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[教學目標] 理解常量、變量以及函數(shù)概念，了解初等函數(shù)和分段函數(shù)的概念。熟練掌握求函數(shù)的定義域、函數(shù)值的方法，掌握將復(fù)合函數(shù)分解成較簡單函數(shù)的方法。了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的基本特征和簡單性質(zhì)。了解極限、無窮小（大）量的有關(guān)概念，掌握求極限的常用方法。了解函數(shù)連續(xù)性概念，會求函數(shù)的間斷點。理解導(dǎo)數(shù)概念，會求曲線的切線方程，熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)數(shù)的常用方法，會求簡單的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。知道微分概念，會求微分。會求二階導(dǎo)數(shù)。 [重難點]函數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的計算 [教學內(nèi)容] 第一編 微分學 第1章 函數(shù) 一、試著回答下列問題： 問題1：在某過程中由兩個變量，其中一個量x變，另一個量y也變，那么變量y是變量x的函數(shù)，此話對嗎？ 問題2：一個函數(shù)可以由哪些要素唯一確定？ 問題3：函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域中的任意兩個因素，是否可將函數(shù)唯一確定呢？ 問題4：如果y是x的函數(shù)y=f(x)，是否y與x之間的關(guān)系只能用一個解析式子表示？ 答：問題1：不對。根據(jù)函數(shù)定義，變量x變，變量y也變，并沒有說明y是如何隨x的變化而變化，也沒有說明每給x一個值，就有唯一的y值與之對應(yīng)，因此還不能說y是x的函數(shù)。 問題2：任一函數(shù)，都可由其定義域D和對應(yīng)關(guān)系f這兩個要素確定。有的教材講，確定函數(shù)有三個要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，實際上，只要定義域和對應(yīng)關(guān)系確定了，值域也就隨之確定了。 問題3：不一定。例如y=sinx與y=cosx，它們的定義域相同，值域也相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，它們不是同一個函數(shù)。 問題4：不一定。表示函數(shù)的方法有：公式法、圖示法和列表法。即使對于公式法，也不一定必須用一個解析式表示，如分段函數(shù)： 包含了兩個式子，但分段函數(shù)仍是一個函數(shù)。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、函數(shù)概念 1、 常量與變量——在所研究的問題中，保持同一確定數(shù)值的量，稱為常量。而能取不同數(shù)值的量，稱為變量。 注意：常量與變量是相對的，條件改變時，可以相互轉(zhuǎn)化。 2、函數(shù)定義： y=f(x) x 其中x叫做自變量，y叫做因變量，x的變域D稱為函數(shù)的定義域。用圖示說明如下： Y D （ y的變化范圍） （x的變化范圍） 函數(shù)的實質(zhì)是兩個變量（x與y）及其對應(yīng)規(guī)則f( ) （二）、初等函數(shù) 微積分研究的對象主要是初等函數(shù)，但初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)構(gòu)成的。 1、 基本初等函數(shù) 常數(shù)函數(shù) y=C (C是常數(shù)) 冪函數(shù) y=xa （a為實數(shù)） 指數(shù)函數(shù) y=ax (a>0,a≠1) 對數(shù)函數(shù) y=log ax (a>0,a≠1) 三角函數(shù) y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx 2、 復(fù)合函數(shù) y=f(u),u=φ(x)且u=φ(x)的值域是y=f(u)的定義域的子集，則y是x的復(fù)合函數(shù)： y=f[φ(x)]. y u 其各量的關(guān)系圖示如下： 3、 初等函數(shù) 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 注意：要掌握好將一個初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù)，其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解，切忌漏層。 4、 常見函數(shù)的定義域的基本求法 求一元函數(shù)y=f(x)的定義域D，即是求使函數(shù)有意義的自變量x的變化范圍。 常見解析式的定義域求法有： （1）、分母不能為零； （2）、偶次根號下非負； （3）、對數(shù)式中的真數(shù)恒為正； （4）、分段函數(shù)的定義域應(yīng)取各分段區(qū)間定義域的并集。 5、 對應(yīng)規(guī)則f( ) 從以上分析，對應(yīng)規(guī)則f( )往往表現(xiàn)為各種運算，已知f( ) 求f( a)，只須用a取代x，代入對應(yīng)規(guī)則運算即成。