《【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)列】專題5 第24練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)列】專題5 第24練（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第24練　數(shù)列求和問題 [題型分析高考展望]　數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點之一，主要考查等差、等比數(shù)列的前n項和公式以及其他求和方法，尤其是錯位相減法、裂項相消法是高考的熱點內(nèi)容，常與通項公式相結(jié)合考查，有時也與函數(shù)、方程、不等式等知識交匯，綜合命題. ?？碱}型精析 題型一　分組轉(zhuǎn)化法求和 例1　等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 　 　 　 點評　分組求和常見的方法：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組，即分組后，每一組可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列.(2)根據(jù)正號、負號分組.(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組.(4)根據(jù)奇數(shù)項、偶數(shù)項分組. 變式訓(xùn)練1　已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝2an＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 　 　 　 題型二　錯位相減法求和 例2　(2015山東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn. 　 　 點評　錯位相減法的關(guān)注點： (1)適用題型：等差數(shù)列{an}乘以等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項“{anbn}”型數(shù)列求和. (2)步驟： ①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比. ②把兩個和的形式錯位相減. ③整理結(jié)果形式. 變式訓(xùn)練2　(2014四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*). (1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列{}的前n項和Tn. 　 　 　 題型三　裂項相消法求和 例3　在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列. (1)已知數(shù)列{an}的前10項和為45，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn＝－，求數(shù)列{an}的公差. 　 點評　(1)裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的前n項和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝(－).其余還有公式法求和等. (2)利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面也剩兩項. 變式訓(xùn)練3　(2014大綱全國)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 　 　 　 　 　高考題型精練 1.(2015浙江)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A.a1d＞0，dS4＞0 B.a1d＜0，dS4＜0 C.a1d＞0，dS4＜0 D.a1d＜0，dS4＞0 2.(2014課標全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn等于(　　) A.n(n＋1) B.n(n－1) C. D. 3.若數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則其前n項和Sn為(　　) A.1－ B.－－ C.－－ D.－－ 4.已知數(shù)列1，3，5，7，…，則其前n項和Sn為(　　) A.n2＋1－ B.n2＋2－ C.n2＋1－ D.n2＋2－ 5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么數(shù)列{bn}的前n項和Sn為(　　) A. B. C. D. 7.在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列的前n項和Sn＝________. 8.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________. 9.(2015天津模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an. (1)求Sn的表達式； (2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項和Tn. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 10.(2014課標全國Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{}的前n項和. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 11.(2015天津)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝qan(q為實數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且 a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列. (1)求q的值和{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 12.(2015安徽)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第24練　數(shù)列求和問題 ?？碱}型精析 例1　解　(1)當(dāng)a1＝3時，不合題意； 當(dāng)a1＝2時，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時，符合題意； 當(dāng)a1＝10時，不合題意. 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝23n－1 (n∈N*). (2)因為bn＝an＋(－1)nln an ＝23n－1＋(－1)nln(23n－1) ＝23n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 所以當(dāng)n為偶數(shù)時， Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 當(dāng)n為奇數(shù)時， Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 綜上所述，Sn＝ 變式訓(xùn)練1　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意，得解得 所以an＝2n－1. (2)因為bn＝2an＋2n＝4n＋2n， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)＝＋n2＋n＝4n＋n2＋n－. 例2　解　(1)因為2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 當(dāng)n＞1時，2Sn－1＝3n－1＋3， 此時2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝23n－1， 即an＝3n－1， 所以an＝ (2)因為anbn＝log3an，所以b1＝， 當(dāng)n＞1時，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)31－n. 所以T1＝b1＝； 當(dāng)n＞1時，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[13－1＋23－2＋…＋(n－1)31－n]， 所以3Tn＝1＋[130＋23－1＋…＋(n－1)32－n]， 兩式相減，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)31－n ＝＋－(n－1)31－n ＝－，所以Tn＝－， 經(jīng)檢驗，n＝1時也適合. 綜上可得Tn＝－. 變式訓(xùn)練2　解　(1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有2a8＝42a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2. 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在x軸上的截距為a2－. 由題意知，a2－＝2－，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，從而an＝n，bn＝2n. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋. 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ＝2－－＝. 所以Tn＝. 例3　解　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得 a＝a1a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)， ∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d. (1)由數(shù)列{an}的前10項和為45可得 S10＝10a1＋d＝45， 即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3， 故數(shù)列{an}的通項公式為 an＝3＋(n－1)＝(n＋8). (2)bn＝＝， 則數(shù)列{bn}的前n項和為 Tn＝[＋＋…＋] ＝ ＝ ＝ ＝－. 所以＝1，d＝1. 故數(shù)列{an}的公差d＝1或－1. 變式訓(xùn)練3　解　(1)由a1＝10，a2為整數(shù)， 知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù). 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0,10＋4d≤0. 解得－≤d≤－.因此d＝－3. 數(shù)列{an}的通項公式為an＝13－3n. (2)bn＝＝. 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 高考題型精練 1.B [∵a3，a4，a8成等比數(shù)列， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1＝－d， ∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－， ∴dS4＝－＜0，故選B.] 2.A [由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a＝a2a8， 即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)， ∴a1＝2. ∴Sn＝2n＋2 ＝2n＋n2－n＝n(n＋1).] 3.D [因為an＝＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝1－＋－＋－＋…＋－＋－ ＝1＋－－ ＝－－. 故選D.] 4.A [因為an＝2n－1＋， 則Sn＝n＋＝n2＋1－.] 5.C [am＝2，am＋1＝3，故d＝1， 因為Sm＝0，故ma1＋d＝0， 故a1＝－， 因為am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5， 即m＝5.] 6.B [∵an＝＝， ∴bn＝＝ ＝4(－)， ∴Sn＝4[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝4(1－)＝.] 7. 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則＝q3＝27，解得q＝3. 所以an＝a1qn－1＝33n－1＝3n，故bn＝log3an＝n， 所以＝＝－. 則數(shù)列的前n項和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 8.1 830 解析　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830. 9.(1)∵S＝an， an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)， 即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 由題意得Sn－1Sn≠0， ①式兩邊同除以Sn－1Sn，得－＝2， ∴數(shù)列是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列. ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝. (2)∵bn＝＝ ＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝＝. 10.解　(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3， 由題意得a2＝2，a4＝3. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d， 故d＝，從而a1＝. 所以{an}的通項公式為an＝n＋1. (2)設(shè){}的前n項和為Sn. 由(1)知＝，則 Sn＝＋＋…＋＋， Sn＝＋＋…＋＋. 兩式相減得 Sn＝＋(＋…＋)－ ＝＋(1－)－. 所以Sn＝2－. 11.解　(1)由已知， 有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)， 即a4－a2＝a5－a3， 所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因為q≠1， 故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2. 由遞推公式得 當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時，an＝a2k－1＝2k－1＝； 當(dāng)n＝2k(k∈N*)時，an＝a2k＝2k＝. 所以，{an}的通項公式為an＝ (2)由(1)得bn＝＝. 設(shè){bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n. 上述兩式相減得： Sn＝1＋＋＋…＋－ ＝－＝2－－， 整理得，Sn＝4－，n∈N*. 所以，數(shù)列{bn}的前n項和為4－，n∈N*. 12.(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0， 解得切線與x軸交點的橫坐標xn＝1－＝. 所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝. (2)證明　由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝22…2. 當(dāng)n＝1時，T1＝. 當(dāng)n≥2時，因為x＝2＝ >＝＝. 所以Tn>2…＝. 綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥.