直線(xiàn)的方程經(jīng)典題型總結(jié)加練習(xí)題-含答案
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(1)直線(xiàn)的傾斜角 定義:x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地,當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0≤α<180 (2)直線(xiàn)的斜率 ①定義:傾斜角不是90的直線(xiàn),它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),不存在。 ②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式: 所有直線(xiàn)都有傾斜角,但不是所有直線(xiàn)都有斜率 概念考查 1、已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線(xiàn)與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-1)和點(diǎn)Q(a,-2a)的直線(xiàn)互相垂直,求實(shí)數(shù)a的值。 x y x y x y A B D O O O O x y 2、直線(xiàn)與在同一坐標(biāo)系下可能的圖是( ) C 3、直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A.(3,2) B.(2,3) C.(2,–3) D.(–2,3) 4、如果直線(xiàn)(其中均不為0)不通過(guò)第一象限,那么應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是( ) A. B. C. D.同號(hào) 5、若點(diǎn)A(2,–3),B(–3,–2),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與線(xiàn)段AB相交,則的斜率的取值范圍是( ) A.或 B.或 C. D. (3)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn), 則 (4)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式:一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離 概念考查 (1) 求兩平行線(xiàn):3x+4y=10和:3x+4y=15的距離。 (2) 求過(guò)點(diǎn)M(-2,1)且與A(-1,2),B(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線(xiàn)方程。 (3) 直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-5),且與點(diǎn)A(3,-2)和點(diǎn)B(-1,6)的距離之比為1:2,求直線(xiàn)的方程 (4) 直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0,1),過(guò)點(diǎn)(5,0),如果,且與的距離為5,求、的方程 (5)已知點(diǎn)P(2,-1) a、求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線(xiàn)的方程 b、求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)的方程,最大距離是多少 (5)、求關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法。 (1)求已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。(距離相等,三點(diǎn)同線(xiàn)) (2)求直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)。(平行,點(diǎn)到線(xiàn)距離相等) (3)求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。(在垂直線(xiàn)上,距離相等) (4)求直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)。(平行:距離相等;相交:過(guò)交點(diǎn),點(diǎn)對(duì)稱(chēng)) 概念考查 已知直線(xiàn):y=3x+3,求: (1) 點(diǎn)P(4,5)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo); (2) 直線(xiàn)y=x-2關(guān)于的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程; (3) 直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程。 (6)直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)距離的最大最小值 a. 在直線(xiàn)上求一點(diǎn)P使PA+PB取得最小值時(shí),若點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)的同側(cè),則作點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(或點(diǎn)),連接(或)交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求。若點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)的異側(cè),直接連接AB交于P點(diǎn),則點(diǎn)P即為所求??珊?jiǎn)記“同側(cè)對(duì)稱(chēng)異側(cè)連”。即兩點(diǎn)位于直線(xiàn)的同側(cè)時(shí),作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);兩點(diǎn)位于直線(xiàn)的異側(cè)時(shí),直接連接兩點(diǎn)即可。 b. 在直線(xiàn)上求一點(diǎn)P使||PA|-|PB||取得最大值時(shí),方法與a恰好相反,即“異側(cè)對(duì)稱(chēng)同側(cè)連”。 概念考查 (1) 已知兩點(diǎn)A(3,-3),B(5,1),直線(xiàn),在直線(xiàn)上求一點(diǎn)P,使|PA|+|PB|最小。 (2) 求一點(diǎn)P,使|PA|-|PB|最大 直線(xiàn)的方程經(jīng)典例題 經(jīng)典例題透析 類(lèi)型一:求規(guī)定形式的直線(xiàn)方程 1.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),斜率是4直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程; (2)求傾斜角是,在軸上的截距是5;直線(xiàn)的斜截式方程; (3)求過(guò)A(-2,-2),B(2,2)兩點(diǎn)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程; (4)求過(guò)A(-3,0), B(0,2)兩點(diǎn)直線(xiàn)的截距式方程. 