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第11章 三角形 11.1與三角形有關(guān)的線段 11.1.1 三角形的邊 學習目標： 1、明確三角形的相關(guān)概念；能正確對三角形進行分類； 2、能利用三角形三邊關(guān)系進行有關(guān)計算。 新課導學： 三角形的有關(guān)概念——閱讀課本第1至3頁，回答以下問題： （1）三角形概念：由不在同一直線上的 條線段 連接所組成的圖形。 （2）三角形的表示法（如圖1）三角形ABC可表示為： ； （3）ΔABC的頂點分別為A、 、 ； （3）ΔABC的內(nèi)角分別為∠ABC， ， ； （4）ΔABC的三條邊分別為AB， ， ；或， 、 ； （5）頂點A的對邊是 ，頂點B的對邊分別是 ，頂點C的對邊分別是 。 三角形的分類： （1）下圖中，每個三角形的內(nèi)角各有什么特點？ （2）下圖中，每個三角形的三邊各有什么特點？ （3）結(jié)合以上圖形你認為三角形可以如何分類？試一試 ①按角分類： ②按邊分類： （4） 在等腰三角形中， 叫做腰，另外一邊叫做 ，兩腰的夾角叫做 ， 叫做底角。 （5） 等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰 的等腰三角形。 3、三角形的三邊關(guān)系 問題1：如圖，現(xiàn)有三塊地，問從A地到B地有幾種走法，哪一種走法的距離最近？請將你的設計方案填寫在下表中： 路線 距離 比較 （2）思考：你發(fā)現(xiàn)三角形的三邊長度有什么關(guān)系？ （3）閱讀課本第3頁，填寫：三角形兩邊的和 （4）用式子表示：BC + AC AB（填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC（填上“> ”或“ < ” ） ② AB + AC BC（填上“> ”或“ < ” ） ③ 4、例題：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形，如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？ 解：設底邊長為xcm，則腰長是 cm 因為三角形的周長為 cm 所以： 所以x= cm 答：三角形的三邊分別是 、 、 第1題 課堂練習： A 組 第2題 1．①圖中有 個三角形，分別為 ②△ABC的三個頂點是 、 、 ； 三個內(nèi)角是 、 、 ； 三條邊是 、 、 ； 2、如圖中有 個三角形，用符號表示 3．判斷下列線段能否組成三角形： ①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ） 4、等腰三角形一腰長為6，底邊長為7，則另一腰為 ，周長為 。 5、等腰三角形一邊長為6，一邊長為7，則第三邊是 ，周長為 。 B 組 例題： 用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形，若有一邊的長為4cm，那么另兩邊為多少？ 分析： 題中沒有說明已知的邊是底還是腰，所以4cm可以作底，也可以作腰，本題分兩種情況； 解：當長的邊4cm為底邊，設腰長為xcm，則 ，x= ； 當長的邊4cm為腰，設底邊為xcm，則 ，x= ； 答：三角形另兩邊為 思考：按上述方法求得線段能否構(gòu)成三角形？ 6、等腰三角形一邊長為8，一邊長為2，則第三邊是 ，周長為 。 7、等腰三角形周長為22，一邊長為10，求另兩邊長； 8、等腰三角形周長為30，一邊長為8，求另兩邊長； 9、等腰三角形周長為10，一邊長為6，求另兩邊長； 11.1.2 三角形的高、中線與角平分線 學習目標： 正確理解三角形的中線、角平分線、高； 利用它們的性質(zhì)解簡單幾何計算題。 課前知識： 如右圖，頂點A的對邊是 ， 頂點B、C的對邊分別是 、 。 ∠BAC的對邊是 ， ∠ABC，∠BCA的對邊分別是 、 。 新課導學： 1、閱讀課本第4頁至第5頁，了解什么是三角形的高線、中線、角平分線； 畫三角形的中線AE 過點A作三角形的高AD 畫角平分線AF 2、請在下圖中分別畫出三角形的高AD、中線AE、角平分線AF； 3、幾何語言表示三角形的高、中線、解平分線； （1）三角形的中線（如圖一）： ∵CF是AB上的中線 ∴①AF = = ②AB=2 =2 （2）三角形的角平分線（如圖二）： ∵BE是ΔABC中∠ABC的角平分線 ∴①∠1=∠2= ∠ABC ②∠ABC=2∠ =2∠ （3）三角形的高線（如圖三）： ∵AD為ΔABC中BC邊上的高， ∴① ⊥ ②∠ =∠ =90 畫中線AD 畫DF邊上的高EM 畫∠HGN的角平分線GK 四．鞏固練習： A組： 1、按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線 圖3 圖2 圖1 2、如圖1：∠BAC=60，AD是三角形ABC的角平分線，則∠BAD= ，∠CAD= ； 3、如圖2，AD為ΔABC中BC邊上的高，∠B=35，∠C=45，則∠BDA= ∠BAD= ，∠CAD= 。 4、如圖3，ΔABC的周長為20，AB=6，AC=8，AD是BC邊上的中線，則BC= ， BD= ，CD= 。 5、下列三個圖中三個∠B有什么不同？過點A作畫出下列三角形的高，這三個三角形ABC的邊BC上的高AD在各自三角形的什么位置上？你能說出其中的規(guī)律？ 解：圖一∠B是 角，這個三角形ABC的邊BC上的高AD在 圖二∠B是 角，這個三角形ABC的邊BC上的高AD在 圖三∠B是 角，這個三角形ABC的邊BC上的高AD在 B 組： 6、在△ABC中，AD是中線，AE是角平分線、AF是高，填空： （1）BD= = ； （2） （3） （4） 7、如圖，在ΔABC中，∠BAC=60，∠B=45， AD是ΔABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù)。 8、∠B=30，∠C=70， AD、AE分別為 BC邊上的角平分線、高。求∠DAE的度數(shù)。 C 組： 如圖，ΔABC中，AB=2，BC=4，ΔABC的 高AD與CE的比是多少？ （提示：利用三角形的面積公式） 11.1.3 三角形的穩(wěn)定性及復習 學習目標： 1、了解三角形的穩(wěn)定性 2、復習三角形有關(guān)線段 新課導學： 閱讀課本第6頁至第7頁回答下列問題 蓋房子時，在窗框未安裝好前，木工師傅常先在窗框上斜釘一根木條，為什么？ 下列的圖形中具有穩(wěn)定性的是 （寫編號） 三角形有關(guān)線段復習 一、知識點： 三角形的分類： 銳角三角形 按角分類 不等邊三角形： 三角形三條邊 按邊分類 底邊和腰不 的等腰三角形 等腰三角形 （有兩條邊相等） 等邊三角形：三條邊都 三角形三邊的關(guān)系： 1、三角形的任意兩邊之和 第三邊； 2、三角形的任意兩邊之差 第三邊。 如圖一， + > ； - > 三角形的重要線段： （1）三角形的高 （2）三角形的中線 （3）三角形的角平分線 如圖，在中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，F(xiàn)是BC邊上的中點，則有 （1）∵ AD⊥BC， ∴ ∠ =∠ = 90 （2）∵AE平分∠BAC， ∴∠ =∠ =∠ （3）∵F是BC邊上的中點， ∴ = = （四）三角形的穩(wěn)定性： 蓋房子時，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，(如右圖) 為什么要這樣做呢？ 答： 練習：要是四邊形木架不變形，至少要在釘幾根木條? 五邊形木架和六邊形木架呢？ （請在圖上畫出） 至少要釘 根木條 至少要釘 根木條 至少要釘 根木條 二、練習： （一）、選擇題： 1.如圖，共有三角形的個數(shù)是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2．以下列長度（cm）的三條小木棒，若首尾順次連接，能釘成三角形的是（ ）。 （A）10、14、24 （B）12、16、32 （C）16、6、4 （D）8、10、12 （二）填空： 1、如圖：AD、AE分別是的角平分線和中線，如果 ∠BAD＝50，CE＝5cm，那么∠BAC= 度， BC＝ cm； 2、等腰三角形的兩條邊長分別為10cm和5cm，它們的周長是 cm。 3、已知等腰三角形的一邊長等于5cm，一邊長等于6 cm，則它的周長為 cm。 4、一個等腰三角形的周長是20 cm， （1）若一條邊長為5 cm，則另兩邊的長分別為 ； （2）若一條邊長為6 cm，則另兩邊的長分別為 。 5、如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AD是BC邊上的高， DE⊥AB于E，那么圖中共有 個直角三角形。 （三）按要求畫出下列三角形的高 畫HG邊上高 畫DE邊上高 畫AC邊上高 11.2 與三角形有關(guān)的角 11.2.1 三角形的內(nèi)角 學習目標： （1）學會利用已學的相交線與平行線等相關(guān)性質(zhì)證明三角形的內(nèi)角和定理； （2）初步了解什么是幾何證明，并感受證明幾何問題的基本結(jié)構(gòu)和推導過程； （3）基本學會利用三角形內(nèi)角和定理解決生活中的實際問題。 新課導學： 圖1（2） 圖1（1） 試一試，下面的練習，你還會做嗎？ 如圖1（1），已知：直線上有一點A，過點A作射線AM、AN； 1、若∠DAM=30，∠EAN=70，則∠1等于 度。 2、若在AM上任取一點B，過點B作BC∥DE交AN于點C如圖1（2）， 則：（1）∠2等于 度，根據(jù)： （2）∠3等于 度，根據(jù)： （3）∠1+∠2+∠3等于 度。 A B C 圖2 （三）問題：任剪一個三角形，按下列要求進行實驗 （1）先剪下∠B和∠C（如圖2），然后把它們與∠A 拼合在一起，就得到一個平角．有多少種不同的拼合 方法？請你把這些不同的方法分別拼出來；這個實驗說明什么？你會證明嗎？ 實驗說明： （2）在（1）中你覺得哪幾種拼合的結(jié)果有助于發(fā)現(xiàn)證明三角形內(nèi)角和等于180度思路？它們有什么共同的特點？ 圖3 （四）證明三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和等于180； 已知：如圖3，三角形ABC 求證：∠A+∠B+∠C= 證明：（方法一） （五）鞏固練習 比一比，看誰最快求出下列各圖形中，∠1、∠2或∠3的度數(shù)； ∠1= ∠2= ∠3= （六）應用舉例 如圖3，C島在A島的北偏東50度方向，B島在A島的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西40度方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？ 圖3 （七）練習 A組 1．求出下列圖中x的值: x= x= x= x= 2、求下列圖形中的∠1、∠2的度數(shù)： （1） （2） （3） AB∥CD ∠1= ∠1= ∠1= 第3題 ∠2= ∠2= ∠2= 3、如圖,從A處觀測C處時仰角∠CAD=30,從B處 觀測C處時仰角為∠CBD=45,則∠CBA是 度， 從C處觀測A,B兩處時視角∠ACB是 度。 B 組 第4題 4、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD， 其中∠A=150度，∠B=∠D=40度，求∠C的度數(shù)。 第5題 5、如圖，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65，求∠BAC的度數(shù)。 6、在三角形ABC中∠B=∠A+10，∠C=∠B+10，求三角形ABC的各內(nèi)角的度數(shù)； 7、如圖，AB∥CD，∠A=40，∠D=45，求∠1和∠2； 8、如圖AB∥CD，∠A=45，∠C =∠E，求∠C； 三角形（一）——三角形的外角 學習目標： 1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的兩條性質(zhì)定理； 2．能用三角形外角的有關(guān)定理解答問題。 復習回顧： 1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于 。 2、如圖, △ABC中 ∠A+∠B+∠C= 3、如圖，在△ABC中若∠A=60，∠B=35，則∠ACB= ，∠ACD= ； 新課導入： （一）認識三角形的外角，閱讀課本第74頁，了解什么是三角形的外角，并回答下列問題： 1、如圖，△ABC的一個外角是 ； 2、如圖，若∠C=50，∠B=28，則∠BAC= ∠DAB= （二）三角形外角的性質(zhì)定理： 1、如圖，△ABC的一個外角是 ，和它不相鄰的內(nèi)角 是 ， 。 2、猜想：∠BAD和∠B、∠C之間的關(guān)系是 。 證明： 歸納：①三角形的一個外角等于 ； ②三角形的一個外角大于一個 。 幾何語言： ∠1=∠ +∠ ； ∠ABE= + ； ∠1 >∠ ； ∠1 >∠ ； （三）三角形的外角和——每一個三角形的內(nèi)角相應地取其中一個外角相加的結(jié)果； 思考：如圖，∠1+∠2+∠3= （你能證明得到的結(jié)論嗎？） 證明： 歸納：三角形的外角和等于 三、鞏固練習：A組： 1、計算： ∴∠1= ∴∠2= ∴∠3= 2、如圖，CE∥AB ∴∠2= ∴∠CDE= ，∠E= 3、∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，∠A=90，∠B=55，則∠C= 4、∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，∠A=90，∠B=55，則與∠C相鄰的外角= 5、下列說法正確的是（ ） A．三角形的一個外角大于它的一個內(nèi)角； B．三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角； C．三角形的一個外角等于和它不相鄰兩個內(nèi)角的和； D．以上答案都不對。 B 組： 1、下列各圖中，表示∠1是△ABC的外角的是（ ） 2、如右圖，以下說法不正確的是（ ） A、∠EFD是△BFC的一個外角； B、∠DFC是△BFC的一個外角； C、∠EFD+∠FBC+∠FCB=180； D、∠CDF=∠A+∠ABD 3、如圖，D是△ABC邊上的一點，E是BD上一點，則對 ∠1、∠2、∠A之間的關(guān)系描述正確的是（ ）。 A、∠A < ∠1 > ∠2 B、∠2 >∠1>∠A C、∠1 >∠2>∠A D、無法確定 4、填空： （1）一個三角形最多有 個直角，一個三角形最多有 個鈍角； （2）一個三角形的三個外角中，最多有 個銳角，最多有 個直角，最多有 個鈍角。 5、如右圖：D是△ABC中BC邊上的一點，∠B=∠BAD，∠ADC=80， ∠BAC=70，求：∠B，∠C的度數(shù)。 C組： 如圖，△ABC中，分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： 若∠A＝50，則∠P＝ ； 若∠A＝90，則∠P＝ ； 若∠A＝100，則∠P＝ ； 請你用數(shù)學表達式歸納∠A與∠P的關(guān)系，并說明理由。 三角形（二）——練習2 第2、3小題 一、知識點： 三角形的角： 1. 三角形的內(nèi)角和等于 2. 三角形的外角和等于 如圖，∠ 是的一個外角 3. 三角形外角性質(zhì)： （1）三角形的一個外角等于 ； 如圖，∠ACD=∠ +∠ ； （2）三角形的一個外角大于 。 如圖，∠ACD > ；∠ACD > 三角形的三邊關(guān)系： 三角形的任意兩邊之和 第三邊；三角形任意兩邊之差 第三邊。 即：三角形兩邊 < 三角形的第三邊 <三角形的兩邊 第1題 第2題 二、練習： 1．如圖：AB∥CD，AD和BC交于點O，若∠A=42∠C=59，則∠AOB等于 . 2．有一塊直角三角形紙片ABC，把它折疊，使點C落在AB邊上。若∠C=90，∠B=40，則∠DAB= 。 3．在△ABC中（如圖），BD平分∠ABC，∠A=36，∠C=72， 那么∠ABD的度數(shù)是 ；∠BDC的度數(shù)是 。 4、 等腰三角形的兩條邊長分別為8cm和5cm，它們的周長是 cm 5．一個等腰三角形的周長是18cm，其中一邊長為5，則其余兩邊的長分別是 。 第7題 B組 6．如圖：AB∥CD，AD∥CD，∠1=50，∠2=80。 （1）∠BDC，∠DBC分別是多少度？ （2）∠C等于多少度？ 7．在△ABC中,若∠A :∠B:∠C=2:3:4，則∠A、∠B度數(shù) 8.在DABC中,A=30,C=B,求B 9．在DABC中,C=55,B=A-35,求A 10.如圖：△ABC中，∠ACB=90，CD是斜邊上的高，如果∠A=2∠B，求∠B，∠ACD的度數(shù)。 1 多邊形的內(nèi)角和與外角和1 一、學習目標： 了解多邊形外角，并能簡單識別掌握多邊形內(nèi)角和定理、外角和公式的推導方法能靈活運用定理和公式進行計算解決問題。 二、教學過程： 一、復習回顧，如圖，填空： （1）∠1＋∠2＋∠3＝ ； （2）∠4＋∠5＋∠6＝ ； （3）∠4＝∠ ＋∠ ； ∠5＝ ＋ ； （4）∠6 > ∠ ；∠6 > ∠ 二、學習多邊形的有關(guān)概念,閱讀課本第79至80頁，回答： 1、由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做 。 2、如果一個多邊形由條線段組成，你們這個多邊形就叫做邊形，填空： 邊形 邊形 邊形 3、閱讀課本，了解凸多邊形的概念，并判斷下列圖形是凸多邊形有 ； 4、連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的 。 5、如圖，請畫出下列多邊形中的A點與其他頂點的對角線，并回答問題： 四邊形被對角線分成 個三角形 五邊形被對角線分成 個三角形 6、各角都 ，各邊都 的多邊形叫正多邊形 正 邊形 正 邊形 正 邊形 正 邊形 三、新課探索： （一）多邊形的內(nèi)角和： 1、回憶：三角形的內(nèi)角和等于 度； 2、問題：四邊形的內(nèi)角和又會是多少？ 即：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝ 。 你會利用所學知識說明以上結(jié)論？ 3、探索規(guī)律：（仿照以上問題中做對角線的方法進行研究） 名稱 圖形 多邊形的邊數(shù) 分成三角形個數(shù) 多邊形內(nèi)角和 五邊形 六邊形 名稱 圖形 多邊形的邊數(shù) 分成三角形個數(shù) 多邊形內(nèi)角和 七邊形 …… …… …… …… …… n邊形 4、歸納： 邊形的內(nèi)角和= 。 （二）問題：多邊形的外角和是多少？ 1、試一試： 如圖：∵∠4+∠5+∠6 = ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = ∴∠1+∠2+∠3 = ∴三角形的外角和為 2、歸納：任意多邊形的外角和都為 四、課堂練習 1、課本練習題 2、求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)與外角和度數(shù)。 解：由內(nèi)角和公式，得 由外角和公式，得八邊形外角和是 。 答：八邊形的內(nèi)角和是 ，外角和是 。 3、n邊形的外角和等于 度；若一個n邊形的每個外角都為72，那么這個多邊形的邊數(shù)n為 。 4、一個多邊形的內(nèi)角和為1980，求多邊形的邊數(shù)。 解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得 ， 解上述方程得： 答：這個多邊形的邊數(shù)是 ； 多邊形的內(nèi)角和與外角和2 一、學習目標： 熟練掌握多邊形的相關(guān)概念，并能運用定理以及公式解決問題。 二、學習過程 一、知識點回顧： 1、多邊形的內(nèi)角和是 。 2、多邊形的外角和是 。 二：練習 （一）填空 1、從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出 條對角線， 它們將五邊形分成 個三角形。 2、八邊形的內(nèi)角和是 ，外角和是 ； 如果八邊形的各個內(nèi)角都相等，那么它的每一個內(nèi)角都等于 。 3、十邊形的內(nèi)角和為 ， 外角和為 ； 正十邊形的每個內(nèi)角為 ，每個外角為 。 4、n邊形的外角和等于 度；若一個n邊形的每個外角都為24，那么邊數(shù)n為 。 5、填表： 多邊形的邊數(shù) 3 4 5 6 7 12 內(nèi)角和 外角和 6、 邊形的內(nèi)角和與外角和相等； 7、（1）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的一半，求這個多邊形的邊數(shù)。 （2）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù)。 8、如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D； 求證：AB∥CD，BC∥AD； 小結(jié)復習 一、學習目標： 了解三角形的有關(guān)概念，能正確畫出三角形的高、中線、角平分線，掌握三角形、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握多邊形的外角和定理，并會應用； 二、知識點： 三角形的分類： 銳角三角形 —— 按角分類 三角形 —— 三角形 —— 不等邊三角形： 按邊分類 等腰三角形 三角形： （二）三角形的重要線段： （1）三角形的高線，如圖，在中 ∵AD是的一條高 ∴ ⊥ ，∠ ＝90 （2）三角形的角平分線，如圖，在中 ∵AE是的一條角平分線 ∴∠ ＝∠ ＝∠ （3）三角形的中線，如圖，在中 ∵AF是的一條中線 ∴ ＝ ＝ 三角形的一些性質(zhì)： 1. 三角形的內(nèi)角和等于 2、三角形的外角和等于 3. 三角形外角性質(zhì) 4、三角形的三邊關(guān)系： （1）三角形的任何兩邊之和 。 （2）三角形的任何兩邊之差 。 5、三角形具有 性。 （四）多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)： 1、正多邊形： 如果多邊形滿足條件 、 ，則稱為正多邊形。 2、多邊形的對角線： 多邊形的對角線是連接多邊形 的兩個頂點的線段。 3、多邊形的一些性質(zhì)： （1）n邊形的內(nèi)角和等于 。 （2）n邊形的外角和等于 。 （3）正n邊形的每一個內(nèi)角等于 。 三、練習： （一）填空題： 1. 如圖：AD、AE分別是的角平分線和BC邊上的中線， 如果∠BAC＝100，CB＝10cm，那么∠DAC= 度， EC＝ cm； 2．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內(nèi)角. （1）如果∠A＝90，∠C＝55，那么∠B＝______； （2）如果∠A=50，∠B=∠C， 那么∠B= ； （3）如果∠A＝90，∠B－∠C＝30，那么∠B＝___ __，∠C=______； （4）如果∠C＝4∠A，∠A＋∠B＝100，那么∠A＝______,∠B=______, 3．已知△ABC是等腰三角形， （1）如果它的兩條邊長的長分別為8cm和5cm,那么它的周長是 。 （2）如果它的周長為18cm，一條邊的長為4cm，那么另兩邊長是 。 4．已知三角形的三邊分別為2，，4，那么的取值范圍是 。 5．從八邊形的一個頂點出發(fā)，可以引 條對角線，把這個八邊形分成 個三角形。 （二）填表 多邊形的邊數(shù) 7 17 內(nèi)角和 外角和 （三）按要求作圖： （1）在圖1中作△ABC的中線BD； （2）在圖2中過點A作△ABC的角平分線AE； （3）在圖3中作△ABC的高AF、CG； （四）解答題： 1、已知：如圖，∠B=42，∠A+10=∠1，∠ACD=64 求證：AB∥CD。 2、如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝1100，求的值。 ※3、已知△ABC的∠B和∠C的平分線BE，CF交于點G； 求證：（1）∠BGC=180-（∠ABC+∠ACB） （2）∠BGC=90+∠A 鑲嵌——用正多邊形拼地磚 一、學習目標： 明確什么樣的正多邊形可以拼地板。 明確用多種正多邊形拼地板的理論依據(jù)。 二、新課探索： 一、用相同的正多邊形拼地板： 1、用相同的正三角形拼地板（如右圖） ∵正三角形的每一個內(nèi)角為____， 即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=____ ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=__ __ 2、用相同的正四邊形拼地板（如右圖） ∵正四邊形的每一個內(nèi)角為____ 即∠1=∠2=∠3=∠4=____ ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=__ __ 3、用相同的正六邊形拼地板（如右圖） ∵正六邊形的每一個內(nèi)角為____， 即∠1=∠2=∠3=____ ∴∠1＋∠2＋∠3=_ ___ 結(jié)論：使用給定的某種正多邊形拼地板時，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個 角時，就可拼成一個平面圖形。 思考： 1、任意剪出一些形狀和大小相同的三角形紙板，拼一拼，是否可以拼成一個平面圖形？答： 。 2、任意剪出一些形狀和大小相同的四邊形紙板，拼一拼，是否可以拼成一個平面圖形？答： 。 環(huán)節(jié)二、用多種正多邊形拼地板： 1、用正六邊形和正三角形拼： 如圖，正六邊形的每一個內(nèi)角為_ __， 正三角形的每一個內(nèi)角為_ ___， 即 ∠1=∠3=_ _； ∠2=∠4=_ ___ ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=___ _ 小結(jié)：用正六邊形和正三角形拼地板時，在一個頂點周圍有__ _個正三角形的角和______個正六邊形的角。 2、用正方形和正三角形拼： 如圖，正方形的每一個內(nèi)角為 ， 正三角形的每一個內(nèi)角為_ _， 即 ∠1=∠4=∠5=____； ∠2=∠3=____ ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4+∠5=____ 小結(jié)：用正方形和正三角形拼地板時，在一個頂點周圍有_____個正方形的角和______個正三角形的角。 結(jié)論： 使用給定的幾種正多邊形拼地板時，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個 角時，就可拼成一個平面圖形。 三、課堂練習： 1．某人到瓷磚店購買一種正多邊形的瓷磚，鋪設無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以（ ）。 A、正三角形 B、正四邊形 C、正六邊形 D、正八邊形 2．下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的_________________________ ①正方形 ②正五邊形 ③正六邊形 ④正八邊形 3．下列正多邊形的組合中，能鋪滿地面的是____________________ ①正八邊形和正方形 ②正五邊形和正八邊形 ③正六邊形和正三角形 ④正三角形和正四邊形 能用一種正多邊形拼成平面圖形有：______、______、______。 第十二章：全等三角形導學案 12.1《全等三角形》 【學習目標】1、了解全等形、全等三角形的概念，明確全等三角形對應邊、對應角相等。 2、在列舉生活中常見的的全等圖形的過程中，學會判斷對應邊、對應角的方法。 3、積極投入，激情展示，做最佳自己。 教學重點：全等三角形的性質(zhì)及尋找全等三角形的對應邊、對應角。 教學難點：尋找全等三角形的對應邊、對應角。 一、預習案1、全等形。回憶：舉出現(xiàn)實生活中能夠完全重合的圖形的例子? 同一張底片洗出的同大小照片是能夠完全重合的；能夠完全重合的兩個圖形叫做 . (1) 一個圖形經(jīng)過平移,翻轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但 和 都沒有改變,即平移,翻轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)前后的圖形 。 (2) 如果兩個圖形全等，它們的形狀大小一定都相同嗎？