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《直線與平面垂直的判定》 選自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》必修2第二章第三節(jié) 一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能目標(biāo) (1).掌握直線與平面垂直的定義 (2).理解并掌握直線與平面垂直的判定定理 (3).會(huì)判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直 (4).培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和對(duì)新知識(shí)的探索能力 2.過程與方法目標(biāo) (1).加強(qiáng)學(xué)生空間與平面之間的轉(zhuǎn)化意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的思維靈活性 (2).要善于應(yīng)用平移手法將分散的條件集中到某一個(gè)圖形中進(jìn)行研究，特別是輔助線的添加 3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo) (1).培養(yǎng)學(xué)生的探索精神 (2).加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣 二、重點(diǎn)難點(diǎn) 1.教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義及其判定定理 2.教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的理解 三、課時(shí)安排 本課共安排一課時(shí) 四、教學(xué)用具 多媒體、三角形紙片、三角板或直尺 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1.創(chuàng)設(shè)情境 問題1：空間一條直線和一個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系？ 設(shè)計(jì)意圖：此問基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過對(duì)已學(xué)相關(guān)知識(shí)的追憶，尋找新知識(shí)學(xué)習(xí)的“固著點(diǎn)”。 問題2：列舉在日常生活中你見到的可以抽象成直線與平面相交的事例？ 尋找特殊的事例并引入課題。 設(shè)計(jì)意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對(duì)生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義。 2.提煉定義 問題3：結(jié)合對(duì)下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義． (1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？ (2)隨著太陽的移動(dòng),影子BC的位置也會(huì)移動(dòng),而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會(huì)發(fā)生改變? (3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？ 設(shè)計(jì)意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直，第（3）問進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。 （學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號(hào)這三種語言的相互轉(zhuǎn)化） 思考：（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？ （2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線是否垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線？ （對(duì)問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對(duì)問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號(hào)語言表述：若 ，則 ) 設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對(duì)問題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法。 通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn)。這就有必要去尋找比定義法更簡(jiǎn)捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。 3.探究新知 創(chuàng)設(shè)情境 猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長(zhǎng)10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理。 師生活動(dòng)：（折紙?jiān)囼?yàn)）請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸） 　　問題4：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？ 　　（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？ 　　（組織學(xué)生動(dòng)手操作、探究、確認(rèn)） 設(shè)計(jì)意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。 　　問題5：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線 ，把BD、CD抽象為直線 m，n ，把桌面抽象為平面 (如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面垂直的條件是什么？ 對(duì)于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動(dòng)，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)。問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線） 設(shè)計(jì)意圖：通過操作讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線。 　　問題6：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證 ，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的。 根據(jù)試驗(yàn)，請(qǐng)你給出直線與平面垂直的判定方法。 　?。▽W(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號(hào)這三種語言的相互轉(zhuǎn)化） 問題7：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個(gè)判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里? （2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么? 設(shè)計(jì)意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會(huì)“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會(huì)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想. 　　思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？ 如果安裝完了，請(qǐng)你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？ 設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)到手的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，同時(shí)通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對(duì)該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗(yàn)證），從而來深化對(duì)直線與平面垂直判定定理的理解。 　　4.練習(xí)提高 如圖5，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？ 思考：如圖6，已知，則嗎？請(qǐng)說明理由。 （分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面） 設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題給出了判斷直線和平面垂直的一個(gè)常用的命題，這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。 5.小結(jié)回授 （1）本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。 （2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 設(shè)計(jì)意圖：以問題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己理解的語言對(duì)問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。