思路點(diǎn)撥: 直線(xiàn)方程有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式,要根據(jù)條件寫(xiě)出直線(xiàn)方程. 解:(1)由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),斜率是4,由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式可得; (2); ; . 總結(jié)升華: 寫(xiě)規(guī)定形式的方程,要注意方程的形式. 舉一反三: 【變式1】 (1)寫(xiě)出傾斜角是,在軸上的截距是-2直線(xiàn)的斜截式方程; (2)求過(guò)A(-2,-3),B(-5,-6)兩點(diǎn)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程; (3)求過(guò)A(1,0), B(0,-4)兩點(diǎn)直線(xiàn)的截距式方程. 【答案】 (1); ?。? . 類(lèi)型二:直線(xiàn)與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題 2.過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線(xiàn)與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程. 思路點(diǎn)撥: 因直線(xiàn)已經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,1),只缺斜率,可先設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程,且易知k<0,再用k表示A、B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)及不等式知識(shí)求解. 解析: 解法一:設(shè)直線(xiàn)的方程為:y-1=k(x-2), 令y=0,得:x=; 令x=0,得y=1-2k, ∵與x軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上, ∴>0且1-2k>0 故k<0, △AOB的面積 當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-,即k=-時(shí), S取最小值4, 故所求方程為y-1=-(x-2),即:x+2y-4=0. 總結(jié)升華: 解法一與解法二選取了直線(xiàn)方程的不同形式,解法三考慮到圖形的直觀性,利用了形數(shù)結(jié)合的思想,體現(xiàn)了解題的“靈活性”. 已知直線(xiàn)過(guò)一點(diǎn)時(shí),常設(shè)其點(diǎn)斜式方程,但需注意斜率不存在的直線(xiàn)不能用點(diǎn)斜式表示,從而使用點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí),要考慮斜率不存在的情況,以免丟解. 而直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距,可正、可負(fù),也可以為零,不能與距離混為一談,注意如何由直線(xiàn)方程求其在坐標(biāo)軸上的截距. 類(lèi)型三:斜率問(wèn)題 3.求過(guò)點(diǎn),且與軸的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為5的直線(xiàn)方程. 思路點(diǎn)撥: 要對(duì)直線(xiàn)是否存在斜率的不同情況加以分類(lèi)解析,結(jié)合題目中的相關(guān)條件設(shè)出對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程,然后求解. 解析: (1)當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),因?yàn)橹本€(xiàn)與軸相交,所以,設(shè)直線(xiàn)的斜率為, 已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),代入點(diǎn)斜式方程,得, 所以直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為則有,解得, 故所求直線(xiàn)方程為; (2)當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于軸的直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)(-4,0)到的距離也恰好 為5,所以直線(xiàn)也滿(mǎn)足條件. 綜上所述,所求直線(xiàn)方程為或. 總結(jié)升華: 解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí),容易忽視直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的情況,同學(xué)們?cè)趯?shí)際解答時(shí)要全面考慮.斜率不存在的直線(xiàn)(即垂直于軸的直線(xiàn))不能用點(diǎn)斜式、斜截式方程求解,點(diǎn)斜式、斜截式方程的使用條件是直線(xiàn)斜率必須存在.因此,用點(diǎn)斜式、斜截式方程求解直線(xiàn)方程時(shí)要考慮斜率不存在的情況,以免丟解. 類(lèi)型四:截距問(wèn)題 4.求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程. 思路點(diǎn)撥: 要對(duì)直線(xiàn)截距的不同情況加以分類(lèi)解析,結(jié)合題目中的相關(guān)條件設(shè)出對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程,然后求解.直線(xiàn)在兩軸上截距相等,直接考慮截距式方程,也可以用由圖形性質(zhì),得到k=-1時(shí)截距相等,從而選用點(diǎn)斜式. 解題時(shí)特別要注意截距都是0的情況,這時(shí)選用函數(shù). 解析: (1)當(dāng)截距不為零時(shí),設(shè)所求直線(xiàn)方程為,將點(diǎn)代入得,解得, 故所求直線(xiàn)方程為; (2)當(dāng)截距為0時(shí),直線(xiàn)方程為 綜上所述,所求直線(xiàn)方程為或. 總結(jié)升華: 注意截距與距離的區(qū)別,截距可正、可負(fù)、可為零,不可與距離混為一談.截距式方程的使用條件是直線(xiàn)在軸、軸上的截距都存在且不為零,垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)不能用該方程求解,因此用截距式方程要考慮截距為零的情況.解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí),容易遺漏所求直線(xiàn)在在軸、軸上的截距為0的情況,在實(shí)際解答時(shí)要全面考慮.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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