全等形的特征是 和 2、全等三角形。能夠完全重合的兩個三角形叫做 （如下圖）。 “全等”用符號“≌”來表示，讀作“全等于”，如上圖記作△ABC≌△A1B1C1 叫對應頂點，A←→A1,B←→B1,C←→C1 叫對應邊，AB←→A1B1,AC←→ , ←→B1C1 叫對應角,∠A←→∠A1,∠B←→∠ ,∠C←→∠ 注意：書寫全等式時要求把對應頂點字母放在 的位置上。 3、全等三角形的性質(zhì)。 全等三角形的 相等， 相等。 用符號表示為 ∵△ABC≌△A1B1C1 ∴ AB=A1B1, BC=B1C1, AC=A1C1 （全等三角形的 ) ∴ ∠ A= ∠ A1, ∠ B= ∠B1 , ∠ C= ∠C1（全等三角形的 ) 2、 探究案 A B C D 1、在找全等三角形的對應元素時一般有什么規(guī)律？ C D A B E A B C D P A B D C 有公共邊的，公共邊是對應邊有公共角的，公共角是對應角有對頂角的，對頂角是對應角. 一對最長的邊是對應邊，一對最短的邊是對應邊； 一對最大的角是對應角，一對最小的角是對應角。 根據(jù)上面的提示，你能總結(jié)尋找對應邊、角的規(guī)律嗎？ B D A C F 2、如圖:△ABC≌△DBF,找出圖中的對應邊,對應角. 三、學以致用 如圖△ABC≌ △ADE,若∠D=∠B， ∠C= ∠AED， 則∠DAE= ； ∠DAB= 。 四、練習案 1、全等用符號 表示，讀作： 。 2、若△ BCE ≌ △ CBF，則∠CBE= , ∠BEC= , BE= , CE= . 3、判斷題 1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（ ?。? 2）全等三角形的周長相等，面積也相等。 （ ?。? 3）面積相等的三角形是全等三角形。 （ ?。? 4）周長相等的三角形是全等三角形。 （　 ） 4、如圖△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm, 求DE的長 5. 如圖所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65,∠C=20,則∠OAD= . 第5題圖 《12.2三角形全等的判定》(SSS)導學案 【學習目標】 1、能自己試驗探索出判定三角形全等的SSS判定定理 2 、會應用判定定理SSS進行簡單的推理判定兩個三角形全等 3、會作一個角等于已知角. 【學習重點】：三角形全等的條件． 【學習難點】：尋求三角形全等的條件． 一、預習案 1、復習：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性質(zhì)？ 如圖，△ABC≌△DCB那么 相等的邊是： 相等的角是： 2、討論三角形全等的條件（動手畫一畫并回答下列問題） （1）．只給一個條件：一組對應邊相等（或一組對應角相等），畫出的兩個三角形一定全等嗎？ （2）．給出兩個條件畫三角形,有____種情形。按下面給出的兩個條件，畫出的兩個三角形一定全等嗎？ ①一組對應邊相等和一組對應角相等 ②兩組對應邊相等 ③兩組對應角相等 （3）、給出三個條件畫三角形,有____種情形。按下面給出三個條件，畫出的兩個三角形一定全等嗎？ ①三組對應角相等 ②三組對應邊相等 已知一個三角形的三條邊長分別為6cm、8cm、10cm．你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形剪下與同伴畫的三角形進行比較，它們?nèi)葐幔? a．作圖方法： b．以小組為單位，把剪下的三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn) ，這說明這些三角形都是 的． c．歸納：三邊對應相等的兩個三角形 ，簡寫為“ ”或“ ”． d、用數(shù)學語言表述： 在△ABC和中, ∵ ∴△ABC≌ ( ) 用上面的規(guī)律可以判斷兩個三角形 ． “SSS”是證明三角形全等的一個依據(jù)． 2、 探究案 1、[例]如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點A與BC中點D的支架． 求證：△ABD≌△ACD． 證明：∵D是BC ∴ = ∴在△ 和△ 中 AB= BD= AD= ∴△ABD △ACD( ) ①準備條件：證全等時需要用的間接條件要先證好； ②三角形全等書寫三步驟： A、寫出在哪兩個三角形中， B、擺出三個條件用大括號括起來， C、寫出全等結(jié)論。 2、如圖，OA＝OB，AC＝BC. 求證：∠AOC＝∠BOC. 3、尺規(guī)作圖。 已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB 4.本節(jié)課小結(jié) （1）知識方面： （2）學習方法方面： 訓練案 1、下列說法中，錯誤的有（ ）個 （1）周長相等的兩個三角形全等。