積的，但是在勒貝格積分理論中，由于，即非絕對(duì)可積，故不是勒貝格可積的. 6 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別 1、 就可積函數(shù)的積分范圍來(lái)看，勒貝格積分比黎曼積分更廣泛. 對(duì)定義域和值域的劃分是黎曼積分與勒貝格積分最本質(zhì)的區(qū)別.黎曼積分是將給定的函數(shù)劃分定義域而產(chǎn)生的，而勒貝格積分是通過(guò)劃分函數(shù)值域而產(chǎn)生的. 黎曼積分劃分后的區(qū)間長(zhǎng)度很容易給出，但當(dāng)分割的細(xì)度加細(xì)時(shí)，函數(shù)的振幅仍可能較大，而勒貝格積分的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)的振幅較小，從而擴(kuò)展了可積函數(shù)類，使許多問(wèn)題得到解決.但一般不再是區(qū)間，而是可測(cè)集，其度量一般不容易給出.然而就是這一點(diǎn)點(diǎn)差別，使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具有的良好性質(zhì).因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的 2、 從某些極限過(guò)程來(lái)看，勒貝格積分比黎曼積分更優(yōu)越些. 對(duì)黎曼積分來(lái)說(shuō)，關(guān)于積分列求極限的問(wèn)題，經(jīng)常要求函數(shù)序列一致收斂（充分條件），極限才可以與積分號(hào)交換順序.從運(yùn)算的角度看不僅不方便，限制也過(guò)強(qiáng).然而關(guān)于勒貝格積分，對(duì)函數(shù)列的要求就寬的多. 例5 在上定義狄利克雷函數(shù)： 把中的有理點(diǎn)依次排列為 作函數(shù)： 則處處收斂于，且，.由勒貝格控制收斂定理知，是勒貝格可積的，且有 . 但由例3知，不是黎曼可積的，就談不上上述極限等式成立的可能性.盡管在黎曼積分意義下， ， . 3、 微積分基本定理的使用范圍擴(kuò)大了. 我們來(lái)看數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茨公式 在數(shù)學(xué)分析中通常在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的假定下證明上述公式，或者將條件減弱些，但總要求為黎曼可積才行.可是對(duì)于勒貝格積分情形，可以在為勒貝格可積的條件下進(jìn)行討論.當(dāng)有界時(shí)，證明微積分基本定理并不難，但當(dāng)無(wú)界時(shí)，只要是可積的，微積分基本定理成立. 4、 黎曼積分和勒貝格積分的可加性（區(qū)域可加性）不同. 由前面黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)知道，黎曼積分具有有限可加性，但沒(méi)有可列可加性，而對(duì)于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，還具有可列可加性.克服了黎曼積分的缺陷.對(duì)于這兩種積分的可加性不難理解，我們知道，黎曼積分建立在區(qū)間之上，而區(qū)間只有有限可加性，勒貝格積分建立在勒貝格測(cè)度之上，測(cè)度具有可列可加性，由于它們之間的密切聯(lián)系，區(qū)間和勒貝格測(cè)度也就反映到相應(yīng)的積分上來(lái)了. 7 實(shí)例 因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的優(yōu)越性，所以我們平時(shí)用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問(wèn)題. 例6 計(jì)算上黎曼函數(shù) 的積分. 分析：這個(gè)函數(shù)在所有無(wú)理點(diǎn)處是連續(xù)的，在有理點(diǎn)處是不連續(xù)的，雖然在中有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，但它仍是黎曼可積的，但用黎曼積分方法求其積分值比較復(fù)雜，然而用勒貝格積分的方法求積分值就十分簡(jiǎn)單了. 解 由是黎曼可積幾乎處處連續(xù)，令，，則 例7 求極限 . 解 因?yàn)橛? 且有 由勒貝格控制收斂定理可得 . 利用勒貝格積分可得出黎曼積分比較深刻的理論，其中之一就是黎曼可積條件的推廣.利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明：對(duì)上有界函數(shù)，黎曼可積的充分必要條件是在上不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度長(zhǎng)為，這是黎曼積分的本質(zhì)特性，從黎曼積分的自身理論是推不出來(lái)的，必須借助勒貝格積分理論才能得到.但是，黎曼積分也有它的優(yōu)勢(shì)，比如在非均勻分布時(shí)，“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等的問(wèn)題上，用黎曼積分比較簡(jiǎn)潔方便. 總結(jié) 1 勒貝格積分和黎曼積分之間有一種相互依賴、相互補(bǔ)充及特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系. 2 勒貝格積分拓寬了黎曼積分的定義，使得可積性的條件要求減弱了. 3 勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處.它，放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過(guò)強(qiáng)要求，由勒貝格控制收斂定理，只要所給函數(shù)列可測(cè)、有界、收斂，積分與極限就可交換次序. 4 勒貝格積分并沒(méi)有完全否定黎曼積分，它把黎曼積分作為一種特例加以概括，并在一定條件下勒貝格積分可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分.由此可見(jiàn)，黎曼積分和勒貝格積分各有自己的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值. 參考文獻(xiàn) [1] 鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010 [2] 周成林.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系[J]. 河南：新鄉(xiāng)教育學(xué)報(bào).2005:(18)75-76 [3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010 [4] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2001:158-173 [5] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004 [6] 那湯松.實(shí)變函數(shù)論（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，1959 致謝 在論文結(jié)束之際，首先要感謝我的論文指導(dǎo)老師高忠社老師對(duì)我的幫助與支持，感謝他在忙碌的教學(xué)工作中擠出時(shí)間來(lái)審查、修改我的論文，沒(méi)有他全程的幫助和指導(dǎo)，我是不會(huì)有這樣的結(jié)果的. 此外，我還要感謝數(shù)學(xué)學(xué)院所有老師們的幫助和教導(dǎo)，你們教給我的知識(shí)真的讓我受益匪淺，非常感謝您們.由于我的知識(shí)有限，所以難免會(huì)有一些問(wèn)題，希望各位老師批評(píng)指正. 最后，我要感謝給予我支持和幫助的同學(xué)、朋友，感謝他們?yōu)槲姨岢龅挠幸娴慕ㄗh和意見(jiàn)，有了他們的鼓勵(lì)，我才能充實(shí)的度過(guò)了四年的學(xué)習(xí)生活！