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第35練　“排列、 組合”?？紗栴} [題型分析高考展望]　該部分是高考數(shù)學中相對獨特的一個知識板塊，知識點并不多，但解決問題的方法十分靈活，主要內容是分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考試題主要以選擇題和填空題的方式呈現(xiàn)，考查排列、組合的應用. ?？碱}型精析 題型一　排列問題 例1　(1)(2015廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言(用數(shù)字做答). (2)即將畢業(yè)的6名同學排成一排照相留念，個子較高的明明同學既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數(shù)為________. 點評　求解排列問題的常用方法： (1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先法； (2)相鄰問題捆綁法； (3)不相鄰問題插空法； (4)定序問題縮倍法； (5)多排問題一排法. 變式訓練1　(1)(2014遼寧)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù) 為(　　) A.144 B.120 C.72 D.24 (2)(2015四川)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　) A.144個 B.120個 C.96個 D.72個 題型二　組合問題 例2　在一次國際抗震救災中，從7名中方搜救隊隊員，4名外籍搜救隊隊員中選5名組成一支特殊搜救隊到某地執(zhí)行任務，按下列要求，分別計算有多少種組隊方法. (1)至少有2名外籍搜救隊隊員； (2)至多有3名外籍搜救隊隊員. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　(1)先看是否與排列順序有關，從而確定是否為組合問題. (2)看是否需要分類、分步，如何確定分類標準. (3)判斷是否為“分組”問題，避免重復. 變式訓練2　(1)(2014浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種.(用數(shù)字作答) (2)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是____________.(用數(shù)字作答) 題型三　排列與組合的綜合應用問題 例3　4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內. (1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？ (3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？ 　 　 　 　 　 　 點評　(1)排列、組合混合問題一般“先選后排”. (2)對于較復雜的排列、組合問題，應按元素的性質或題意要求進行分類，對事件發(fā)生的過程進行分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”. (3)關于“至少”“至多”等計數(shù)問題，一般需要進行分類，若分類比較復雜，可用間接法，找出其對立事件來求解. 變式訓練3　(1)將A、B、C、D、E、F六個字母排成一排，且A、B均在C的同側，則不同的排法共有________種.(用數(shù)字作答) (2)(2014廣東)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為(　　) A.60 B.90 C.120 D.130 高考題型精練 1.用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　) A.243 B.252 C.261 D.279 2.從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是(　　) A.9 B.10 C.18 D.20 3.一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A.33! B.3(3！)3 C.(3！)4 D.9! 4.若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 5.(2015泰安模擬)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A.232 B.252 C.472 D.484 6.如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種 1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為(　　) A.96 B.84 C.60 D.48 7.將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是________. 8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有______種. 9.“霧霾治理”“光盤行動”“網(wǎng)絡反腐”“法治中國”“先看病后付費”成為社會關注的5個熱點.小王想在2015年國慶節(jié)期間調查一下社會對這些熱點的關注度.若小王準備從中選取4個熱點分別進行調查，則“霧霾治理”作為其中的一個調查熱點，但不作為第一個調查熱點的種數(shù)為________. 10.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個，11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則 (1)4位回文數(shù)有________個； (2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個. 11.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有________種. 12.用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？ 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 專題8 概率與統(tǒng)計 第35練　“排列、 組合”?？紗栴} ?？碱}型精析 例1　(1)1 560　(2)480 解析　(1)依題意兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A＝4039＝1 560條畢業(yè)留言. (2)方法一　(位置分析法) 先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊，有A種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個位置上，有A種站法.由分步乘法計數(shù)原理，知共有AA＝480(種)不同的站法. 方法二　(元素分析法) 先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A種站法；第2步，余下5人站在剩下5個位置上，有A種站法.由分步乘法計數(shù)原理，知共有AA＝480(種)不同的站法. 方法三　(反面求解法) 6人沒有限制的排隊有A種站法，明明站在最左邊或最右邊時6人排隊有2A種站法，因此符合條件的不同站法共有A－2A＝480(種). 變式訓練1　(1)D　(2)B 解析　(1)剩余的3個座位共有4個空隙供3人選擇就座， 因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝432＝24. (2)由題意，首位數(shù)字只能是4,5，若萬位是5，則有3A＝72個；若萬位是4，則有2A個＝48個，故比40 000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個.