但應(yīng)注意分段函數(shù)不同區(qū)間有不同的對應(yīng)規(guī)則。 （三）、函數(shù)的奇、偶性 判斷函數(shù)y=f(x)的奇、偶性常見有以下方法： （1）、定義法：即在對稱區(qū)間上若滿足f(-x)=f(x) ，則y=f(x)為偶函數(shù)，若滿足f(-x) = -f(x) ，則y=f(x)為奇函數(shù)，否則y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。 （2）、符合法：記偶為②，記奇為①，則有： ②②＝②，②②＝② ①①＝②，①①＝② ②①＝①，②①＝① 即“同號”相乘除為②，“異號” 相乘除為①。 記住這些常見函數(shù)的奇、偶性，用符合法可以判斷很多函數(shù)的奇、偶性。 （3）、圖象法： 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱 圖象法即利用奇函數(shù)關(guān)于原點對稱、偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱來判斷函數(shù)的奇、偶性。 （四）、經(jīng)濟中常用的函數(shù) 1、需求函數(shù)：qd =q(p), qd——需求量，p——價格 2、供給函數(shù)：qs=q(p), qs——需求量，p——價格 3、總成本函數(shù)：C(x)=C1+C2(x), q——產(chǎn)量 C1為固定成本，C2(x)為變動成本 4、收入函數(shù)：R(q)=q.p(q), q——銷售量，p——價格 6、 利潤函數(shù)：L（q）=R(q) －C(q) 三、重點、難點： 重點：1、函數(shù)y=f(x)的兩要素； 2、 函數(shù)的奇偶性； 3、 基本初等函數(shù)； 4、 經(jīng)濟中常用的函數(shù)。 難點：經(jīng)濟中常用的函數(shù)。 四、實例分析： 例1、 求下列函數(shù)定義域 （1）、分析：應(yīng)同時要求分母≠0，偶次根號下非負，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使： （2）、分析：要求分母≠0且對數(shù)真數(shù)>0、偶次根號下非負，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使： 對照練習1、求下列函數(shù)定義域： 例2、求分段函數(shù)的定義域： 分析：分段函數(shù)的定義域應(yīng)是各段定義域的并集 對照練習2、求分段函數(shù)的定義域： 例3、 函數(shù)f(x)的定義域是[1，2]，求函數(shù)f(x+1)的定義域。 分析：已知f(x)的定義域為[1，2]， ∴ 有f(x+1)的定義域要求1≤x+1≤2, 即0≤x≤1, 即f(x+1)的定義域為D=[0，1] 對照練習3、函數(shù)f(x)的定義域是[2，3]，求函數(shù)f(x+1)的定義域。 例4、 設(shè)g（t）=t3－6,求g（t2）, [g（t）]2 分析：函數(shù)關(guān)系為g( )=( )3－6，（1）用t2代t，即求出g（t2）；（2）求[g（t）]2即是求該函數(shù)的平方。 解：g（t2）＝(t2 )3－6＝t6－6 [g（t）]2=（ t3－6）2 對照練習4、設(shè)f(x)= x2+5,求f(1/x)，f[f(x)] 求f(0) ，f(2) ，f(4) 分析：求分段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)將自白變量的取值代入所在區(qū)間對應(yīng)的表達式中。 解：f(0)= 02+1=1 f(2) 無意義 （2不在f(x)的定義域內(nèi)） f(4)=9－42=－7 對照練習5、在上例中，求f(1) ，f(5) 例6、下列函數(shù)對中，（ ）表示相同函數(shù) 分析：兩個函數(shù)相同是當且僅當其定義域和對應(yīng)規(guī)則分別相同。 解：選擇A，因為f(x)與g(x)的定義域均為（-∞，+∞），對應(yīng)規(guī)則也相同（∵sin2x+cos2x=1） 對照練習6、下列函數(shù)對中，（ ）表示相同函數(shù) 例7、找出下列函數(shù)的奇函數(shù) 對照練習7、找出下列函數(shù)的偶函數(shù) 例8、某廠生產(chǎn)一種元器件，設(shè)計能力為日產(chǎn)100件，每日的固定成本為150元，每件的平均可變成本為10元。 （1）、試求該廠此元器件的日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)； （2）、若每件售價14元，試寫出總收入函數(shù)； （3）、試寫出利潤函數(shù)。 解：設(shè)總成本函數(shù)為C（q）,平均成本函數(shù)為A(q),總收入函數(shù)為R(q),利潤函數(shù)為L（q） 其中：q為生產(chǎn)量（銷售量），則有： （1）、C（q）=固定成本+變動成本 =150+10q，（0≤q≤100） A(q)= C（q）／q=150／q ＋10 （2）、R(q)=14q （3）、L（q）= R(q)－C（q） =14q－(150 ＋10q) =4q－150 對照練習8、已知某產(chǎn)品固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加50元，則生產(chǎn)q件產(chǎn)品的平均成本為何函數(shù)？ 