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北師大版九年級上冊 第一章 1.3 正方形的性質(zhì)與判定 姓名:________ 班級:________ 成績:________ 一、單選題 1 . 如圖，等腰直角與正方形DEFG位于直線l上，點B與點G重合，.將沿l向右以每秒1個單位的長度平移，直到點A與點D重合為止.記平移的時間為x（秒），與正方形DEFG重疊部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ） A． B． C． D． 2 . 如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5，則BE的長為（ ） A． B．2 C．4﹣4 D．4﹣2 3 . 下列條件可以利用定義說明平行四邊形是正方形的是（ ） A． B． C． D．以上均錯 4 . 如圖，在正方形ABCD中，作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為（ ） A．10 B．15 C．12.5 D．20 5 . 下列說法中，正確的是（ ） A．三點確定一個圓 B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 6 . 下列說法中，錯誤的是（ ） A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 C．有三條邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的矩形是正方形 7 . 要使矩形ABCD為正方形，需要添加的條件是（ ） A．AB=BC B．AD=BC C．AB=CD D．AC=BD 8 . 如圖，在△ABC中，∠B = 60，∠EDC =∠BAC，且D為BC的中點，DE = CE，則AE︰AB的值為（ ）． A． B． C． D．無法確定 9 . 下列命題中，假命題是（ ） A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 10 . 如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，則下列判斷錯誤的是（ ） A．四邊形AEDF一定是平行四邊形 B．若AD平分∠A，則四邊形AEDF是正方形 C．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形 D．若∠A＝90，則四邊形AEDF是矩形 11 . 如圖，?ABCD的邊長為8，面積為32，四個全等的小平行四邊形對稱中心分別在?ABCD的頂點上，它們的各邊與?ABCD的各邊分別平行，且與?ABCD相似．若小平行四邊形的一邊長為x，且0＜x≤8，陰影部分的面積的和為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 12 . 如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形的邊在軸上，邊的中點是坐標原點，將正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后，點的對應點的坐標是（ ） A． B． C． D． 13 . 下列命題中是假命題的是（ ） A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 14 . 如圖，下列結(jié)論：①四邊形是平行四邊形，且；②四邊形是平行四邊形，且；③四邊形是矩形，且；④四邊形是菱形，且．其中能推出四邊形為正方形的有（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 15 . 下列命題中，屬于真命題的是（ ） A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直平行的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D．對角線互相平分且相等的四邊形是正方形 16 . 如圖，∠MON=90，線段AB的長是一個定值，點A在射線OM上，點B在射線ON上．以 AB為邊向右上方作正方形ABCD，對角線AC、BD交于點P，在點A從上往下，點B從左到右運動的過 程中，下列說法正確的是（ ） A．點P始終在∠MON 的平分線上，且線段OP的長有最大值等于AB B．點P始終在∠MON 的平分線上，且線段OP的長有最大值等于AB C．點P不一定在∠MON 的平分線上，但線段OP的長有最小值等于AB D．點P不一定在∠MON 的角平分線上，但線段OP的長有最小值等于AB 二、填空題 17 . 在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=B A．其中正確的序號是_____． 18 . 矩形的對角線，相交于點，請你添加一個適當?shù)臈l件，使其成為正方形（只填一個即可）． 19 . 如圖，在圖1中，A1，B1，C1分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點，在圖2中，A2，B2，C2分別是△A1B1C1的邊B1C1，C1A1，A1B1的中點，…，按此規(guī)律，則第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)共有____個． 20 . E為正方形ABCD的對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC=_____． 21 . 如圖，將正方形ABCD 繞點A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形AB C D ，旋轉(zhuǎn)角為a（ 0＜a＜ 180），連接B D 、C D ，若B D =C D ，則a =____． 22 . 如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若再補充一個條件能使菱形ABCD成為正方形，則這個條件是____________．(補充一個即可) 23 . 如圖所示，把一張長方形紙片沿折疊后，點分別落在點的位置．若，則等于________． 三、解答題 24 . 如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，是延長線上的點，且為等邊三角形. （1）四邊形是菱形嗎?請說明理由； （2）若，試說明：四邊形是正方形. 25 . 觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E． （1）求證：△AEC≌△CDB； （2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積； （3）拓展提升：如圖3，∠E=60，EC=EB=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結(jié)OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間． 26 . 通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有密切的聯(lián)系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學習了它的求解方法和應用。如圖1，矩形中，在上，且，點從點出發(fā)，以1個單位每秒的速度在邊上向點運動，設(shè)點的運動時間為秒。 （1）的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出時的值； （2）在點從點向運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由； （3）如圖2，分別是的中點，在點從向運動的過程中，線段掃過的圖形是什么形狀_________________，并直接寫出它的面積___________________________。 27 . 閱讀材料，并回答下列問題 如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180，可以變換到△ABD的位置； 如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個三角形是另一個三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學習小組針對三角形的全等變換進行了探究和討論 （1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），　?。? （2）如圖2，前進小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝　　． （3）如圖3，圓夢小組展開了探索活動，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A′的位置，且得出一個結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請你對這個結(jié)論給出證明． （4）如圖4，奮進小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部點A′的位置，此時∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明． 28 . 已知點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝O A． (1)如圖1，若點O在邊BC上，求證：∠ABC＝∠ACB； (2)如圖2，若點O在△ABC的內(nèi)部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？并說明理由； (3)若點O在△ABC的外部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？請畫圖表示． 29 . 如圖，中，，，為的中線，作于，點在延長線上，，連接、． 求證：四邊形為菱形； 把分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若，求兩條分割線段長度的和． 30 . 在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90，點D為直線BC上的一個動點(不與B、C重合)，連結(jié)AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，使點A旋轉(zhuǎn)到點E，連結(jié)EC． (1)如果點D在線段BC上運動，如圖1： ①依題意補全圖1； ②求證：∠BAD＝∠EDC； ③通過觀察、實驗，小明得出結(jié)論：在點D運動的過程中，總有∠DCE＝135，． 小明與同學討論后，形成了證明這個結(jié)論的幾種想法： 想法一：在AB上取一點F，使得BF＝BD，要證∠DCE＝135，只需證△ADF≌△DEC． 想法二：以點D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點F，要證∠DCE＝135，只需證△AFD≌△DC A． 想法三：過點E作BC所在直線的垂直線段EF，要證∠DCE＝135，只需證EF＝C B． 請你參考上面的想法，證明∠DCE＝135 (2)如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖2畫圖分析，∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎？如果是，直接寫出∠DCE的度數(shù)；如果不是，說明理由． 31 . 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，連接CF． (1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形； (2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF為正方形，請你添加適當?shù)臈l件并證明你的結(jié)論． 第 12 頁 共 12 頁 參考答案 一、單選題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 二、填空題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 三、解答題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、