選B. 例2　解　(1)方法一　(直接法) 由題意，知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”可分為3類： ①有2名外籍隊員，共有CC種組隊方法； ②有3名外籍隊員，共有CC種組隊方法； ③有4名外籍隊員，共有CC種組隊方法. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知至少有2名外籍搜救隊隊員共有CC＋CC＋CC＝301(種)不同的組隊方法. 方法二　(間接法) 由題意，知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至多有1名外籍搜救隊隊員”，可分為2類： ①只有1名外籍搜救隊隊員，共有CC種組隊方法； ②沒有外籍搜救隊隊員，共有CC種組隊方法. 所以至少有2名外籍搜救隊隊員共有C－CC－CC＝301(種)不同的組隊方法. (2)方法一　(直接法) 由題意，知“至多有3名外籍搜救隊隊員”可分為4類： ①有3名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法； ②有2名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法； ③有1名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法； ④沒有外籍搜救隊隊員，共有C種方法. 由分類加法計數(shù)原理，知至多有3名外籍搜救隊隊員共有CC＋CC＋CC＋C＝455(種)不同的組隊方法. 方法二　(間接法) 由題意，知“至多有3名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至少有4名外籍搜救隊隊員”.因為至少有4名外籍搜救隊隊員，共有CC種組隊方法，所以至少有3名外籍搜救隊隊員共有C－CC＝455(種)不同組隊方法. 變式訓練2　(1)60　(2)590 解析　(1)把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有A種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為A＋CA＝24＋36＝60. (2)分三類：①選1名骨科醫(yī)生， 則有C(CC＋CC＋CC)＝360(種). ②選2名骨科醫(yī)生，則有C(CC＋CC)＝210(種)； ③選3名骨科醫(yī)生，則有CCC＝20(種). ∴骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是360＋210＋20＝590. 例3　解　(1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內，由分步乘法計數(shù)原理，共有CCCA＝144(種). (2)“恰有1個盒內有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法. (3)確定2個空盒有C種方法. 4個球放進2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有A種方法.故共有C(CCA＋A)＝84(種). 變式訓練3　(1)480　(2)D 解析　(1)分類討論：A、B都在C的左側，且按C的左側分別有兩個、三個、四個、五個字母這4類計算，再考慮右側情況. 所以共有：2(AA＋CAA＋CA＋A)＝480. (2)在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因為xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以滿足條件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情況有“①一個1(或－1)，四個0，有C2種；②兩個1(或－1)，三個0，有C2種；③一個－1，一個1，三個0，有A種；④兩個1(或－1)，一個－1(或1)，兩個0，有CC2種；⑤三個1(或－1)，兩個0，有C2種.故共有C2＋C2＋A＋CC2＋C2＝130(種)，故選D. 高考題型精練 1.B [無重復的三位數(shù)有：A＋AA＝648個. 則有重復數(shù)字的三位數(shù)有：900－648＝252個.] 2.C [由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個作為有A＝20種，又與相同，與相同，∴l(xiāng)g a－lg b的不同值的個數(shù)有A－2＝20－2＝18，選C.] 3.C [把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種.] 4.D [滿足題設的取法可分為三類： 一是四個奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有C＝5(種)； 二是兩個奇數(shù)加兩個偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有CC＝60(種)； 三是四個偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個偶數(shù)的取法有1種， 所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種).] 5.C [分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC＝264(種)； 第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(種). 由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有 264＋208＝472(種).] 6.B [可依次種A、B、C、D四塊，當C與A種同一種花時，有4313＝36(種)種法；當C與A所種花不同時，有4322＝48(種)種法，由分類加法計數(shù)原理知不同的種法總數(shù)為36＋48＝84.] 7.96 解析　將5張參觀券分成4堆，有2個聯(lián)號有4種分法，每種分法再分給4人，各有A種分法，∴不同的分法種數(shù)共有4A＝96. 8.60 解析　可先排C、D、E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步乘法計數(shù)原理知滿足條件的排法共有A＝60(種). 9.72 解析　先從“光盤行動”“網(wǎng)絡反腐”“法治中國”“先看病后付費”這4個熱點中選出3個，有C種不同的選法.在調查時，“霧霾治理”的安排順序有A種可能情況，其余3個熱點的安排順序有A種，故不同調查順序的種數(shù)為CAA＝72. 10.(1)90　(2)910n 解析　從左右對稱入手考慮. (1)4位回文數(shù)第1、4位取同一個非零數(shù)有C＝9(種)選法，第2、3位可取0，有10種選法，故有910＝90(個)，即4位回文數(shù)有90個. (2)首位和末位不能取0，故有9種選法，其余位關于中間數(shù)對稱，每兩數(shù)都有10種選法，中間數(shù)也有10種選法，故2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有910n個. 11.48 解析?、僦挥?名老隊員的排法有CCA＝36種；②有2名老隊員的排法有CCCA＝12種. 所以共48種. 12.解　如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法. ①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有A＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法.由分步乘法計數(shù)原理可知，有5123＝180(種)不同的涂法； ②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知.有544＝80(種)不同的涂法. 由分類加法計數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同的涂法.