五、問題解答： 對照練習答案 第2章 一元函數(shù)微分學 第一部分 極限與連續(xù) 一、試著回答下列問題： 問題1：什么是函數(shù)的極限過程？函數(shù)的極限過程是用什么指標來衡量的？為什么說函數(shù)極限存在與否取決于函數(shù)極限過程？ 問題2：設(shè)有函數(shù)y＝f(x)＝3x－2，當x→2時，f(x)＝3x－2→4，而f(2)＝4，即f(x)在x＝2的函數(shù)值f(2)＝4，這兩件事有什么不同？ 問題3：怎樣直觀描述函數(shù)的極限？ 問題4：能否直接稱是無窮大量或無窮小量呢？ 答：問題1：因為微積分研究的是變量間的變化關(guān)系，也就是函數(shù)關(guān)系，而在極限中往往用自變量x的變化去刻畫變化過程，去研究相應(yīng)的函數(shù)f(x)的變化趨勢，所以函數(shù)的極限過程是指：函數(shù)的自變量x的變化過程。而自變量x的變化過程有各種情形： x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞ 等等。 顯然，函數(shù)y＝f(x)的變化趨勢，或存在極限或不存在極限都與極限過程有關(guān)，也就是與自變量x的各種變化過程有關(guān)，同一函數(shù)y＝f(x)對不同極限過程就有不同的變化趨勢。 例如：y＝f(x) ＝1／x，當x→1時，f(x) →1； 當x→1／2時，f(x) →2 等等。 問題2：當x→2時，y＝f(x)＝3x－2的值如下表： x 1．9 1．99 1．999 1．9999 2．0001 2．001 2．01 2．1 3x－2 3．7 3．97 3．997 3．9997 4．0003 4．003 4．03 4．3 由此可以看出：當x→2時，（包括小于2和大于2的值），y＝f(x)＝3x－2→4。 在討論x趨于2時，y＝f(x)＝3x－2的極限過程中，并未提及y＝f(2)＝4這一事實，其原因在于y＝f(2)描寫的是x ＝2時 y＝f(x)的值，而我們所研究的卻是當x趨于2時y＝f(x)的變化，這是兩碼事。即在本例中，兩種不同的概念得到是相同的值，注意這是不應(yīng)混淆的兩件不同的事。 這表明這兩種不同的概念有時產(chǎn)生不同的結(jié)果。 問題3：由上述兩個問題我們有：定義——如果當x取值趨近于α時，f(x)趨近于一個單一的值A(chǔ)或在A值上保持不變，則稱A是當x趨近于α時函數(shù)y＝f(x)的極限，這時可寫成 問題4：顯然不然。比如：若x→∞時，則即是無窮小量；又若x→0時，則即是無窮大量?？梢?，極限過程不相同，那么函數(shù)極限一般也不同，因此，所謂的無窮大量或無窮小量是相對某一極限過程而言。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、函數(shù)極限 極限過程：即x 無限接近○ 極限值：即在所給極限過程中，f(x)無限接近A 某函數(shù) 極限符號：即無限接近 1、 描述性定義： 注意：①、以上是一個符號系統(tǒng)，構(gòu)成極限定義，缺一不可； ②、弄懂定義的關(guān)鍵是聯(lián)系函數(shù)圖像，看懂在同一變化過程中自變量與因變量兩個無限變化趨勢； ③、極限過程x→○是指： x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞ 中的一種。 2、 極限存在的充要條件 3、 窮小量與無窮大量 以零我極限的變量稱為無窮小量； 絕對值越來越大且趨于正無窮大的變量稱為無窮大量。 無窮小量與無窮大量的關(guān)系是： （即關(guān)系互倒） 無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量。 4、 極限的四則運算 對某一極限過程x→○， 若limu＝A，limv＝B，則有： 1、 lim(uv) ＝limulimv＝AB； 2、 lim(uv) ＝limulimv＝AB 若v＝c (c是常量)，有l(wèi)im(cu) ＝climu＝cA； ⑶、 推論：①、limun＝(limu)n ＝An，（n為自然數(shù)） ②、lim，（n為自然數(shù)） ③、limC＝C，（C是常數(shù)） 5、 兩個重要極限 ⑴、 ⑵、 或 注：這里教材中相應(yīng)公式原來x的位置，統(tǒng)統(tǒng)被“○”取代，它可以是任一有意義的函數(shù)，這時的公式實際比原公式應(yīng)用更廣。并給學生提供了想象空間，不具體給出函數(shù)形式。 （二）、連續(xù)與間斷 1、 點連續(xù) 在點連續(xù)的這一定義中，一下三個條件要同時滿足： ⑴、f(x)在點x0的某一鄰域有定義； ⑵、f(x)在點x0有極限； ⑶、f(x)在點x0的極限等于函數(shù)值。 2、 間斷點——函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點； 3、 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 4、 利用連續(xù)性求極限： 三、重點、難點： 重點：1、函數(shù)極限（特別是“”、“”型） 3、 兩個重要極限的計算； 4、 無窮大、無窮小的概念、性質(zhì)和關(guān)系。 難點：點連續(xù)及間斷點的判斷。 四、實例分析： 理解并掌握下列極限的計算方法： l 極限的四則運算法則； l 兩個重要極限； l 函數(shù)的連續(xù)性。 具體計算時要注意上述法則或方法成立的條件，否則會在運算出現(xiàn)錯誤。 例1 求下列極限 （1） （2） （3） （4） 解（1）當時分式的分子、分母的極限都不存在，不能用極限的除法法則，由教材中公式（2.2.4）可直接得到結(jié)果，即 (2) 當時分式的分子、分母的極限都為0，且分子中含有無理根式。