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《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)目標(biāo)分析 1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合以前學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學(xué)生體會(huì)完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問(wèn)題的過(guò)程中更深入的理解定理及其作用。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力和探索數(shù)學(xué)規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的精神。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。 難點(diǎn)：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程；②已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。 三、教法與學(xué)法分析 本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識(shí)有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為更有效的突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)中采用探究式課堂教學(xué)模式，首先從學(xué)生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，將新知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)建立起密切的聯(lián)系，通過(guò)學(xué)生自己的親身體驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用新知識(shí)解決新問(wèn)題，即在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，通過(guò)猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學(xué)過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐，通過(guò)對(duì)定理的推導(dǎo)、解讀、應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、總結(jié)、歸納解答過(guò)程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學(xué)法上，采用個(gè)人探究、教師講解，學(xué)生討論相結(jié)合的方法，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中學(xué)習(xí)，自覺(jué)運(yùn)用觀察、類(lèi)比、歸納等思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重視學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 四、學(xué)情分析 對(duì)于高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時(shí)，由于學(xué)生目前還沒(méi)有學(xué)習(xí)平面向量，因此，對(duì)于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒(méi)有涉及到。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。 五、教學(xué)工具 多媒體課件 六、教學(xué)過(guò)程 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半。上課一開(kāi)始，我先提出問(wèn)題： 工人師傅的一個(gè)三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，，AB的長(zhǎng)為1m，但他不知道AC和BC的長(zhǎng) 是多少而無(wú)法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長(zhǎng)度嗎？ 教師：請(qǐng)大家思考，看看能否用過(guò)去所學(xué)過(guò)的知識(shí)解決 　　　這個(gè)問(wèn)題？（約2分鐘思考后學(xué)生代表發(fā)言） 學(xué)生活動(dòng)一: （教師提示）把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長(zhǎng)”，本題是通過(guò)三角形中已知的邊和角來(lái)求未知的邊和角的這個(gè)過(guò)程，我們把它習(xí)慣上叫解三角形，要求邊的長(zhǎng)度，過(guò)去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。 學(xué)生：如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高,垂直記作D 然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識(shí)可分別求出CD和BD的長(zhǎng)度，把所求出的CD和BD的長(zhǎng)度相加即可求出BC的長(zhǎng)度。 教師：這位同學(xué)的想法和思路非常好，簡(jiǎn)直是一位天才 （同時(shí)再一次回顧該同學(xué)具體的做法） 教師：能否像求AC的方法一樣對(duì)BC進(jìn)行求解呢？ 學(xué)生：可以 教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？ 學(xué)生：過(guò)點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖： 接下來(lái)，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長(zhǎng)度 教師：總結(jié)學(xué)生的做法 通過(guò)作兩條高線(xiàn)后，即可把AC、BC的長(zhǎng)度用已知的邊和角表示出來(lái) 接下來(lái)，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。 定理的發(fā)現(xiàn)： 教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50o，B＝80o大家又該怎么做 呢？ 學(xué)生1：同樣的做法（仍得作高） 學(xué)生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長(zhǎng)度 教師：還需要再次作高嗎？ 學(xué)生：不用 教師：對(duì)于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長(zhǎng)”的問(wèn) 題是否都可以用上述兩個(gè)等式進(jìn)行解決呢？ 學(xué)生：可以 教師：既然這兩個(gè)等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個(gè) 等式，以后若是再遇見(jiàn)銳角三角形中的這種問(wèn)題，直接應(yīng)用這兩個(gè)等式 并進(jìn)行代入求值即可。 教師：大家看看，這兩個(gè)等式的形式是否容易記憶呢？ 學(xué)生：不容易 教師：能否美化這個(gè)形式呢？ 學(xué)生：美化之后可以得到： （定理） 教師：銳角三角形中的這個(gè)結(jié)論，到底表達(dá)的是什么意思呢？ 學(xué)生：在銳角三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等 教師：那么銳角三角形中的這個(gè)等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來(lái)就 讓我們分別來(lái)驗(yàn)證一下，看看這個(gè)等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。 定理的探索： 教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則： 所以： 故： 即： 在直角三角形中也成立 教師：那么這個(gè)等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗(yàn)證呢？請(qǐng)大家思考。 學(xué)生活動(dòng)二：驗(yàn)證 在鈍角三角形中是否成立 教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值 必須把A、B放在直角三角形中 即就是要作高（可利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為） 學(xué)生：學(xué)生可分小組進(jìn)行完成，最終可由各小組組長(zhǎng) 匯報(bào)本小組的思路和做法。（結(jié)論成立） 教師：我們?cè)阡J角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)等式成立，接下來(lái)，用類(lèi)比的方法對(duì) 它分別在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)等式對(duì)于 任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時(shí)能否說(shuō)：“這 個(gè)等式對(duì)于任意的三角形都成立”呢？ 學(xué)生：可以 教師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的《正弦定理》（引出課題） 定理的證明 教師：展示正弦定理的證明過(guò)程 證明：（1）當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC邊 上的高線(xiàn)，垂直記作D，過(guò)點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖： 同理可得： 所以易得 （2）當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)； 在直角三角形ABC中：若 因?yàn)椋? 所以： 故： 即： （3）當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)（角C為鈍角） 過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高線(xiàn)，垂直記作D 由三角形ABC的面積可得 即： 故： 所以，對(duì)于任意的三角形都有 成立。 教師：這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的正弦定理（給出定理的內(nèi)容） （解釋定理的結(jié)構(gòu)特征） 思考：正弦定理可以解決哪類(lèi)問(wèn)題呢？ 學(xué)生：在一個(gè)等式中可以做到“知三求一” 定理的應(yīng)用 教師：接下來(lái)，讓我們來(lái)看看定理的應(yīng)用（回到剛開(kāi)始的那個(gè)實(shí)際問(wèn)題，用正弦 定理解決）（板書(shū)步驟） 隨堂訓(xùn)練 學(xué)生：獨(dú)立完成后匯報(bào)結(jié)果或快速搶答 教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實(shí)正弦定理的應(yīng)用相 當(dāng)廣泛，那么它到底可以解決什么問(wèn)題呢，這里我送大家四句話(huà)：“近測(cè) 高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.” 以這四句話(huà)把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮） 課堂小結(jié)： 1、知識(shí)方面：正弦定理： 2、其他方面： 過(guò)程與方法：發(fā)現(xiàn) 推廣 猜想 驗(yàn)證 證明 （這是一種常用的科學(xué)研究問(wèn)題的思路與方法，希望同學(xué)們?cè)诮? 后的學(xué)習(xí)中一定要注意這樣的一個(gè)過(guò)程） 數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、從特殊到一般 作業(yè)布置： ①書(shū)面作業(yè)：P527 ②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等） ③思考、探究：若將隨堂訓(xùn)練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？ 板書(shū)設(shè)計(jì)： 1、定理： 2、探索： 3、證明： 4、應(yīng)用： 檢測(cè)評(píng)估：