（2）周長相等的兩個等邊三角形全等。（3）有三個角對應相等的兩個三角形全等。（4）有三邊對應相等的兩個三角形全等 A、1 B、2 C、3 D、4 2.如圖，點B、E、C、F在同一直線上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，請將下面說明ΔABC≌ΔDEF的過程和理由補充完整。 解：∵BE=CF （_____________） ∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF 在ΔABC和ΔDEF中 AB=________ （________________） __________=DF（_______________） BC=__________ ∴ΔABC≌ΔDEF （_____________） 3．如圖，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，則∠EFD=∠BCA，請說明理由。 ﹡4.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，點E在AD上，找出圖中全等的三角形，并說明它們?yōu)槭裁词侨鹊? 《12.2三角形全等的判定》（SAS）導學案 【學習目標】 1、掌握三角形全等的“SＡS”條件，能運用“SＡS”證明簡單的三角形全等問題 2．經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的過程． 3、積極投入，激情展示，做最佳自己。 教學重點：SAS的探究和運用. 教學難點：領(lǐng)會兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等. 1、 預習案 1、復習思考 （1）怎樣的兩個三角形是全等三角形？全等三角形的性質(zhì)是什么？三角形全等的判定（一）的內(nèi)容是什么？ （2）上節(jié)課我們知道滿足三個條件畫兩個三角形有4種情形，三個角對應相等；三條邊對應相等；兩角和一邊對應相等；兩邊和一角對應相等；前兩種情況已經(jīng)研究了，今天我們來研究第三種兩邊和一角的情況，這種情況又要分兩邊和它們的夾角，兩邊及其一邊的對角兩種情況。 探究案 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形是否全等？ (1)動手試一試 已知：△ABC 求作：，使，， (2) 把△剪下來放到△ABC上，觀察△與△ABC是否能夠完全重合？ (3)歸納；由上面的畫圖和實驗可以得出全等三角形判定（二）： 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形 （可以簡寫成“ ” 或 “ ”） (4)用數(shù)學語言表述全等三角形判定（二） 在△ABC和中, ∵ ∴△ABC≌ 3、探究二：兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形是否全等？ 通過畫圖或?qū)嶒灴梢缘贸觯? 4.課本例題學習 3、 訓練案 如圖，AD⊥BC，D為BC的中點，那么結(jié)論正確的有 A、△ABD≌△ACD B、∠B=∠C C、AD平分∠BAC D、△ABC是等邊三角形 我的收獲： 1、知識方面： 2、我的困惑： 3、思想感悟： 《12.2三角形全等的判定》(ASA、AAS)導學案 【學習目標】 1、掌握三角形全等的“角邊角”“角角邊”條件．能運用全等三角形的條件，解決簡單的推理證明問題 2．經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的過程． 3、積極投入，激情展示，體驗成功的快樂。 教學重點：已知兩角一邊的三角形全等探究． 教學難點：靈活運用三角形全等條件證明． 一預習案 1、復習思考 （1）．到目前為止，可以作為判別兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？ （2）．在三角形中，已知三個元素的四種情況中，我們研究了三種，今天我們接著探究已知兩角一邊是否可以判斷兩三角形全等呢？三角形中已知兩角一邊又分成哪兩種呢？ 2、探究案 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形是否全等？ (1)動手試一試。 已知：△ABC 求作：△，使=∠B, =∠C，=BC，（不寫作法，保留作圖痕跡） (2) 把△剪下來放到△ABC上，觀察△與△ABC是否能夠完全重合？ (3)歸納；由上面的畫圖和實驗可以得出全等三角形判定（三）： 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形 （可以簡寫成“ ”或“ ”）