遇到此情形需先將根式有理化，即有 = （3）當時分式的分子、分母的極限都為0，且分式的分子、分母均為的二次多項式，遇到此情形需先分解因式，消去極限為零的因式再用除法法則。即 （4）先進行恒等變形，在利用第2個重要極限。即 對照練習1、求下列極限 （1） （2） （3） （4） 五、問題解答： 對照練習1、答案 ⑴、 ⑵、 ⑶、 ⑷、e2 第二部分 導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 一、試著回答下列問題： 問題1：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系及區(qū)別？ 問題2：可導(dǎo)、連續(xù)、極限存在三者之間的關(guān)系如何？ 問題3：函數(shù)的極值點、駐點和不可導(dǎo)點的關(guān)系如何？ 問題4：導(dǎo)數(shù)有哪些方面的應(yīng)用？學習中應(yīng)注意些什么？ 答：問題1：⑴、導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是兩個不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點附近的性質(zhì)，實質(zhì)就是函數(shù)對自變量在某點的變化速度；而導(dǎo)函數(shù)反映函數(shù)的一般規(guī)律。⑵、導(dǎo)數(shù)定義的是一個常量，導(dǎo)函數(shù)仍是一個函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)f’(x)在某點x0處的導(dǎo)函數(shù)值f’(x0)。因此可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求某點的導(dǎo)數(shù)值。 問題2：y=f(x)在x0處有： 可導(dǎo)→連續(xù)→存在 ↓ f(x)在點x0必有定義 但反方向的箭頭結(jié)論不一定成立。 問題3：駐點及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點x0即不可導(dǎo)點（但是連續(xù)點）是極值點的可疑點，但它們不一定是極值點；可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是駐點。 問題4：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用非常廣泛，而需要我們掌握的有：⑴、利用一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點的切線方程；⑵、判別函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值；⑶、邊際分析、求解經(jīng)濟應(yīng)用問題的最值：成本最低、利潤最大等等；⑷、求需求彈性。 求解經(jīng)濟應(yīng)用題的極值，關(guān)鍵是利用所掌握的有關(guān)知識列出目標函數(shù)，注意函數(shù)必須是一元的，若有兩個自變量，必須將其中之一轉(zhuǎn)化。求解時所用方法仍是求函數(shù)極值的方法。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、導(dǎo)數(shù)的概念: 1、 導(dǎo)數(shù)的定義: ①、 點導(dǎo)數(shù)： ②、 導(dǎo)函數(shù)： 兩者的關(guān)系： ，即點導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值。 點導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)均簡稱為導(dǎo)數(shù)。 ③、左、右導(dǎo)數(shù)： 左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 關(guān)系：存在且相等。 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點x處的變化率。 2、 導(dǎo)的幾何意義： 是曲線處切線的斜率。 曲線的切線方程為： 3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 若函數(shù)處可導(dǎo)，則它在點處一定連續(xù)，反之未必成立。 （二）、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則 1、導(dǎo)數(shù)基本公式 略?？唇滩牡?08及109頁。 2、導(dǎo)數(shù)四則運算法則： 略?？唇滩牡?08及109頁。 3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法： 設(shè) 4、隱函數(shù)求導(dǎo)法： 方法：對隱函數(shù)方程F(x,y)=0，兩邊對自變量x求導(dǎo)（求導(dǎo)過程中視y為中間變量y=y(x)）,從等式中解出y’。 5、高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：，即是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 [作業(yè)設(shè)計]形成性考核冊作業(yè)1 14