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數(shù)學(xué)分析/dcb0e0e7c6360bbbb062d94e29041156.pdf 第二十三章 流行上微積分學(xué) 【教學(xué)目的】 1.理解和掌握向量函數(shù)、向量函數(shù)的極限、連續(xù)和一致連續(xù)等的概念，掌握有界閉區(qū)間上連續(xù)向量函數(shù)的性質(zhì)； 2、理解向量函數(shù)的可微、隱向量函數(shù)和反向量函數(shù)的概念，掌握他們可微的條件，會(huì)求向量函數(shù)、隱向量函數(shù)、反向量函數(shù)及復(fù)合向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3、用向量作為工具研究函數(shù)極值； 4、掌握外積、基本微分形式、以及微分形式外微分的概念及運(yùn)算，能用外積為工具來(lái)理解證明一些多重積分的變量替換公式 【教學(xué)重點(diǎn)】向量函數(shù)的極限、連續(xù)與微分 【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)合向量函數(shù)、隱函數(shù)和反向量函數(shù)的求導(dǎo)討論 【教學(xué)時(shí)數(shù)】14學(xué)時(shí) 1 n維歐氏空間與向量函數(shù) 一、維歐氏空間 1.　n維向量空間：所有n個(gè)有序數(shù)組（ ）的全體. 2.n維歐氏空間 ：定義了內(nèi)積的n維向量空間. 3. 中的距離 ： = . 4. n維球形鄰域 ： = 表示以 為中心，半徑為 的n維球形鄰域. 5. 超平面：點(diǎn)集 當(dāng)3時(shí)，稱它為中的一個(gè)超平面. 定理23.1 設(shè) ，則 為收斂點(diǎn)列的充要條件是：任給 ，存在 ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切正整數(shù) 都有 （證明從略） 二、向量函數(shù) 1. 向量函數(shù)：若 是 的一個(gè)子集，對(duì)每一個(gè) ，都有唯一的一個(gè) ，使 ，則稱 為 到 的向量函數(shù)（也簡(jiǎn)稱函數(shù)或稱映射），記作 或簡(jiǎn)單地記作 ，其中， 稱為函數(shù)的定義域. 2. 原象：在映射的意義下， 在 下的象為 在 下的象集為 稱為 的原象. 3. 一一映射：設(shè) ，若對(duì)任何 ，只要 就有 ，則稱 為 到 的一一映射（或稱為單射）. 三、向量函數(shù)的極限和連續(xù) 1. 設(shè) 是 的聚點(diǎn)， ： 若存在 ，對(duì)于 的任意小的鄰域 ，總有 的空心鄰域 ，則稱在集合 上當(dāng) 時(shí)， 以 為極限，記作 不致混淆的情況下，或 時(shí)，簡(jiǎn)稱 時(shí) 以 為極限，并記作 2. 設(shè) ， ： 若對(duì)任何 ， 使得 則稱 在點(diǎn) （關(guān)于集合 ）連續(xù). 如果 在 上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 為 上的連續(xù)函數(shù). 定理23.2 設(shè) 若 在點(diǎn) 連續(xù)， 在點(diǎn) 連續(xù)，則按（6）（7）（8）定義的向量函數(shù) 都在點(diǎn) 連續(xù). 定理23.3 函數(shù) ： 在點(diǎn) 連續(xù)的充要條件為：任何點(diǎn)列 收斂于 時(shí)， 都收斂于 . 定理23.4 若 是有界閉集， 為 上的連續(xù)函數(shù)，則 也是有界閉集. 定理23.5 若 是有界閉集， 為 上的連續(xù)函數(shù)，則 直徑可達(dá)，即存在 ，使得 . 定理23.6 若 是有界閉集， 為 上的連續(xù)函數(shù)，則 在 上一致連續(xù).即任給 ，存在只依賴于 的 ，只要 且 ，就有 . 定理23.7 若 是道路連通集， 為 上的連續(xù)函數(shù)，則 也是道路連通集. - 3 -